А4. Положительно определенные матрицы

Симметричная матрица А называется положительно определенной , если для всех Отметим, что всякая матрица является также и матрицей.

1. Все собственные значения матрицы А положительны (доказательство аналогично поэтому такая матрица А является невырожденной

2. Матрица А является тогда и только тогда, когда существует такая невырожденная матрица что

Доказательство. Этот результат вытекает из при

3. Если матрица А положительно определена, то такова же и матрица

Доказательство. где - невырожденная матрица. Искомый результат следует теперь из

4. Если матрица А положительно определена, то

Доказательство.

5. Если матрица размера и ранга то — п. о. матрица.

Доказательство. Прежде, всего, причем равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда т. е. (столбцы матрицы С линейно независимы). Отсюда получаем, что для всех

6. Если матрица X размера имеет ранг то матрица положительно определена.

Доказательство. Мы имеем неравенство в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда т. е. (столбцы матрицы X линейно независимы).

7. Матрица А положительно определена в том и только том случае, когда все ее главные миноры (включая и положительны.

Доказательство. Если матрица А положительно определена, то в силу

Положим

Тогда

и матрица положительно определена. Поэтому, если матрица А имеет размер то из приведенного выше вытекает, что Обратно, предположим, что все главные миноры матрицы А положительны. Покажем, что при этом матрица А положительно определена. Пусть

где Тогда

где

(матрица не вырождена). Далее действуем по индукции. При результат очевиден. Предположим, что он верен для

матриц порядка до включительно. Ее к положить то получим поскольку матрица положительно определена по предположению индукции и Следовательно, указанный результат справедлив и для матриц порядка .

8. Все диагональные элементы матрицы положительны.

Доказательство. Полагая имеем

9. Если А - п. о. -матрица, а В — симметричная -матрица, то матрица положительно определена для всех достаточно малых по абсолютной величине значений

Доказательство. Если то главный минор матрицы являющийся функцией от положителен Но поскольку эта функция непрерывна, он будет положительным и для где достаточно мало. Возьмем теперь Тогда при все главные миноры будут положительны, и искомый результат вытекает из

10. (Разложение Холецкого.) Если матрица А положительно определена, то существует единственная верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами, для которой

Доказательство. Мы используем здесь метод индукции и предположим, что указанная рднозначно определенная факторизация имеет место для матриц порядка до включительно. Таким образом

где - однозначно определенная верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами. Поскольку определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, то матрица не вырождена, и мы можем определить матрицу

где Поскольку матрица опредег лена однозначно и то при мы получаем требуемое разложение матрицы А. Но

так что поскольку и Таким образом, указанная факторизация существует и для положительно определенных матриц порядка

11. Если матрица положительно определена, то для любого b

Доказательство. Для всех а имеем

Отсюда при мы получаем неравенство Коши — Шварца Равенство достигается здесь тогда и только тогда, когда для некоторого а. Таким образом,

Поскольку матрица положительно определена, существует такая невырожденная матрица что . Полагая приходим к требуемому результату.