А3. Положительно полуопределенные матрицы

Симметричная матрица А называется положительно полуопределенной если для всех х выполняется неравенство

1. Собственные значения матрицы неотрицательны.

Доказательство. Если то подстановкой мы получим Полагая приходим к неравенству

2. Если матрица то Это вытекает из

3. Матрица А является матрицей ранга в том и только том случае, когда существует такая -матрица ранга что

Доказательство. Если матрица ранга то, согласно , где

Пусть Тогда из соотношения вытекает, что где Обратно, если то где

4. Если -матрица ранга то существует такая -матрица ранга что

Доказательство. Из соотношения

вытекает, что где -матрица, образованная первыми столбцами матрицы Полагая теперь мы приходим к искомому результату.

5. Если матрица, то

Доказательство. Согласно а отсюда следует, что для каждого столбца матрицы В. Поэтому