§ 6. Распространение звука в среде с пузырьками

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, позволяют рассмотреть интересную и важную в практических приложениях задачу о распространении звука в жидкости, где имеется множество пузырьков.

Мы видели, что при падении звуковой волны на одиночный пузырек последний, совершая вынужденные колебания, частично поглощает звуковую энергию за счет потерь на вязкость и теплопроводность, а частично переизлучает (рассеивает) падающую на него волну. Если же в жидкости имеется много пузырьков, то каждый из них находится в поле как падающей, так и рассеянных волн от соседних пузырьков, которые создают поле многократного рассеяния.

Проблема рассеяния волн имеет первостепенное значение во многих разделах физики; мы с ней встречались уже в гл. 2, когда речь шла о рассеянии Мандельштама — Бриллюэна; она будет встречаться нам и дальше [6, 45, 46].

Изучение особенностей рассеянного волнового поля часто является единственным способом получить сведения о физических свойствах среды (вспомним рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах).

Введем сначала понятие о полном сечении рассеяния частицы, с которым нам далее придется неоднократно встречаться. Величина определяется из соотношения: полная энергия, рассеянная частицей (пузырьком) (здесь — расстояние от центра пузырька), равна энергии падающей волны интенсивности проходящей через площадку размером перпендикулярно к направлению падающей волны, т. е.

откуда и находится . Поскольку площадь поперечного сечения пузырька радиуса R равна то тогда, если бы вся падающая энергия рассеивалась пузырьком во всех направлениях, вся эта рассеянная энергия была бы равна Отношение определяет количество рассеянной энергии в долях энергии падающей. Следует при этом заметить, что при резонансе, когда частота падающего поля совпадает с собственной (резонансной) частотой пузырька, сечение рассеяния может значительно превосходить геометрическое поперечное сечение пузырька (для случая пузырька в воде — на несколько порядков).

При падении плоской звуковой волны на единичный пузырек, радиус которого много меньше длины звуковой волны К, полное поле вблизи рассеивателя можно представить в виде суммы двух членов:

где — координата центра пузырька, — амплитуда рассеяния. При R А. амплитуда рассеяния сферически симметрична и не зависит от угла падения ; ее значение выражается формулой (2.17).

Пусть теперь в жидкости имеется не один, а множество пузырьков. Будем считать, что радиус пузырьков R много меньше длины распространяющейся волны к и что к намного больше среднего расстояния L между пузырьками, т. е. что Пузырьки сферически симметричны, а их центры неподвижны. Это дает нам возможность исключить из рассеянных волн дипольные и более высокие компоненты излучения. В этом случае волновое поле в среде с N пузырьками можно записать по аналогии с (6.2) в виде суммы первоначально распространяющегося поля плоской волны и множества рассеянных волн монопольного типа, т. е.

где координаты центров пузырьков. Неизвестные коэффициенты как и в случае одиночного пузырька, должны находиться из граничных условий, имеющих место на поверхности каждого из пузырьков. В дальнейшем для простоты будем считать, что радиусы всех пузырьков одинаковы и равны

При принятом условии задачу нахождения неизвестных коэффициентов можно значительно упростить. Оказывается, что в этом случае приближенное значение коэффициентов выражается просто через произведение амплитуды рассеяния А на одиночном пузырьке и амплитуды падающего поля на пузырек, взятой в точке где

где Действительно, полное поле вблизи любого из N пузырьков можно представить как в форме (6.3), так и в виде суммы падающего на пузырек поля ) и рассеянной волны При условии падающее поле вблизи пузырька мало меняется, его можно считать пространственно квазиоднородным и приближенно заменить эффективней плоской волной с амплитудой . В этом случае по аналогии с задачей рассеяния плоской волны на одиночном пузырьке можно считать, что полное поле вблизи пузырька имеет вид

Сравнивая теперь выражения (6.2) и (6.5), находим значения неизвестных коэффициентов в (6.3), . Далее подставим найденные значения коэффициентов в формулу (6.3) и получим, что полное поле

где коэффициенты находятся в свою очередь из решения системы (6.4).

