11.1.2. Решение основных задач по оценке точности регрессионной модели.

В § В.6 сформулированы три основные задачи анализа точности регрессионной модели. Эти задачи сводятся к умению указать такие гарантированные (с заданной доверительной вероятностью Р) предельные величины погрешностей, за пределы которых мы не выйдем, если вместо неизвестных истинных значений параметров , функции регрессии (при заданном значении предиктора и анализируемого результирующего показателя (тоже при заданном значении предиктора будем использовать их оценки соответственно и снова .

Описанные в п. 11.1.1 свойства оценок позволяют предложить следующий способ конструирования этих предельных гарантированных величин погрешностей.

Погрешность в оценивании параметра Воспользуемся нормальной распределенностью оценки (см. (11.13)) и знанием ее среднего значения (см. свойство несмещенности оценок в п. 11.1.1) и дисперсии (см. (11.11); здесь обозначает диагональный элемент матрицы . Это, с учетом статистической независимости и и (11.15), позволяет утверждать, что величина

подчиняется -распределению, или распределению Стьюдента [14, п. 6.2.2], — степенями свободы. Следовательно, если задана величина доверительной вероятности Р, то, отыскав по табл. П.6 -ную точку мы можем с вероятностью Р гарантировать выполнение неравенства

или, что то же,

где

Погрешность в оценивании функции регрессии (при заданном значении X предиктора). Обозначим и вычислим, учитывая (что следует из несмещенности оценок дисперсию оценки :

(11.17)

Учитывая полученное выражение для , несмещенность и нормальную распределенность оценки в (как линейной функции от нормально распределенных случайных величин и ее статистическую независимость от (см. п. 11.1.1), а также (11.15), получаем факт -распределенности случайной величины

Следовательно, можно гарантировать с заданной величиной доверительной вероятности Р выполнение неравенства

(11.18)

где — -ная точка распределения Стьюдента с v степенями свободы (определяется из табл. ). Очевидно, что (11.18) равносильно неравенству

где

выполнение которого гарантируется с заданной доверительной вероятностью Р.

Погрешность в восстановлении «индивидуального» значения результирующего показателя (при заданном значении предиктора). В данном случае нас интересует оценка сверху для величины погрешности, которую мы можем допустить, восстанавливая (прогнозируя) с помощью неизвестное значение результирующего показателя при заданном фиксированном значении X предикторной переменной. Другими словами, статистическому анализу следует подвергнуть величину . Принимая во внимание (11.2) и статистическую независимость величин имеем

где дисперсия определяется соотношением (11.17). Учитывая -нормальную распределенность погрешности ) и ее статистическую независимость от (см. в) в п. 11.1.1), получаем факт -распределенности случайной величины

Следовательно, задавшись величиной доверительной вероятности Р и определив из табл. П.6 величину -ной точки распределения Стьюдента с степенями свободы , можно гарантировать (с вероятностью Р) выполнение неравенства

или, что то же,

(11.19)

Замечание (о построении доверительных областей). Хотя и весьма редко, но возникают ситуации (в частности, при статистическом анализе и управлении ходом технологического процесса), когда требуется дать оценки погрешностей вида (11.18) и (11.19), которые были бы справедливыми с заданной доверительной вероятностью Р одновременно для целого множества А значений предикторной переменной X, т. е. для всех . В таких ситуациях говорят о построении доверительных областей для при . Обобщение оценок (11.18), (11.19) на этот случай можно найти в [119, гл. 5].