2.3. Преобразование Фурье физических функций

Функции, используемые в физике, известны лишь на ограниченном интервале . Для их доопределения на всю временную ось используют два способа.

Рис. 2.1.

По первому способу функцию полагают равной нулю вне интервала (рис. 2.1). Если функция действительно равна нулю вне , то в этом случае можно вычислить спектр с любой заданной точностью.

Рис. 2.2.

Второй способ основан на игнорировании поведения функции вне интервала (рис. 2.2). Так как функция задана только на интервале , то ее фурье-образ определен только для дискретных значений частот, разделенных промежутками длиной или кратными (так же как и для периодических функций). Этот случай аналогичен случаю задания функции лишь для дискретных значений аргумента с промежутками между ними длиной (частота квантования сигнала Докажем, что при таком задании функции невозможно получить более точек спектра.

Рис. 2.3. (см. скан)

Действительно, длина области определения функции равна . Поэтому величина разрешения по составляет Обозначим через В длину интервала спектра

заданной функции. Тогда Имеем

Отсюда

Поэтому максимальное число точек спектра равно если Итак, вся информация о функции содержится в этих точках спектра, совокупность которых образует фурье-образ периодической функции с периодом Т, полученной путем периодического продолжения с периодом Т исходной функции вне интервала .

Если вычислить точек спектра — натуральное число), то расстояние между двумя соседними точками спектра будет в раз меньше и, следовательно, период продолжения исходной функции будет в раз больше. Новая периодическая функция с периодом совпадает с исходной функцией на интервале и равна нулю между Т и При неограниченном увеличении дискретный спектр этой функции стремится к непрерывному спектру функции, рассмотренному выше.