8.2.4. Использование ограничений

Весьма часто при подборе кривой требуется, чтобы подбираемая функция а возможно, и ее производные принимали при некоторых значениях х вполне определенные значения. Например, может требоваться, чтобы эта функция проходила через начало координат или гладким образом переходила в определенной точке в некоторую прямую. Мы можем также пожелать подбирать аппроксимирующие кривые на двух соседних участках отдельно, требуя в общей для этих участков точке непрерывности функции и ее производных до некоторого порядка включительно. Чтобы удовлетворить такого рода требованиям, Clenshaw, Hayes (1965) рассматривают представление

в котором - какая-нибудь простая функция (обычно полином), удовлетворяющая требуемым ограничениям, - "зануляющий" полином, выбранный таким образом, чтобы гарантировать, что функция удовлетворяет указанным условиям, а полином, который должен быть подобран методом

наименьших квадратов. Например, если мы требуем, чтобы то можем положить

и

Выбрав подбираем полином вида к модифицированным данным Это можно легко сделать, используя метод Форсайта (соотношение (8.8)), но начиная не с Тогда будет входить множителем в каждый полином а поэтому и в аппроксимирующую кривую

Если вообще мы хотим для подобрать некоторый полином, удовлетворяющий в точке условиям то можно взять

Дальнейшие детали приведены в работе Cadwell, Williams (1961).

Clenshaw, Hayes (1965) заметили, что при надлежащем выборе аппроксимирующей кривой можно придать и неполиномиальный характер поведения. Например, если требуется, чтобы то они предлагают

и

(Предполагается, что удовлетворительные значения для у и можно получить, построив график зависимости от для значений близких к единице. При значениях х, близких к единице, главным членом в является слагаемое Вообще, если фиксируемые значения конечны, то в качестве можно выбрать полиномы.

При использовании в процессе подбора модификации Кленшоу необходимо, чтобы полином был сначала представлен в виде разложения по полиномам Чебышева. Если — полином, как в (8.18), то лучше всего и его разложить по полиномам Чебышева, так что и окончательно подобранный полином можно при этом представить как разложение по полиномам Чебышева [Hayes (1974)].

Правую часть (8.17) можно оценить, подбирая полином не по самим по "шкалированным" их значениям

Здесь мы минимизируем сумму

что эквивалентно использованию взвешенного метода наименьших квадратов с весами Поэтому применимы методы предыдущего раздела, и если -подобранный соответствующим образом полином, то

В заключение упомянем еще об одном типе ограничений. Если требуется, чтобы аппроксимирующий полином был неотрицательным, неубывающим или выпуклым, то для подбора такого полинома можно использовать метод типа квадратичного программирования, изложенный в статье Hudson (1969),