4.5. Структура связей нормального вектора (общий случай)
С важными, но частными моделями структуры связей между компонентами многомерного нормального вектора мы познакомились в предшествующих параграфах. Наша цель — дать краткую сводку основных результатов общей теории [40, 56, 1791.
4.5.1. Марковская тройка. Структура многомерного вектора.
Пусть
имеет невырожденное
-мерное распределение;
— множество номеров координат X; А, В, С — непересекающиеся подмножества V;
— подмножество координат X, номера которых входят в
.
Определение 4.9. Тройка
называется марковской, если
В определении марковской тройки допускается тривиальный случай
Для того чтобы тройка
была марковской [61], необходимо и достаточно, чтобы
где
или, что эквивалентно,
где
— блок матрицы
соответствующий блоку Еле в матрице
Условие (4.30), очевидно, обобщает соответствующие утверждения о нулях
в случае R (
-распределений. В [61] предложен статистический критерий для проверки гипотезы (4.30), построенный в традиционной асимптотике, когда фиксирована матрица
, а число наблюдений
Определение 4.10. Структурой связей многомерного невырожденного нормального вектора X называется граф
, такой, что для любой марковской тройки
: а) любая цепь в G из i в
проходит через В и б) для каждого
. В существует в G цепь из i в
проходящая через k.
Пусть
— множество вершин, смежных на G вершине
тогда
причем
минимально в том смысле, что ни для какого подмножества его компонент (4.31) не имеет места.
Теоретический способ отыскания Е состоит в том, что для каждой пары компонент
подсчитывается частный коэффициент корреляции между
при фиксированных значениях всех других компонент [20, § 2.51. Если он не равен нулю, то
, в противном случае
. На практике, по-видимому, можно задавать некоторый порог
и считать связь
если
— в противном случае. При другом способе все частные коэффициенты корреляции при фиксированных значениях всех других компонент располагают в вариационный ряд по абсолютным величинам и отбирают наперед заданное число наибольших из них. Если
соответствуют отобранным членам вариационного ряда, то принимают совокупность
Статистические свойства этих рекомендаций не изучены.