Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 11. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙТеория, мой друг, суха, Но зеленеет жизни древо. Гете ВведениеМы разбили множество функций на три класса: 1) случайные стационарные функции (имеется в виду стационарность 2-го порядка, которые не содержат периодичностей и моменты 1-го и 2-го порядка которых не зависят от начала отсчета времени; 2) периодические функции; 3) переходные функции, которые не содержат периодичностей и для которых выбор начала отсчета времени имеет существенное значение. 11.1. Центрированные случайные стационарные функции, обладающие свойством эргодичностиОпределение.Автокорреляционной функцией называется функция
Ниже мы будем рассматривать центрированные сигналы, т. е. сигналы с нулевым средним значением. Напомним (разд. 8.11), что в случае центрированных сигналов к корреляционной функции центрированного сигнала следует добавить произведение Были определены также спектральная плотность (мощности)
взаимная корреляционная функция
и взаимная спектральная плотность (мощности)
Ниже, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные временные функции, т. е. такие, которым соответствуют вещественные корреляционные функции. Свойства автокорреляционной функции.Автокорреляционные функции обладают рядом свойств, которые мы приведем без доказательства. 1. Четность:
Из этого свойства следует, что достаточно определить автокорреляционную функцию только для положительных (или отрицательных) значений
2. Автокорреляционная функция имеет максимум при
Отметим, что величина
представляет собой среднее значение квадрата, или дисперсию, или квадрат эффективного значения, или среднюю мощность функции 3. При неограниченном росте
Следовательно, для любого положительного Свойства спектральной плотности.Поскольку
Это фундаментальное соотношение позволяет переходить от спектральной плотности мощности к автокорреляционной функции и наоборот. Важное приложение соотношения (11.8) рассмотрено в гл. 13, в которой мы покажем, что целесообразнее всего определять спектральную плотность по автокорреляционной функции. Если сигнал не содержит постоянной компоненты, т. е. Взаимная корреляция двух случайных функций.Применяя корреляционный оператор к двум различным случайным функциям, получим взаимную корреляционную функцию
Очевидно, что паре функций
Приведем без доказательства некоторые свойства взаимных корреляционных функций. Если заменить
В общем случае взаимные корреляционные функции не обладают свойством четности или нечетности и не имеют максимума при
Кроме того, для любых значений
Если две случайные функции независимы, то при любом времени корреляции соответствующие взаимные корреляционные функции тождественно равны нулю. Обратное утверждение неверно. Взаимный спектр. Взаимная спектральная плотность.По аналогии со спектральной плотностью мощности фурье-образ взаимной корреляционной функции называют взаимной спектральной плотностью мощности, или взаимным спектром:
В общем случае
Произведение Белый шум.На практике широкое применение находит случайный процесс, называемый белым шумом, спектральная плотность мощности которого постоянна по всему диапазону частот. Мощность белого шума не зависит от частоты, и его автокорреляционной функцией будет выполнимо, так как не существует систем с бесконечной полосой пропускания. Автокорреляционная функция такого шума отличается от
Рис. 11.1.
Рис. 11.2. Примечание. Спектр рассмотренного шума ограничен со стороны высоких частот, поэтому подобный шум не совсем «белый» и его часто называют «розовым» шумом. Эта терминология заимствована из оптики. Известно, что белый свет содержит все цвета. Если отфильтровать длинноволновую часть спектра, т. е. наиболее высокие частоты, то свет теряет голубые тона и приобретает розовую окраску. Аналогично говорят, что шум окрашен, если он не белый, т. е. соответствующая спектральная плотность мощности не постоянна. Гауссов шум.Плотность вероятности этого шума определяется выражением
где Гауссовы процессы обладают характерным свойством: любой такой процесс полностью определяется своими статистическими характеристиками 1-го и 2-го порядка. То есть можно вычислить все моменты, зная лишь моменты 1-го и 2-го порядка. Этим объясняется выбор гауссовых процессов в качестве гипотезы при расчетах, содержащих погрешности оценок и требующих вычисления моментов более высоких порядков (разд. 8.10). Кроме того, согласно центральной предельной теореме, сумма произвольных случайных процессов стремится к гауссову процессу при возрастании числа слагаемых. Сходимость оказывается настолько быстрой, что если число слагаемых больше 5 или 6, то результирующий процесс очень близок к гауссову.
Рис. 11.3. Пуассоновский шум.В ядерной физике часто встречается шум другого типа, порожденный импульсами, распределенными по закону Пуассона. Вероятность появления
где Из рис. 11.31 видно, что автокорреляционные функции последовательностей импульсов, распределенных по закону Пуассона и имеющих либо постоянный знак (положительный или отрицательный), либо случайный знак, по существу не отличаются одна от другой; если же знак импульсов чередуется, то вид корреляционной функции существенно иной. Наличие распределения импульсов с чередующимся знаком увеличивает «память» вероятностного процесса, так как знак последующего импульса определяется знаком предыдущего; именно это приводит к «уширению» графика автокорреляционной функции.
|
1 |
Оглавление
|