6.3. Устойчивость F-критерия к отклонениям от нормальности
6.3.1. Влияние значений регрессоров
Как показали Box, Watson (1962), чувствительность
-критерия к отклонениям от нормальности в значительной степени зависит от численных значений, принимаемых регрессорами. В рамках планирования эксперимента, когда все элементы матрицы X плана равны либо нулю, либо единице, это означает, что для некоторых планов связанные с ними критерии будут более устойчивыми. Box, Watson (1962) показали, например, что при надлежащем выборе матрицы X чуть ли не одну и ту же модель регрессии можно использовать и для получения критерия для сравнения средних, на, который отклонение от нормальности воздействует незначительно, и для получения критерия для сравнения дисперсий, заведомо чувствительного к отклонению от нормальности.
Пусть
Рассмотрим гипотезу
Если эта гипотеза верна и выполнены обычные предположения о характере регрессии, то
Если, однако, отойти от обычных предположений и считать, что
независимые случайные величины с одинаковым, но уже не обязательно нормальным распределением, то, как показали Box, Watson (1962, с. 101), при выполнении гипотезы
статистика
распределена приблизительно как
, и
где
или (с точностью до величин порядка
Здесь
где
и
- выборочные семиинварианты, построенные по
значениям
, а С — многомерный аналог отношения
для регрессорных переменных. Если
а следовательно, и
имеет нормальное распределение, то
и
Мы видим, таким образом, что степень влияния любого отклонения распределения
от нормального зависит от входящей в состав
величины
. Box, Watson показывают, что
причем нижняя граница здесь достижима, а верхняя граница, хотя к ней и можно подойти сколь угодно близко, тем не менее не достигается при конечном объеме выборки. Если регрессоры "приблизительно нормальны", то
и
-критерий не чувствителен к отклонениям от нормальности. Иначе говоря,
характеризует "степень отклонения от нормальности" регрессоров, которая и определяет чувствительность
-критерия к отклонениям от нормальности наблюдений
Если
и
то как показали Box, Watson,
Применяя теперь теорему
к
-матрице
получаем
Если все диагональные элементы матрицы
равны, то
и
Следовательно, в этом случае нижняя граница в (6.19) достигается,
и F-критерий при больших
становится нечувствительным к отклонениям от нормальности. Из условий симметрии нетрудно вывести, что любая перекрестная классификация с равным числом наблюдений в каждой клетке (например, модели гл. 9), а также любая иерархическая классификация с равным числом наблюдений на каждом уровне
иерархии (§ 9.5) представляют собой как раз планы с равными значениями
Указанная выше теория относится только к случаю
Однако другой подход, предложенный Атикуллой [Atiqullah (1962)], допускает и более общие гипотезы. К детальному рассмотрению этого подхода мы сейчас и переходим.