§ 4. Релаксация объемной вязкости

Поскольку сверхстоксово поглощение и дисперсия звука были объяснены рядом авторов, и прежде всего Кнезером [9], первоначально для многоатомных газов, мы также начнем рассмотрение с газообразных сред. Было показано, что причина этих явлений заключается в релаксационном механизме передачи энергии звука при неупругих соударениях молекул газа из поступательных во внутренние степени свободы молекул и обратно. Релаксационный процесс представляет собой процесс запаздывания на конечный промежуток времени отклонения макроскопической системы от состояния термодинамического равновесия или возвращения к этому состоянию. При распространении звуковой волны в силу закона возрастания энтропии часть энергии системы переходит в тепло. Как будет показано, при этом должна наблюдаться дисперсия звука.

Качественно возникновение дисперсии в многоатомном газе можно пояснить такими простыми рассуждениями. Полная энергия Е представляет собой сумму энергий поступательного движения молекул (внешние степени свободы) и энергий внутренних (колебательных и вращательных) степеней свободы молекул Соответственно этому теплоемкость будет представлять собой сумму теплоемкостей (для одного моля) (внешние степени свободы) и (внутренние степени свободы). Если звук имеет низкую частоту и период Т существенно больше времени релаксации (времени, за которое отклонение и т. д. от их равновесных значений увеличивается или уменьшается в раз), т. е. то установление равновесия между возбужденными и невозбужденными молекулами успевает следовать за изменением давления в звуковой волне. Формула для скорости звука представляет собой формулу Лапласа: или, так как

(индекс «0» у с соответствует низким частотам).

Для высоких частот () равновесие между внешними и внутренними степенями свободы молекул не будет успевать устанавливаться и . В этом случае

где — значение скорости звука для высоких частот Как видно

из этих выражений, и, следовательно, имеется изменение скорости звука с частотой, т. е. дисперсия.

Можно также качественно показать, что процессы обмена энергией между поступательными (внешними) и колебательными и вращательными (внутренними) движениями молекул, приводят не только к дисперсии, но также и к потере энергии звуковой волны, т. е. вызывают дополнительное так называемое молекулярное поглощение звука.

Отмеченные здесь релаксационные процессы — это процессы колебательной и вращательной релаксации; их часто называют кнезеровскими процессами или термической релаксацией возбуждения внутримолекулярных колебаний. В газах возможен также ряд других процессов. Это так называемая трансляционная релаксация установления максвелловского распределения скоростей молекул газа (как это следует из кинетической теории газов, она происходит всего за несколько столкновений частиц). Это также химические релаксационные процессы диссоциации и ассоциации в газах под действием звука, когда число частиц непостоянно. Возможен и ряд других релаксационных процессов.

Здесь мы не будем рассматривать различные виды релаксаций в газах на микроскопическом уровне, поскольку эти вопросы скорее относятся к молекулярной физике и кинетической теории, чем к физической акустике, а сконцентрируем свое внимание на макроскопическом (феноменологическом) подходе. Такой подход возможен не только для газов (где можно, используя более или менее простые модели, рассматривать вопрос об акустической релаксации и микроскопически), но и для жидкостей, для которых микроскопическое рассмотрение (из-за сложного строения жидкости и отсутствия разработанной теории жидкого состояния) чрезвычайно затруднено и может осуществляться только на основе сложных модельных представлений.

Укажем здесь только, что в жидкостях могут происходить разнообразные и весьма сложные релаксационные процессы: термическая релаксация (кнезеровские эффекты, возбуждения колебательных и вращательных степеней свободы молекул), поворотноизомерная релаксация, химическая релаксация. В акустической волне может возникать под действием деформаций сжатия и сдвига так называемая структурная релаксация. Под этим понимают изменение ближнего порядка в расположении молекул, что приводит к некоторой перестройке структуры жидкости. Все эти типы релаксаций связаны в основном с объемной вязкостью, хотя структурная релаксация может происходить и под действием сдвиговой волны в маловязких жидкостях — на очень высоких частотах. В жидкости могут наблюдаться сразу несколько различных релаксационных процессов.