Однако прежде чем переходить к решению системы уравнений (6.4) и (6.6), обратим внимание на то, что в реальных жидкостях пузырьки расположены произвольным, случайным образом. Поэтому и искомая величина ), а с ней и коэффициенты будут представлять собой случайные величины, зависящие от ансамбля конфигураций — месторасположений пузырьков. При малейшем движении пузырьков и изменении их месторасположения значение также меняется и при этом произвольным образом. В подобных случаях интересуются обычно не мгновенными и точными значениями случайных величин, а их статистическими характеристиками. Соответственно и мы при изучении структуры волнового поля в жидкости со множеством пузырьков будем интересоваться

в первую очередь значением среднего поля , а также билинейной корреляционной функцией вида (здесь звездочкой обозначено комплексное сопряжение).

Если каждый из N пузырьков занимает в объеме V любое равновероятное положение независимо от других рассеивателей, то усреднение любой случайной величины по ансамблю конфигураций должно производиться по следующему правилу

Усредним теперь уравнение (6.6) согласно правилу (6.7), сделав при этом предположение, что падающее на пузырек поле не зависит от координат рассеивателя . Если при этом окажется вдобавок, что рассеяние на каждом из пузырьков мало, то среднее падающее поле вблизи любого из N пузырьков можно заменить на приближенно равное ему полное среднее поле Оценка справедливости этих предположений будет приведена ниже. После подобных замечаний и соответствующих операций получаем сразу уравнение Дайсона для среднего поля, или так называемое уравнение самосогласованного поля:

где — плотность распределения пузырьков. Напомним, что обычно (как и в данном случае) под самосогласованным полем понимают поле взаимодействия данной частицы со всеми частицами системы, усредненное определенным образом по системе этих остальных частиц, — действия на данную частицу всех остальных частиц приближенно заменяются их усредненным действием. Уравнение (6.8) можно записать также и в дифференциальной форме. Подействовав оператором на обе части интегрального уравнения (6.8), получим уравнение

которое можно рассматривать как аналог уравнения Гельмгольца, с некоторым эффективным волновым числом

Так как амплитуда рассеяния представляет собой комплексную величину, действительная и мнимая части которой зависят от , то скорость распространения звука в жидкости с пузырьками будет обладать дисперсией и поглощением, поскольку действительная часть волнового числа, как всегда, определяет скорость распространения волны, а комплексная часть числа — ее затухание. Затухание звука, являясь функцией от , складывается из поглощения в чистой жидкости без пузырьков и затухания, вызванного многократным рассеянием волн на пузырьках:

Из приведенной формулы для коэффициента поглощения можно показать, что влияние пузырьков в жидкости на поглощение в ней ультразвука велико. Для случая газовых пузырьков в воде детальный расчет и оценка были проведены довольно давно [48] для целей гидроакустики, где количество пузырьков, в особенности в поверхностных слоях океана, существенно влияет на распространение акустических сигналов. Такие оценки и сравнение с наблюдениями продолжают проводиться и в последнее время [49].

Здесь мы приведем другой случай влияния газовых пузырьков на примере экспериментально наблюдаемых явлений в жидководородной ультразвуковой пузырьковой камере [25]. Для случая жидкого водорода на частоте 40 кГц наблюдаются паровые пузырьки, радиус которых см и концентрация резонансная частота таких пузырьков , т. е. для них При этих условиях, согласно (6.11), можно получить, что . Это значение примерно на четыре порядка превышает коэффициент поглощения чистого жидкого водорода, не содержащего пузырьков, для которого Еще большее затухание будет, естественно, иметь место в случае резонансных пузырьков. Следует отметить, что влияние газовых пузырьков на поглощение обычно оказывается несколько большим, чем влияние паровых пузырьков. Заметим также, что для указанного случая паровых пузырьков в жидком водороде скорость звука меняется приблизительно на 1,5%.

