7.7. Случайные регрессоры

Модели со случайными регрессорами уже рассматривались в общих чертах в § 6.5. Поскольку, однако, одномерной линейной регрессии в литературе уделено большое внимание, следует более детально указать на возникающие здесь трудности. Этот краткий обзор частично основан на работе Могап (1970). За дальнейшими комментариями и ссылками читатель может обратиться к работе Sprent (1969)

Предположим, что ненаблюдаемые случайные величины, связанные структурным соотношением Эти случайные величины наблюдаются с независимыми случайными ошибками имеющими нормальные распределения с нулевыми средними и неизвестными дисперсиями и соответственно. Таким образом, мы наблюдаем значения где Относительно делаются обычно два типа предположений:

(1) Величины случайны и имеют нормальное распределение с неизвестными средним и дисперсией а.

(2) Величины фиксированы (но не известны), так что величины также фиксированы: при этом мы имеем функциональную связь

Случай 1. В этой ситуации модель содержит шесть неизвестных параметров: и Однако вряд ли все

эти параметры удастся оценить. Это связано с тем, что наблюдаемые величины имеют совместное двумерное нормальное распределение, а оно содержит только пять параметров. В действительности здесь удается оценить лишь Остальные параметры не идентифицируемы, и поэтому структурную связь оценить невозможно. Если распределение случайной величины отлично от нормального и это нам известно, то можно предложить методы, позволяющие идентифицировать все указанные параметры. Однако на практике мы никогда не знаем распределения случайной величины а чем ближе это распределение к нормальному, тем хуже оценки.

Один естественный подход к решению рассматриваемой задачи состоит в том, что на параметры накладываются некоторые ограничения, приводящие, по существу, к уменьшению числа параметров на единицу. Изучены следующие три типа таких ограничений:

(1) Известен либо параметр либо цараметр иными словами, все параметры идентифицируемы и могут быть оценены.

(2) Известно отношение т. е. последовательно можно оценить все параметры.

(3) Известны и и в этом случае модель "сверхиденти-фицируема".

В заключение можно было бы задаться следующим вопросом: что получится, если использовать обычные оценки наименьших квадратов, например — игнорировать влияние ошибок в значениях регрессоров (иначе говоря, использовать вместо истинных значений значения В книге Richardson, Wu (1970, с. 732) мы находим

и

Случай 2. Имеем модель

уже рассмотренную в § 6.4. Теория, относящаяся к случаю 2, весьма близка к теории, относящейся к случаю 1. Проблема неидентифицируемодти возникает и здесь, поскольку вместо имеется уже неизвестных "параметров".

При больших значениях в соответствии с результатами разд. 6.4.1 для имеем

и

Точные значения а также более точные асимптотические выражения для них при больших выборках приведены в Richardson, Wu (1970). Эти результаты обобщили Halperin, Gurian (1971) на случай коррелированных модель следует читать так:

Для оценивания предложено несколько методов "группирования". Эти методы описаны в книге Richardson, Wu (1970).

Упражнения к гл. 7

(см. скан)

(см. скан)