Обсудим основные положения феноменологической релаксационной теории объемной вязкости, не обращаясь к каким-либо модельным представлениям, а основываясь лишь на законах гидродинамики и законах неравновесной термодинамики; такая теория была

построена впервые Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовичем [23, 24].

Положим, что в релаксирующей среде возникла объемная деформация. Эта деформация нарушает термодинамическое равновесие жидкости (или газа). При этом модуль объемной упругости , или модуль всестороннего сжатия (величина, обратная сжимаемости), изменяется, поскольку К (имея в виду возможные релаксационные процессы в системе) зависит от скорости деформации. Подчеркнем, что здесь мы рассматриваем процессы релаксации, вызванные только объемной деформацией, а не деформацией сдвига. Изменение К происходит от максимального «динамического» значения (быстрые деформации) К, когда установление равновесия не успевает следовать за изменением объема, до минимального (статического) значения модуля объемной упругости (медленные деформации), когда установление равновесия полностью следует за изменением объема. Согласно принципу Ле-Шателье, если система внешним воздействием выведена из состояния равновесия, так что объем ее уменьшается (сжатие), то в ней начинаются процессы восстановления равновесия, которые приводят к уменьшению давления, т. е. давление будет противодействовать деформации и др/др будет уменьшаться. В равновесном состоянии будет меньше, чем в неравновесном состоянии; при быстрых деформациях (высокие частоты) . С этим результатом мы уже познакомились выше при обсуждении формул (4.1) и (4.2). Мы можем записать для изменения давления , противодействующего объемной деформации в случае быстрых деформаций, формулу

где — объемная деформация. Во втором случае для медленных деформаций Теперь рассмотрим сам процесс восстановления равновесия; он приводит к уменьшению давления, противодействующего деформации. В состояниях, близких к равновесию, скорость уменьшения давления можно считать пропорциональной разности , где — равновесное приращение давления при данной деформации. Тогда

где — время релаксации. Это уравнение часто называют уравнением реакции (уравнением релаксации).

Теперь объединим (4.3) и (4.4), считая, что имеет место (вследствие малости отклонения системы от равновесного состояния) аддитивность изменения давления в среде для быстрых и медленных изменений. Тогда можно записать:

Мы получили так называемое уравнение Кельвина — Фойгта для вязкоупругой среды.

Это уравнение можно также записать в другом виде, если ввести обозначение где

Уравнение (4.6) — линеаризованное уравнение состояния, дающее связь между приращением давления и приращением плотности.

Более строгий вывод этого уравнения состоит в следующем [6]. В релаксирующей среде уравнение состояния можно записать в виде

где Н — некоторая «внутренняя» координата; это может быть степень возбуждения молекул, концентрация компонент в химической реакции и т. д.

Считая отклонение от положения равновесия малым, изменение со временем можно представить в виде разложения в ряд по этому малому отклонению

Это уравнение, так же как и (4.4), называют уравнением реакции. Поскольку при то «нулевого» члена в разложении (4.7) не будет; считая, далее, процесс линейным, второй член разложения в (4.7) отбрасываем. Представляем далее ) в виде разложения

Мы пренебрегли в этом разложении малыми членами порядка и выше, где . В (4.8), кроме того, опущен член с изменением энтропии s, поскольку это изменение представляет собой величину третьего порядка малости по сравнению с изменением давления (см. 1.1.19). Следует обратить внимание далее на то, что соответствует текущему значению плотности, т. е. что равновесное состояние само есть функция плотности: . Отсюда, если обозначить через значение в отсутствие возмущения (предельно быстрые возмущения, когда отклонение от равновесного состояния не успевает происходить), то

Из (4.8), имея в виду очевидное соотношение получим

Заменяя в (4.8) на используя уравнение реакции,

можно записать

Из этого соотношения и (4.9) исключим . В результате найдем уравнение состояния для релаксирующей среды, дающее связь между приращением давления и приращением плотности в виде (4.6). Интегрируя это уравнение, получим [26]

