А8. Решение линейных уравнений
Всякое решение совместной системы уравнений 
можно представить в виде 
где 
-некоторая обобщенная обратная для В матрица.
Доказательство. Прежде всего покажем, что все решения уравнений 
— с для любой конкретной матрицы 
можно получить по формуле
где вектор 
произволен.
Для х, заданного формулой (1), имеем
(в силу соотношения (3.45) из разд. 3.8.1с), так что х — решение системы. Обратно, если х — какое-нибудь решение этой системы, то, полагая 
получаем
так что х можно получить по формуле (1). Это доказывает эквивалентность этих двух решений.
Далее, если х — решение системы, то в силу доказанного х можно представить в виде (1) для некоторого 
Если мы выберем матрицу 
таким образом, что 
(выберем 
и положим 
где 
то
где
является обобщенной обратной для 
имеет вид 
. (Приведенное доказательство основывается на книге Searle (1971, гл. 1).)
