8.2. Ортогональные полиномы
8.2.1. Общие статистические свойства
Некоторые из упомянутых в предыдущем параграфе вычислительных трудностей можно преодолеть, используя ортогональные полиномы. Рассмотрим, например, модель
где 
полином 
степени от 
и все эти полиномы ортогональны на множестве значений переменной х, т. е.
Тогда 
где
столбцы матрицы X взаимно ортогональны и
Поэтому из соотношения 
мы получаем равенство
справедливое для всех 
Ортогональная структура матрицы X приводит к тому, что оценка наименьших квадратов для 
не зависит от степени полинома (ср. с § 3.5), а это — весьма Желательное свойство.
Поскольку 
полином нулевой степени, мы, положив 
получим
Остаточная сумма квадратов равна
Если мы хотим проверить гипотезу 
(что равносильно проверке того, что 
в (8.1)), то остаточная сумма квадратов для модели 
равна
и соответствующая 
-статистика имеет вид
Как уже говорилось в предыдущем параграфе, для определения степени полинома можно использовать либо процедуру прямого отбора, либо процедуру обратного исключения. Если степень полинома, которую мы должны принять за максимально возможную, определить легко, то обратная процедура оказывается более эффективной. Кроме того, с ее помощью мы обходим трудность, связанную с возможностью преждевременной остановки в прямой процедуре. Обратную процедуру с точки зрения теории решений изучал Anderson (1962) (см. также Anderson (1971, разд. 3.2.2)).
