§ 3. Примеры точных решений

Дальнейшее применение теории движения жидкости состоит в нахождении решений конкретных задач. Для потенциального движения идеальной жидкости и, следовательно, . Тогда уравнение Эйлера может быть записано в виде

Здесь — постоянное (в отсутствие внешних полей) значение давления в той области пространства, где отсутствует движение жидкости. Воспользовавшись соотношениями , получаем

В случае адиабатического процесса , где — квадрат адиабатической скорости звука. Если теперь в (3.1) положить то приближенно получим

Без ограничения общности можно записать

При стационарном движении несжимаемой жидкости имеем точное уравнение

Это уравнение носит название уравнения Бернулли. Его также часто записывают виде

    (3.3)

Приближенное уравнение (3.2) можно записать в виде (имея в виду, что )

Это уравнение иногда называют обобщенным уравнением Бернулли. Оно справедливо при условии , где I — характерная длина, характерный временной интервал. Например, для акустических задач эти величины имеют смысл длины и периода волны и выписанное условие приобретает вид

Уравнение Бернулли есть следствие закона сохранения энергии и во многих случаях позволяет получить сведения о потоке, не прибегая к решению самих гидродинамических уравнений.

Из уравнения Бернулли легко выясняется смысл условия несжимаемости стационарного движения жидкости Поскольку при адиабатическом изменении плотности

где с — скорость звука, а из . Таким образом, условие , т. е. условие несжимаемости жидкости состоит в том, что для стационарного течения число Маха при газ или жидкость описываются одними и теми же уравнениями.

Однако такой вывод справедлив лишь для стационарного движения жидкости. Если движение нестационарно, то в добавление к условию несжимаемости следует учесть еще одно условие. Действительно, акустическое число Маха (здесь v — колебательная скорость частиц) всегда значительно меньше единицы. Тем не менее, поскольку акустические волны — это нестационарное движение жидкости, условие еще не означает, что жидкость можно считать несжимаемой; в несжимаемой жидкости звук вообще не распространяется.

Дело здесь в том, что для «несжимаемости» при нестационарных движениях жидкости необходимо выполнение условий которые следуют из уравнения непрерывности и из уравнения Эйлера. Но из первого неравенства следует, что где — соответственно характерные пространственный и временной масштабы движения (длина волны к и ее период Т в случае звука). Из второго приближенного равенства (уравнение Эйлера) и равенства имеем Отсюда и далее, используя неравенство найдем Таким образом, жидкость при ее нестационарном движении можно считать несжимаемой, если выполняются два условия: Последнее условие означает, что в несжимаемой жидкости распространение возмущения должно происходить с бесконечной скоростью; в акустике хотя но зато

Другой пример использования уравнения Бернулли относится к теории диска Рэлея, применяемого для абсолютных измерений звукового давления. Диск Рэлея представляет собой небольшой легкий слюдяной кружок (его диаметр существенно меньше длины звуковой волны), подвешенный на тонкой кварцевой нити. Когда на диск падают звуковые волны, он поворачивается, стремясь занять положение, перпендикулярное направлению распространения этих волн. Причина этого может быть понята на основе уравнения Бернулли. На рис. 1.2 изображены линии, по которым движутся частицы воздуха при обтекании диска постоянным воздушным потоком, — линии тока; вблизи диска линии тока искривляются. Давление потока на диск в разных точках его поверхности зависит от скорости, которую в этих точках имеют частицы воздуха. Согласно уравнению (3.3) наибольшее давление будет в тех точках диска, где происходит полная остановка течения. Таких точек на диске . В этих точках появляются силы, показанные на рис. 1.2 стрелками, которые образуют вращающий момент, стремящийся повернуть диск «лицом к потоку». По этой же причине лист бумаги, выпавший из рук, при своем падении стремится повернуться так, чтобы его поверхность стала перпендикулярной к направлению движения.

