§ 3. Динамика одиночного парового пузырька

В § 2 мы имели дело с динамикой газового пузырька в звуковом поле. Часто, однако, приходится встречаться с чисто паровыми пузырьками. К таким случаям относится возникновение паровых пузырьков в криогенных жидкостях — таких, как жидкий азот, кислород, гелий. Паровые пузырьки возникают и в воде при кипении

где также мы встречаемся (при наличии звука в воде, которая находится в состоянии кипения либо близком к нему) с паровой кавитацией.

Естественно рассмотреть сначала, как это было сделано и в случае газовой кавитации, динамику одиночного парового пузырька [16—191.

При рассмотрении движения паровых пузырьков необходимо учитывать теплообмен между жидкостью и пузырьком, а также испарение и конденсацию на границе жидкость — пар. Теория пульсации парового пузырька строится так же, как и газового. Здесь следует только добавить к уравнениям движения и непрерывности уравнение переноса тепла и учесть особенности граничных условий на поверхности, разделяющей паровой пузырек с жидкостью.

Для упрощения задачи будем считать жидкость несжимаемой. Пусть жидкость имеет температуру и испытывает давление , где — давление насыщенных паров и слабое статическое «пережатие», такое, что при отсутствии звука «паразитное» кипение жидкости отсутствует. Считаем также, что пузырек находится в однородном переменном поле давления поскольку

Напишем уравнения гидродинамики в сферических координатах для двухфазной среды — для жидкости и для пузырька. В качестве уравнения состояния используем соотношение (здесь и далее мы следуем работе [20]) или в дифференциальном виде:

а в качестве уравнения переноса тепла — уравнение

Здесь

На колеблющейся стенке пузырька система уравнений для каждой фазы должна удовлетворять граничным условиям, следующим из законов сохранения массы, импульса и энергии:

Здесь и далее штрихами обозначены параметры пара. В отличие от случая газового пузырька, здесь имеются члены с потоком массы пара поскольку в случае парового пузырька частицы вещества, участвующие в теплообмене, несут с собой определенную массу, импульс и энергию. Кроме того, в (3.3) присутствуют тензоры вязких напряжений, которые привносят добавочное давление на поверхности раздела. Здесь в — скорость испарения вещества

в вакуум, поток массы пара через поверхность и теплота парообразования.

Выписанные гидродинамические уравнения и граничные условия учитывают как неоднородность температуры и давления внутри пузырька, так и неравновесность процесса испарения жидкости внутри самого пузырька. При этом неравновесность считается слабой и скачком температуры на границе раздела фаз пренебрегается. Выражение для потока массы далее можно взять из уравнения Герца — Кнудсена (см. [21]):

где — давление насыщенного пара, взятого при температуре жидкости у поверхности раздела фаз. Отметим, что для идеального газа скорость испарения вещества в вакуум [22]

где а — вероятность прилипания молекул пара к поверхности жидкости.

Задача о движении парового пузырька в поле звуковых волн состоит теперь в решении выписанных уравнений с использованием граничных условий (3.3) и выражения (3.4).

Второе из уравнений (3.3), связывающее давление в жидкости у поверхности пузырька с давлением пара внутри пузырька, вместе с другими уравнениями движения дает возможность вывести уравнение типа Нолтинга — Непайреса.

Решая совместно уравнение Навье — Стокса, уравнение непрерывности, уравнение состояния, уравнение переноса тепла, уравнение с учетом граничных условий (3.3) и уравнение Герца — Кнудсена (3.4), получаем в линейном приближении выражение для амплитуды колебаний радиуса пузырька

где — средний радиус пузырька.

Мы не будем выписывать довольно громоздкое выражение для получающейся сжимаемости парового пузырька Отметим, что величину q в результате решения можно записать так:

Эта величина учитывает резонансные свойства парового пузырька. Она представляет собой отношение амплитуды давления звукового поля к амплитуде переменного давления внутри пузырька:

Прежде чем перейти к анализу полученных решений, поясним, откуда у парового пузырька возникают резонансные свойства. Массой образующегося осциллятора является, как и в газовом пузырьке, присоединенная масса жидкости, а упругостью — избыточное давление, возникающее в пузырьке при изменении его размеров. Однако при медленном изменении размеров парового пузырька давление

пара в пузырьке будет соответствовать давлению насыщенного пара при температуре жидкости на границе пузырька. Лишний пар будет конденсироваться на стенке пузырька, и избыточного давления (т. е. возвращающей силы осциллятора) не возникает; таким образом, при медленных движениях упругость парового пузырька равна нулю. При быстрых движениях тепло, выделяющееся при конденсации пара, не успевает рассеяться в жидкости; жидкость на границе пузырька нагреется и нагреет пар в пузырьке. Вследствие этого давление пара в пузырьке будет соответствовать уже давлению насыщенного пара при более высокой температуре, т. е. возникнет возрастающая сила.

