1.3.2. Множественный коэффициент корреляции и его свойства (общий случай).

Опираясь на формулу (1.5), введем измеритель множественной корреляционной связи между — множественный коэффициент корреляции — аналогично тому, как мы определяли в п. 1.1.1 измеритель парной связи — индекс корреляции (см. формулу ):

(квадрат множественного коэффициента корреляции принято называть коэффициентом детерминации).

Из соотношения (1.5) немедленно вытекают следующие свойства множественного коэффициента корреляции:

а)

б) минимальное значение множественного коэффициента корреляции соответствует случаю полного отсутствия корреляционной связи между так как это может быть только при , т. е. при независимости значений функции регрессии от величины ее аргументов ); это соответствует ситуации, когда усредненная дисперсия «регрессионных остатков» в точности равна общей вариации результирующего показателя;

в) максимальное значение множественного коэффициента корреляции соответствует полному отсутствию варьирования «регрессионных остатков» что означает наличие чисто функциональной связи между Следовательно, в этом случае мы имеем возможность точно (детерминированно) восстанавливать условные значения по значениям предикторных переменных X, и соответственно общая вариация результирующего показателя полностью объясняется контролируемой вариацией функции регрессии;

г) выборочное значение множественного коэффициента корреляции определяется на базе системы наблюдений по формуле, получающейся из (1.24) заменой участвующих в правой части теоретических характеристик и их выборочными аналогами, т. е.

где — функция регрессии по известного общего вида, зависящая от k параметров значения которых неизвестны (оцениваются по выборке, см. гл. 6-9), а у — выборочное среднее значение результирующего показателя (т. е. );

д) введенные с помощью (1.24) и (1.24) теоретический и выборочный множественные коэффициенты корреляции формально определены для любой -мерной системы наблюдений. Квадрат их величины и показывает, какая доля дисперсии исследуемого результирующего показателя определяется (детерминируется) контролируемой нами вариацией соответствующей функции регрессии .

Соответственно оставшаяся доля дисперсии показателя (т. е. величина или объясняется воздействием неконтролируемой случайной остаточной компоненты («регрессионных остатков», «помехи») и определяет ту верхнюю границу точности, которой мы можем добиться при восстановлении (прогнозировании, аппроксимации) значения результирующего показателя по заданным значениям X объясняющих переменных