§ 3. Поток энергии. Фазовая и групповая скорости

Другой характерной особенностью, проявляющейся при распространении акустических волн вдоль несимметричных направлений в кристаллах, является отклонение потока энергии волны от вектора волновой нормали. Ввиду важности этого явления остановимся на нем несколько более подробно.

Выразим сначала поток энергии через напряжения и смещения. Как известно, механическая энергия Е элемента объема V, находящегося в поле акустической волны, представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий:

а изменение Е в единицу времени:

определяет поток энергии в объем V или из него. Так как

то

откуда с помощью уравнения движения получаем

Если учесть, что выражение в правой части (3.1) есть не что иное, как

и заменить интегрирование по объему (3.1) интегрированием по поверхности, то совершенно очевидно, что

Поскольку поверхностный интеграл в (3.2) описывает суммарный поток энергии в объем V через замкнутую поверхность S, то

компонента потока из объема (вектор Умова — Пойнтинга) есть

    (3.3)

Если через обозначить плотность механической энергии, то закон сохранения (3.2) можно, очевидно, записать и в дифференциальной форме:

представляющей собой своего рода уравнение непрерывности для энергии.

Рассмотрим теперь плоскую волну

Плотность кинетической энергии при этом

а плотность потенциальной энергии

Сравнивая (3.4) и (3.5) с уравнением Кристоффеля (1.6), нетрудно получить известное волновое соотношение

Среднюю по времени плотность энергии очевидно, можно тогда записать в форме

Поток энергии для плоской волны, в соответствии с (3.3), имеет вид

или после усреднения по времени

С другой стороны, поток энергии можно представить следующим образом:

где — скорость переноса энергии. Из выражений (3.7) и (3.8) с учетом (3.4) и (3.6) нетрудно получить

Заметим теперь, что групповая скорость волны описывающая распространение волнового пакета и определяемая как

согласно уравнению (1.6), равна

Таким образом, в рассмотренном случае кристалла без потерь скорость переноса энергии совпадает с групповой скоростью. Направление групповой скорости и соответственно направление переноса энергии волны, как это следует из (3.9), в общем случае не совпадает с вектором фазовой скорости. Можно показать, что совпадение возможно для направлений симметрии кристалла и для некоторых «случайных» направлений, определяемых конкретными соотношениями упругих модулей.

Подставляя в (3.9) выражение для из уравнения Кристоффеля получим полезное соотношение из которого следует, что проекция групповой скорости на направление волновой нормали совпадает с модулем фазовой скорости, т. е. сама групповая скорость по абсолютной величине не меньше фазовой.

Описанное явление отклонения вектора групповой скорости от фазовой, или, что то же, несовпадение акустических лучей с направлением волновой нормали, приводит к ряду специфических эффектов, многие из которых аналогичны соответствующим эффектам в кристаллооптике [2]. Следует, однако, отметить, что с точки зрения физических проявлений анизотропии акустика кристаллов значительно богаче, чем кристаллооптика. Это понятно хотя бы из того, что упругие свойства кристаллов описываются тензором четвертого ранга, а оптические — только второго. К существенному разнообразию акустических явлений приводит и широкий количественный разброс в величинах упругих модулей даже для кристаллов одинаковой симметрии. Все эти факторы необходимо учитывать при проведении акустических экспериментов и в практических приложениях.