Из рис. 1.2 можно заметить, что если направление потока изменить на обратное, то благодаря симметрии картины линий тока вращающий момент не изменится; диск будет стремиться повернуться в том же направлении. Поэтому, если диск находится в переменном потоке воздуха, направление которого периодически изменяется (а такой поток имеет место при распространении звуковой волны), он будет поворачиваться так же, как и в постоянном потоке, занимая положение поперек потока.

Перейдем к реальной жидкости, обладающей вязкостью. Уравнения движения вязкой жидкости весьма сложны.

Рис. 1.2. Обтекание диска потоком. Диск поставлен под углом 45° к потоку.

По этой причине только небольшое число задач имеет точное решение. Такие задачи, как правило, отличаются геометрической простотой и определенными условиями симметрии. Весь же огромный комплекс остальных задач гидродинамики вязкой жидкости приходится решать приближенными аналитическими методами и широко применять численные методы с использованием быстродействующих ЭВМ [6]. К числу задач, которые удается решить точно, относятся такие задачи, как одномерное течение вдоль стенки, течение между двумя движущимися друг относительно друга параллельными плоскими стенками (течение Куэтта), течение в цилиндрической трубке (течение Пуазейля), стационарное течение между двумя цилиндрами, течение в расширяющейся трубе (диффузоре) и некоторые другие. Остановимся здесь лишь на езжной для физической акустики задаче о движении в вязкой несжимаемой жидкости плоской безграничной стенки, которая колеблется в своей плоскости.

Пусть неограниченная плоская поверхность (плоскость ) соприкасается с покоящейся в целом несжимаемой вязкой жидкостью, и пусть эта поверхность совершает гармонические колебания в своей плоскости с частотой со в направлении у. Спрашивается, какое при этом возникает в жидкости движение, если жидкость в целом покоится? Используя граничные условия, согласно которым скорость жидкости у поверхности совпадает со скоростью поверхности условие несжимаемости жидкости и геометрию задачи, нетрудно показать, что в рассматриваемом случае и уравнение движения Навье — Стокса сводится к линейному одномерному уравнению типа уравнения теплопроводности:

Отыскивая периодическое решение этого уравнения в виде где — волновое число, найдем, используя граничные условия при

Отсюда, поскольку получаем

и

где у мнимой части взят знак иначе скорость при возрастала бы.

Полученный результат показывает, что колеблющаяся ввязкой несжимаемой жидкости в своей плоскости пластина излучает поперечные волны с волновым числом которые называют вязкими или сдвиговыми волнами, иногда — волнами Стокса. Эти волны распространяются со скоростью

и имеют длину

Коэффициент затухания вязкой волны согласно (3.8), имеет значение

Вязкая волна практически затухает на расстоянии, равном длине волны; в некотором тонком пограничном слое, толщина которого порядка она все же распространяется.

Если на плоской поверхности жидкости имеются периодические изменения температуры, то, подобно вязким волнам, в жидкости возникают температурные, или тепловые волны. Характерные параметры этих волн определяются одномерным уравнением теплопроводности

где Т — температура и — коэффициент температуропроводности, т. е. уравнением точно такого же вида, как и уравнение (3.5) для вязких волн.

Если на границе при то, по аналогии с (3.8), значение Т в зависимости от будет иметь вид

Так же, как и вязкие волны, тепловые волны распространяются в глубь среды со скоростью экспоненциально затухая и образуя тонкий тепловой пограничный слой. Эти волны также имеют сильную дисперсию.

Длина тепловой волны выражается формулой

Представление о вязких и тепловых волнах, быстро затухающих при удалении от колеблющейся поверхности тела внутри жидкости и обладающих дисперсией, очень важно для большого круга задач физической акустики. Аналогичные процессы необходимо учитывать, в частности, в задаче о поглощении звука, распространяющегося вдоль твердой стенки (что имеет существенное значение в теории звукопоглотителей), в теории акустических течений, в явлениях, связанных с динамикой газовых и паровых пузырьков, находящихся в акустическом поле, и т. д.