Глава 13. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. ИЗМЕРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ

Эти семь лучей происходят из одного, прошедшего через призму; они располагаются на белом экране в строгом порядке, и каждый занимает часть спектра.

Исаак Ньютон, Математические начала натуральной философии

Цветы будущего — в семенах настоящего.

Китайская пословица

13.1. Наглядное представление спектральной плотности

Пусть некоторая переменная величина и — независимая переменная (например, время). Рассмотрим частотный узкополосный фильтр (по предположению идеальный) с полосой пропускания центральная частота которой Усиление такого фильтра равно 1 для частот внутри полосы и нулю — вне ее (рис. 13.1). Пропустим через фильтр и измерим среднюю мощность выходного сигнала. Обозначая через выходной сигнал (рис. 13.2), для средней мощности получим выражение

Так как фильтр пропускает только часть спектра сигнала, содержащуюся в полосе то мощность сигнала на выходе

Величины, определенные выражениями (13.1) и (13.2), представляют собой мощность одного и того же сигнала, поэтому

Согласно теореме Винера — Хинчина (разд. 8.8), , т. е.

Рис. 13.1.

Рис. 13.2.

Рис. 13.3.

Рис. 13.4.

Полагая , получим

Таким образом, величина входящая в выражение (13.2), является спектральной плотностью.

Для определения нужно устремить к нулю ширину полосы, пропускаемой фильтром . Но фильтр с предельно узкой полосой пропускает такой слабый сигнал, что его

практически нельзя измерить (кроме, конечно, случая, при котором сигнал содержит периодическую компоненту с частотой Единственной измеримой величиной будет мощность сигнала, пропущенного через фильтр с полосой пропускания конечной ширины

Пусть среднее значение в полосе тогда (рис. 13.3)

Это означает, что нужно осуществить дискретизацию с помощью соответствующего устройства, включающего интегратор. Проводя фильтрацию совместно с измерением средней мощности для различных центральных частот фильтра, получим значений спектральной плотности (рис. 13.4).

Интеграл дает полную мощность сигнала — мощность сигнала в полосе частот .

Определение спектральной плотности одного сигнала можно распространить на случай двух сигналов вводя не только спектральные плотности но и взаимные спектральные плотности (взаимные спектры) Взаимные спектральные плотности являются комплексными функциями; в случае вещественных сигналов они обладают свойством эрмитовой симметрии.

Случай вещественных сигналов. Фурье-образы, если они существуют, и спектральные плотности вещественных сигналов обладают свойством эрмитовой симметрии. Благодаря этому свойству достаточно найти соответствующую спектральную плотность только для положительных частот.

Иногда вместо вводят спектральную плотность

Видно, что — спектральная плотность аналитического

сигнала, соответствующего вещественному временному сигналу (разд. 2.10).

Ниже мы будем употреблять символ вместо и опускать индексы если это не помешает пониманию текста.