Отметим, что при выводе уравнений (6.8) и (6.9) для среднего поля мы пренебрегли корреляцией падающего поля с координатой самого центра рассеивания Как видно из уравнения (6.4), это в общем случае не так, и подобное пренебрежение возможно лишь в первом приближении при решении системы уравнений (6.4) методом итераций. Учитывая корреляцию лишь в первом приближении, можно получить обобщенное уравнение для самосогласованного поля . Эффективное волновое число в этом случае содержит добавку [51, 52]:

малость которой будет служить критерием справедливости уравнений (6.8) и (6.9) самосогласованного поля. Так как по предположению где — среднее расстояние между пузырьками, то из условия малости величины следует, что поправка к эффективному волновому числу (6.10) мала при условии . Так как , где — поперечное сечение рассеяния, то физический смысл малости рассматриваемой поправки и справедливости уравнений (6.8) и (6.9) состоит в неперекрываемости сечений рассеяния на пузырьках, т. малой плотности .

Выражения (6.10) и (6.12) для эффективного волнового числа были получены в предположении, что рассеяние на каждом пузырьке носит сферически симметричный характер и поэтому описывается полностью только монополем. Однако в том случае, когда пузырьки

совершают, помимо радиальных колебаний, еще и осцилляции или когда не мало, то в рассеянном поле от каждого из пузырьков содержатся еще и мультнполи высших порядков. При условии рассеянное поле вдали от пузырька можно записать, как и ранее, в форме (6.2). Однако, в отличие от рассматриваемого случая, амплитуда рассеяния А является теперь уже функцией от угла При распространении плоской волны в жидкости с пузырьками в этом случае выражение для эффективного волнового числа модифицируется и принимает следующий вид [53]:

где — амплитуды рассеяния на пузырьке вперед и назад, т. е. при углах соответственно.

В приближении отсутствия корреляции между падающим на пузырек полем и координатой его местоположения можно так же легко получить уравнение и для билинейной корреляционной функции:

Положив в уравнении найдем замкнутое уравнение для средней интенсивности звуковой волны

Общий вид уравнений (6.8) и (6.9) справедлив для нахождения среднего поля в жидкости не только с пузырьками, но и в произвольной жидкой среде с рассеивателями любой природы. В частных случаях конкретизируется только вид амплитуды рассеяния . Однако рассеяние на пузырьках, помимо специфического резонансного характера амплитуды обладает еще и рядом своих особенностей. Уравнения (6.8) и (6.9), а также следующие из них выражения (6.10), (6.12) и (6.14) были получены в предположении заданного распределения пузырьков. А именно, при выводе уравнений предполагалось, что радиус всех пузырьков одинаков и неизменен, а распределение пузырьков в пространстве однородно. Обобщение на случай наличия известного распределения пузырьков по радиусам и в пространстве несложно и приводит к следующей модификации уравнения (6.8):

Однако, как было показано ранее, воздействие звукового поля на жидкость с пузырьками приводит в ряде случаев к росту их средних размеров, т. е. к изменению функции распределения пузырьков по их размерам. Поэтому при коротких звуковых посылках, когда время длительности импульса мало по сравнению с характерным временем роста средних размеров пузырьков , оказываются

справедливыми приведенные выше формулы. В том же случае, когда время сравнимо или больше временной продолжительности звукового импульса, происходит перераспределение пузырьков по размерам, а также их пространственная перегруппировка. При этом происходит самоустановление среднего поля в соответствии с изменяющимся распределением пузырьков, которое в свою очередь устанавливается от распространяющегося значения Уравнение для среднего поля в этом случае можно также формально записать в дифференциальной форме (6.9). Однако оно теперь не замкнуто, так как коэффициент будет уже не постоянным, а функцией среднего радиуса пузырька R, значение которого в свою очередь зависит от величины Поэтому для нахождения среднего поля в случае перераспределения пузырьков по. их размерам уравнение (6.9) необходимо дополнить системой уравнений, состоящей из уравнения роста пузырьков , и уравнением (6.14) для средней интенсивности