где учтено, что Теперь можно рассмотреть распространение звуковых волн в среде с релаксацией. Для этого воспользуемся линеаризованными уравнениями гидродинамики для жидкости без диссипации и уравнением состояния (4.12); тем самым мы учтем процессы релаксации. Из уравнений непрерывности и движения при исключая переменные и v из этих уравнений и (4.12), получаем волновое уравнение

Это волновое уравнение для релаксирующих сред, в котором наличие интегрального члена, как это будет видно ниже, феноменологически эквивалентно учету объемной вязкости . Действительно, при выводе (4.13) мы пользовались уравнениями гидродинамики невязкой жидкости, кооперировали с уравнением состояния (4.12), учитывающим процессы релаксации. Отыскивая решение этого уравнения в виде имеем для волнового числа

Поскольку получаем

Из этого выражения получим соотношения для в виде

Вид кривых для с и в зависимости от изображен на рис. 2.3; эксперимент (см. рис. 2.1) достаточно хорошо согласуется с выражениями (4.16) и (4.17).

В проведенном рассмотрении мы имели дело с процессами релаксации, связанными только с объемными деформациями. Если не рассматривать процессов теплопроводности, можно прийти к заключению, что решение волнового уравнения (4.13) учитывает влияние релаксации только объемной вязкости ; в уравнении состояния (4.6) возможная релаксация сдвиговой вязкости не учитывалась.

Воспользуемся формулой (2.12), согласно которой коэффициент поглощения за счет объемной вязкости равен

Приравняем это значение коэффициенту поглощения (4.17), полученному при рассмотрении релаксации объемной вязкости. Получим

Мы приходим к заключению, что наличие релаксационных процессов в продольной звуковой волне феноменологически эквивалентно появлению объемной вязкости, зависящей от частоты.

При низких звуковых частотах

где 11 не зависит от частоты и пропорциональна времени релаксации т. При высоких частотах

    (4.20)

стремится к нулю при Как говорят, в этом случае «отрелаксировала». Такое поведение объемной вязкости хорошо объясняет частотную зависимость коэффициента поглощения звука, измеренную в экспериментах (см., например, рис. 2.1).

Рис. 2.3. Коэффициент поглощения и фазовая скорость в релаксирующей среде.

Следовало бы обсудить вопрос о том, не будет ли коэффициент теплопроводности х также подразделяться на два коэффициента. Такое рассмотрение было проведено в [25], где показано, что если учитывается релаксация , то релаксацию х учитывать не нужно.

Полезно иметь представление о порядке величин для коэффициента поглощения за счет объемной вязкости. Для этого приведем ряд значений коэффициента поглощения из-за действия сдвиговой вязкости и экспериментально измеренное значение (поглощение из-за теплопроводности х для указанных жидкостей примерно на порядок меньше, и поэтому мы его не приводим); отличие экспериментально измеренного от значения следует отнести за счет действия

Из приведенных данных видно, что поглощение, вызываемое объемной вязкостью, может на два порядка и более превышать поглощение, вызываемое сдвиговой вязкостью.

Остановимся вкратце на общем вопросе о связи между дисперсией и поглощением. Для этого вернемся к выражению, дающему интегральную связь между (см. (4.12)). Можно показать, что после интегрирования по частям оно может быть переписано в виде

    (4.21)

Запись уравнения состояния среды в форме (4.12) и (4.21) полезна в том отношении, что она явным образом характеризует запаздывание реакции среды на внешнее воздействие (в данном случае на изменение плотности ). Тот факт, что верхний предел интегрирования в (4.12) и (4.21) ограничен значением t, является выражением принципа причинности, согласно которому реакция среды в момент времени t определяется воздействием в прошлом и настоящем, т. е. при (среда с памятью). Использование уравнения реакции в простейшей форме (4.7) без учета квадратичного члена привело к появлению экспоненциального ядра в (4.21). В общем случае среда описывается следующим линеаризованным уравнением состояния

