§ 4. Задача о рассеянии звука на турбулентности

На турбулентных атмосферных неоднородностях, обусловленных пульсациями скоростей и температуры, происходит рассеяние звука. Впервые задачу о рассеянии звука полем пульсаций скоростей рассмотрел в 1941 г. А. М. Обухов [9]. В его работе предполагалось, что распространение плоской звуковой гармонической волны описывается уравнением для потенциала в виде (в отличие от )

где — оператор полной производной, — вектор скорости потока. Считалось, что можно воспользоваться именно таким упрощенным волновым уравнением акустики движущейся среды. С точностью до членов второго порядка малости по уравнение (4.1) можно записать в виде

Разумеется, уравнение (4.2) справедливо лишь при целом ряде предположений, в частности при условии, что характерный пространственный

масштаб звуковой волны значительно меньше, чем масштаб потока. Кроме того, в этом уравнении не учитываются имеющиеся в турбулентной атмосфере пульсации температуры которые также должны дать соответствующий вклад в рассеяние звука. Турбулентность при этом считалась «несжимаемой» и поглощением звука пренебрегалось, т. е. исходными являлись уравнения гидродинамики идеальной жидкости.

А. С. Мониным [101 получено уточненное волновое уравнение для случайно-неоднородной среды с учетом одновременного влияния полей пульсаций и при тех же предположениях, о которых шла речь выше.

Будем считать, что все акустические величины, в том числе акустическая скорость у зависят от времени посредством множителя . Турбулентность предполагаем «замороженной», хотя пульсации скорости ветра и и температуры зависят от времени, однако их частоты малы по сравнению с частотой звука со. Кроме того, как и в § 3, считаем, что справедлива линейная акустика. При этих предположениях волновое уравнение для распространения звука в среде со случайными неоднородностями показателя преломления с точностью до членов первого порядка и, имеет вид (вывод этого уравнения можно найти в [10, 14, 15])

Здесь П — величина, пропорциональная акустическому давлению , где — внешнее давление

Поскольку , где — падающее и — рассеянное поля, для справедливо уравнение При ограничении линейными членами по из (4.3) нетрудно получить уравнение, описывающее рассеянное поле в борновском приближении (в приближении однократного рассеяния):

Правую часть этого уравнения можно считать источником рассеянного поля. Для больших расстояний , таких, что где — длина волны звука и — размер рассеивающего объема (зона дифракции Фраунгофера или дальняя зона), можно использовать известное решение уравнения (4.4) для . Это решение, выраженное через соответствующую функцию Грина, имеет следующий вид:

Здесь — разность волновых векторов падающей и рассеянной волн, — амплитуда падающего поля, — единичный вектор в направлении рассеяния, - индексы суммирования.

Выражение под интегралом в квадратных скобках представляет собой флуктуацию показателя преломления . Обозначив объемный интеграл в (4.5) через G, получим

В дальней зоне рассеянное поле близко к полю плоской волны и, как можно показать [141, для средней интенсивности рассеянной волны следует

плотность потока энергии падающей волны определяется выражением

Для вычисления нужно, таким образом, знать функцию корреляции . В выражение для согласно (4.5), входят функции и при нахождении необходимо знать корреляции для флуктуаций . В случае изотропной турбулентности корреляцию между полями будем считать отсутствующей, а корреляции могут быть выражены через структурные функции соответственно скалярного поля пульсаций и векторного поля пульсаций и (закон «2/3», см. гл. 1). В свою очередь эти структурные функции могут быть представлены для статистически изотропной турбулентности через спектральные плотности [14].

В задачах рассеяния обычно пользуются эффективным сечением рассеяния. Введем эффективное сечение (рассеяние из единицы рассеивающего объема V в единицу телесного угла — стерадиан) следующим образом:

Здесь — угол рассеяния, т. е. угол между направлением падающей волны k и направлением вектора рассеянной волны . Отметим, что поскольку то и в рассеяние на угол главным является вклад от тех неоднородностей, которые образуют синусоидальную дифракционную решетку, период которой удовлетворяет условию Брэгга:

На основании формул и вычисления которое мы здесь не приводим (оно тщательно выполнено в [14]), можно получить, согласно (4.10), следующее выражение для эффективного сечения рассеяния:

Здесь спектральные функции, соответствующие корреляционной функции показателя преломления и относящиеся к температурному полю и полю пульсаций скорости. В случае применения результатов теории локально изотропной турбулентности, когда пространственные периоды решетки лежат в инерционном интервале, т. е.

( — внешний и — внутренний масштабы турбулентности), выражения для трехмерной спектральной плотности температурного поля и спектральной плотности энергии турбулентности имеют вид (в системе СГС) [14]

Здесь — характеристика температурного поля пульсаций, входящая в закон «двух третей», С — постоянная порядка единицы, — диссипация энергии единицы массы за единицу времени и — пространственный волновой вектор.

В результате вычислений получаем формулу

Эта формула приводит к интересным и важным выводам. Из нее следует, в частности, что рассеяние «назад» поскольку множитель при обращается в нуль, имеет место лишь на температурных неоднородностях

Рис. 7.5. Индикатрисы рассеяния в полярных координатах, соответствующие формуле (4.15).

При угле и, таким образом, рассеяние в этом направлении отсутствует как на поле пульсаций температуры, так и на поле пульсаций скоростей и. На рис. 7.5 приведены индикатрисы рассеяния в полярных координатах, соответствующие этой формуле. Они дают наглядные представления о рассеянном поле.

Индикатриса 1 соответствует функции (рассеяние на ), а - функции (рассеяние на ); при этом На рис. 7.5, таким образом, показан лишь характер зависимости от числовые значения

при этом не даются. На самом деле рассеяние на значительно (на порядок) слабее, чем рассеяние на и. С этим связано наличие множителя 0,13 во втором члене (4.15); впрочем, метеорологические условия здесь играют существенную роль.

Все изложенное относилось к рассеянию звука на турбулентных неоднородностях в атмосфере. В океане также имеется турбулентное движение, поскольку гидродинамические числа Рейнольдса благодаря большим масштабам движения могут быть очень велики. Мы уже отмечали, что для условий морской среды основные представления локально изотропной теории турбулентности в довольно широких пределах выполняются. Поэтому развитая теория рассеяния может быть применима для условий моря и океана. Она с успехом была использована для вертикального зондирования как атмосферы, так и для изучения по глубине неоднородностей толщи морской среды.