Рассмотрим теперь случай распространения звука при установлении предельного стационарного режима. Как известно, газовые или паровые пузырьки в звуковом поле могут расти в среднем, если амплитуда звукового давления превышает определенную величину. При падении амплитуды звука ниже порогового значения все пузырьки в конце концов растворяются. Поэтому ясно, что вдали от источника звука, когда амплитуда упадет ниже минимального порогового значения за счет поглощения звука на пузырьках, все далеко расположенные друг от друга пузырьки растворятся. А вблизи от излучателя образуется пузырьковая область с четко выраженной границей. Что касается близлежащих пузырьков, то некоторые из них, имеющие слишком маленький радиус, растворятся, а другие, радиус которых превышает критическое значение будут расти до значения которое определяется пороговым значением в данной точке. Однако еще до установления стационарного самосогласованного распределения пузырьков по размерам в пространстве может возникнуть ряд особенностей.

Мы уже познакомились с тем, что при больших скоростях движения поверхности пузырьков может возникнуть их сферическая неустойчивость. Если время развития неустойчивости слишком мало, то пузырьки могут разрушиться и превратиться в группу маленьких пузырьков, часть из которых захлопывается, а другая часть будет снова расти. При этом возможно установление стационарного динамического режима — самовозобновляющейся кавитации. Функция распределения пузырьков по размерам будет тогда иметь вид

где верхний предел R определяется радиусом пузырька, при котором наступает сферическая неустойчивость. Поскольку при подходе к резонансу значение колебательной скорости R резко возрастает,

в области резонанса и за ним может наступить дробление растущих пузырьков. Именно в этом случае возможно наступление режима самовозобновляющейся кавитации с функцией распределения пузырьков по размерам типа (6.16).

В области резонанса значение средней скорости роста R также достигает максимума. Поэтому в окрестности резонанса в соответствии с формулой (6.16) в кавитационной области устанавливается распределение пузырьков по размерам с минимумом вблизи их резонансных радиусов. А так как в поглощение звука (6.11) вносят наибольший вклад резонансные пузырьки, а их становится все меньше и меньше, то с течением времени в любой точке пространства вблизи излучателя должен наступать эффект просветления. Амплитуда звука возрастает за счет уменьшения его поглощения на резонансных пузырьках в результате их быстрого уменьшения в функции распределения (6.16) на резонансных и вблизи резонансных частот; этот результат обсуждался нами в § 5.

Однако, помимо установления стационарного динамического режима самовозобновляющейся кавитации, возможно установление стационарного режима с неизменным предельным распределением пузырьков по размерам. Если время развития сферической неустойчивости велико по сравнению со временем достижения пузырьком его асимптотических размеров или сама неустойчивость даже и не возникает, то окончательное распределение пузырьков по размерам устанавливается в соответствии с пороговой кривой

Оценки для плоской геометрии показывают, что вблизи излучателя в этом случае устанавливается кавитационная область с четко выраженной границей, длина которой составляет [51]

где значение приближенно соответствует минимальной пороговой амплитуде, a взято при радиусе пузырька, найденном из соотношения

Отметим, что проведенное рассмотрение оказывается справедливым также и для паровых пузырьков, только в этом случае изменяется коэффициент рассеяния и необходимо учесть процессы, связанные с теплопередачей.

