13.9. Вычисление автокорреляционных функций и взаимных корреляционных функций по спектральной плотности

Мы ограничимся рассмотрением автокорреляционной функции, так как результаты непосредственно распространяются на взаимные корреляционные функции. Уже отмечалось, что автокорреляционную функцию можно получить на основании

теоремы Винера — Хинчина, применяя обратное преобразование Фурье к спектральной плотности:

Если спектр определяется численно, то в результате получается не , а в соответствии с выражением (13.15а) функция

Применяя к этому соотношению преобразование Фурье, что уже было проделано при выводе формулы (13.16), найдем

Иначе говоря, если мы хотим получить автокорреляционную функцию, исходя из спектральной плотности, то должны потребовать, чтобы выполнялось условие

Рис. 13.22.

Рис. 13.23.

Следовательно, необходимо, чтобы при , где т. е. длительность участка должна быть много больше времени корреляции сигнала (рис. 13.22). Это условие делает практически невозможным получение автокорреляционной функции по спектральной плотности. Требования можно ослабить, если отыскивать автокорреляционную функцию в виде отношения

Очевидно, что это отношение имеет смысл, если для где (рис. 13.23), т. е. длительность участка сигнала должна быть больше или равна времени корреляции сигнала. Из этого условия вытекает, что величина должна быть достаточно большой, т. е. следует брать возможно меньшую частоту дискретизации. Возникающие при этом трудности уже обсуждались в разд. 13.8. Отметим также, что ошибка, обусловленная делением фурье-образа спектра на функцию возрастает на «хвосте» корреляционной функции. Во избежание этого часто используют спектральные весовые

функции (гл. 14). Однако систематическое их применение приводит к неправильной интерпретации результатов, поэтому использовать весовые функции надо крайне осторожно.