в котором интеграл по объему означает, что реакция в точке определяется суммированием воздействий в различных точках пространства , т. е. имеется пространственная нелокалыюсть (соответственно уже упомянутую зависимость реакции от воздействий в различные моменты времени часто называют временной нелокальностью). Вид ядра можно определить, конечно, только с помощью микроскопического рассмотрения. Одпако и феноменологический подход позволяет получить весьма полезные сведения. В частности, из (4.21) легко убедиться, что ядро х убывает практически до нуля в течение характерного времени релаксации . Аналогичные выводы можно сделать и относительно пространственного спадания Можно показать, что х заметно отлично от нуля лишь в интервале — характерный размерный параметр среды (длина свободного пробега частиц, дебаевский радиус, постоянная кристаллической решетки и т. д.).

Поскольку пространственная нелокальность обычно проявляется лишь на очень высоких частотах, мы не будем здесь на ней останавливаться и перепишем (4.22) в виде

Здесь учтено, что для стационарных сред . Для среды, описываемой уравнением реакции (4.7), из (4.21) и (4.23) следует, что

Важные заключения о процессах, происходящих в среде, можно получить и непосредственно из (4.23), не обращаясь к конкретному виду . В частности, можно показать, что распространение звуковых волн в любой неограниченной среде, описываемой уравнением вида (4.23), всегда сопровождается и поглощением, и дисперсией. Более того, последние оказываются связанными весьма общими интегральными соотношениями, которые, принято называть дисперсионными соотношениями типа Крамерса — Кронига.

Рис. 2.4. Контур интегрирования при вычислении интеграла (4.27).

Действительно, вводя обозначение и переходя к фурье-образам в (4.23), получим

где

(используется временная зависимость ). Функция представляющая собой характеристику среды, имеет смысл величины, обратной комплексной сжимаемости, умноженной на плотность. Нетрудно убедиться, что аналитична в верхней полуплоскости комплексного переменного . В самом деле, подстановка в (4.26) показывает, что мнимая добавка к со только улучшает сходимость интеграла в этом выражении. Воспользуемся теперь теоремой Коши для аналитической функции ). Согласно этой теореме интеграл

равен нулю, если интегрирование производится по замкнутому контуру С, изображенному на рис. 2.4. Устремляя радиус дуги контура в интеграле (4.27) к бесконечности и учитывая, что при этом функция получим

Взятие действительной и мнимой частей от (4.28) дает следующие дисперсионные соотношения, связывающие )

где интегралы понимаются в смысле главного значения. Поскольку комплексная фазовая скорость плоской волны, распространяющейся в рассматриваемой среде с памятью, связана с простым дисперсионным уравнением

то дисперсионные соотношения Крамерса — Кронига (4.29) и (4.30) остаются справедливыми и для величин . С учетом симметрии функции , а именно (звездочкой обозначено комплекное сопряжение), вытекающей непосредственно из условия вещественности интересующие нас дисперсионные соотношения для функции можно переписать с помощью интегралов по физической области частот

    (4-31)

Соотношения (4.31) показывают, что в неограниченной среде, описываемой уравнением состояния (4.23), распространение звуковой волны всегда сопровождается поглощением (мнимая часть ) и дисперсией (действительная часть ), которые связаны между собой. Подчеркнем тот факт, что приведенный вывод дисперсионных соотношений (4.29) опирается только на аналитичность и ограниченность функции ) в верхней полуплоскости , которые обусловлены условием причинности и стремлением среды к состоянию термодинамического равновесия. Справедливость соотношений (4.31) для функции характеризующей волновой процесс в среде, кроме того, обусловлена наличием достаточно простой связи (4.30) между , не приводящей к нарушениям аналитичности с или . В более сложных случаях, например для электромагнитных волн в анизотропной плазме [29] или для нормальных звуковых и электромагнитных волн в слоистых средах [30], связь между параметрами среды и волновыми параметрами приводит к нарушению аналитичности последних, и дисперсионные соотношения в общем случае не имеют места.