Проведенное рассмотрение линейной задачи о распространении звука в жидкости с пузырьками основано на «микроскопическом» подходе. Исходя из динамики поведения одиночного пузырька в жидкости в поле звуковой волны, методом теории рассеяния (при определенных упрощающих предположениях) были получены формулы для дисперсии и поглощения звуковых волн в такой среде. Изложенное решение задачи распространения звука в жидкости с пузырьками является, пожалуй, наиболее общим и последовательным с физической точки зрения, хотя обобщение этого метода на Бодну конечной амплитуды еще не проведено.

Имеется другой подход, основанный на гидродинамике гомогенной среды (гомогенное приближение). Модель такой среды представляет собой смесь жидкости и газа, состоящего из пузырьков; число пузырьков на расстоянии порядка длины звуковой волны считается достаточно большим (длинноволновое приближение). Учитываются процессы теплообмена между воздухом в пузырьке и жидкостью. Для такой системы записываются уравнения движения и непрерывности, причем для связи между давлением газа в пузырьке и объемом пузырька (уравнение состояния) используются решения (2.24). В линейном случае решение задачи о распространении плоской звуковой волны в такой гомогенной среде приводит, естественно, к тем же результатам, которые получены выше методом рассеяния.

Особый интерес представляет развитие такого гидродинамического подхода для случая, когда задача о распространении звука решается для волн конечной амплитуды, т. е. с учетом нелинейности. Рассматриваемая гомогенная среда обладает, вообще говоря, значительной нелинейностью, и поэтому изучение особенностей распространения звука в такой среде привлекает особое внимание. Нелинейность в этой среде проистекает в основном из-за нелинейности уравнения состояния жидкости с пузырьками. Нелинейность же самих гидродинамических уравнений движения играет значительно меньшую роль (на 3—4 порядка).

Если привести «нелинейное» обобщение теории колебаний газового пузырька в жидкости, о которой у нас речь шла выше, то можно получить уравнение состояния смеси (считая малым параметром; здесь — равновесное давление в жидкости и — акустическое давление) [54]. На основе этого уравнения состояния можно определить эффективный показатель адиабаты смеси, т. е. ее нелинейный параметр у, выражение для которого было получено впервые в [55]. Этот нелинейный параметр оказывается на несколько порядков больше, чем нелинейный параметр чистой воды. Так, например, при объемном содержании воздуха в воде в отсутствие звука этот нелинейный параметр Ясно, что при таких больших значениях у нелинейные эффекты проявляются чрезвычайно сильно, большим становится и нелинейное поглощение [561.

На основе нелинейного уравнения состояния, полученного в для длинноволнового акустического возмущения в смеси жидкости с распределенными по размерам пузырьками газа получены и исследованы модельные уравнения в случае адиабатических и изотермических колебаний пузырьков; определены зависимости скорости и поглощения от частоты в области низких частот. Там же рассмотрены процессы образования акустической волны с частотой второй гармоники и волны разностной частоты, что имеет значение для работы гидроакустических параметрических антенн.

Приведенные здесь результаты относились к узкополосным звуковым сигналам. Для широкополосных сигналов уже нельзя ограничиться предельными случаями либо адиабатического, либо изотермического процессов, и достаточно простые методы решения получающихся

сложных уравнений, которые можно было бы исследовать аналитическими или численными методами, еще не разработаны; для среды с пузырьками различных радиусов пока такая задача вообще не решалась.

Для модели гомогенной среды с одинаковыми радиусами пузырьков и без учета процессов теплообмена исследование методами современной теории нелинейных волн, частично рассмотренными нами в гл. 3 и 4, было проведено в [57, 58]. Для такой упрощенной модели был найден ряд интересных результатов: получено уравнение Бюргерса — Кортевега — де-Вриза, найдены акустические солитоны, проведены эксперименты, результаты которых достаточно хорошо совпали с предсказаниями теории [60, 61]. В [62] рассмотрены стационарные волны произвольной амплитуды. Здесь мы не имеем возможности детально останавливаться на большом круге этих интересных работ по нелинейной акустике жидкостей с пузырьками.