Рис. 6.3. Зависимость функций отклика от радиуса паровых пузырьков для различных частот: кривая .

При еще более высокой скорости движения стенки пузырька, приближающейся к скорости испарения жидкости в вакуум пар не будет успевать конденсироваться, и его состояние будет отличаться от равновесного; его давление будет превышать давление насыщенного пара. Это превышение будет источником второй составляющей возвращающей силы; при этом свойства парового пузырька приближаются к свойствам газового. Таким образом, упругость (сжимаемость ) парового пузырька существенно зависит от частоты воздействия и радиуса пузырька и имеет достаточно сложный вид.

Используя получающиеся в линейном приближении решения, можно рассчитать функцию отклика системы паровой пузырек — жидкость. График такой функции для воды при температуре 150 °С при разных частотах звукового поля приведен на рис. 6.3 [23].

Обратим внимание на то, что функция отклика при не слишком малых радиусах паровых пузырьков имеет два резонанса. Один из этих резонансов, когда радиус пузырька большой, описывается формулой Миннаерта; добротность пузырька при этом достаточно велика. С увеличением частоты звука эта добротность уменьшается, а сам максимум передвигается в сторону меньших радиусов. Второй резонанс связан с поверхностным натяжением пузырька. Наличие

двух резонансов для паровых пузырьков впервые было отмечено в 19].

Если решать исходную полную систему уравнений пульсаций парового пузырька во втором (квадратичном) приближении, то можно убедиться, что действие звукового поля на паровой пузырек, кроме того, что оно вызывает вынужденные колебания пузырька, приводит также к постепенному увеличению его среднего радиуса. Здесь мы сталкиваемся с явлением, имеющим сходство с явлением выпрямленной диффузии газа в пульсирующий в звуковом поле пузырек (§ 2).

Рис. 6.4. Пульсация парового пузырька в жидком азоте: кривая 1 соответствует амплитуде звукового давления

Это явление получило название направленной или выпрямленной теплопередачи (рост средней массы в пузырьке и рост его радиуса).

Основной причиной роста среднего радиуса пузырька является, кроме рассмотренного выше механизма шелл-эффекта (для более крупных пузырьков), поглощение механической энергии звука или, другими словами, работа сил поля над пузырьком. Величина этой энергии зависит от вязкости и теплопроводности пара, вязкости и теплопроводности жидкости, параметров, определяющих интенсивность испарения — конденсации, и, естественно, от амплитуды и частоты звука. В квадратичном приближении формула для скорости роста среднего радиуса пузырька выглядит следующим образом [23]:

Здесь пережатие, производная вдоль кривой фазового равновесия жидкость — пар, А, — коэффициенты, связанные с различными механизмами поглощения звука.

Как видно из формулы (3.8), скорость роста пузырьков зависит от того, насколько близок пузырек к резонансу (насколько мал фактор q). Существует амплитуда звука которую можно назвать порогом роста; если амплитуда звука больше чем то пузырек растет, если меньше, то растворяется. На рис. 6.4 приведен пример численного расчета на ЭВМ [24] роста парового пузырька в жидком азоте при , т. е. температуре кипения при нормальном давлении. Начальный радиус пузырька составлял , пережатие , частота Из приведенных графиков видно, что при периодических пульсациях парового пузырька в звуковом поле средний радиус пузырька растет благодаря рассмотренному выше эффекту выпрямленной теплопередачи и что когда радиус пузырька превышает его резонансные значения, скорость роста заметно уменьшается и радиус приближается к некоторому асимптотическому значению.

Явление роста паровых пузырьков в поле ультразвука находит применение в разрабатываемых ультразвуковых пузырьковых камерах для исследования частиц высоких энергий [25].