5.5. Прямая и обратная задачи, связанные с операцией свертки

Поставим следующую задачу: зная импульсный отклик линейной системы и входной сигнал для всех моментов времени, предшествующих моменту вычислить выходной сигнал

Рис. 5.4.

Из предыдущего рассмотрения следует, что решение этой задачи дается уравнением свертки (5.4). Но часто приходится решать два других типа задач.

1. Зная входной и выходной сигналы, найти импульсный отклик линейной системы. Эта задача известна под названием проблемы идентификации системы. Для решения проблемы идентификации используется уравнение (5.4), где — известные, неизвестная функция.

2. Зная выходной сигнал и импульсный отклик линейной системы, найти входной сигнал. Эту задачу называют обратной (по отношению к прямой задаче нахождения выходного сигнала). Для решения обратной задачи также используют уравнение свертки (5.4), в котором теперь — известные функции, — неизвестная функция.

В общем случае задача нахождения функций при заданных функциях не имеет решения. Иначе говоря, кроме некоторых частных случаев, нельзя восстановить импульсный отклик линейной системы или входной сигнал. Итак, уравнение свертки (5.4) всегда однозначно определяет выходной сигнал по известным функциям Задачи восстановления импульсного отклика и входного сигнала которые можно символически записать в виде

не всегда имеют решения (уравнения (5.6) и (5.7) могут иметь также бесконечно много решений).

Казалось бы, разумно предположить, что, регистрируя оба сигнала (входной и выходной), можно однозначно восстановить импульсный отклик для реальной линейной системы, используя для восстановления соотношение (5.6). Ведь импульсный отклик для реальной линейной системы реально существует и единствен! Однако операция восстановления даже если она теоретически существует, не является устойчивой по отношению к изменениям функций Поскольку вместо точных сигналов регистрируются сигналы с ошибками то решение уравнения существенно отличаться от искомого решения даже если ошибки измерения малы. Если эту задачу нельзя решить точно, то существуют методы, позволяющие найти ее приближенные решения. Основное предложение заключается в коррекции влияния ограниченности полосы пропускания измерительного прибора. Было предложено несколько различных подходов [2—6] к решению этой задачи, которая является не чем иным, как задачей, обратной задаче фильтрации.