§ 2. Основные сведения из нелинейной теории упругости

С методами феноменологического описания нелинейного поведения изотропных твердых тел мы уже познакомились в гл. 8. В частности, приводилось выражение для внутренней энергии изотропного твердого тела с точностью до членов третьего порядка по степеням тензора деформации. Ниже мы рассмотрим эти вопросы более подробно, касаясь в основном тех аспектов нелинейной теории упругости, которые имеют непосредственные приложения к волновым задачам. Имея в виду потребности дальнейшего изложения, начнем обсуждение с более общего случая пьезоэлектрического кристалла. При этом в качестве термодинамического потенциала, определяющего вид нелинейных уравнений состояния, удобно

выбрать так называемую электрическую энтальпию Гиббса Н, которую можно записать в виде ряда по степеням полевых переменных [22]:

При этом мы не будем делать различий между изотермическими и адиабатическими значениями коэффициентов разложения (2.1), так как обычно они отличаются не более чем на 2—3%. Здесь плотность кристалла до деформирования, упругие модули второго и третьего порядков, — коэффициенты линейной и нелинейной диэлектрической проницаемости, и -линейные и нелинейные пьезокоэффициенты, коэффициенты электрострикции, тензор деформации, вектор напряженности электрического поля. Уравнения состояния для термодинамических напряжений и электрической индукции легко получить посредством дифференцирования потенциала

Необходимость введения термодинамических напряжений в нелинейной теории упругости [23, 24] связана с тем, что обычно используемые механические напряжения определяются по отношению к площади деформированного тела, в то время как деформация — по отношению к недеформированному состоянию. Для устранения этого несоответствия в термодинамике и вводится симметричный тензор определяемый по отношению к площади первоначально недеформированного тела. Очевидно, в линейном приближении однако при описании нелинейных эффектов разницу между необходимо учитывать.

Подстановка (2.1) в (2.2) дает с точностью до квадратичных членов

Нетрудно видеть, что величины в квадратных скобках в данной записи имеют смысл модифицированных линейных модулей (гл. 9).

Нелинейные акустические эффекты в твердых телах принято подразделять на статические (распространение волн при воздействии на кристалл постоянных механических или электрических возмущений) и динамические (генерация гармоник, или искажение формы волны, и взаимодействие волн). При описании нелинейных акустических свойств кристаллов принято различать следующие три состояния среды [23]: 1) недеформированное (естественное) состояние — координаты лагранжевы координаты (см. также гл. 1); 2) начальное деформированное равновесное состояние (при воздействии

внешних статических возмущений) — координаты состояние в данный момент (характеризующее распространение звука) — координаты . В зависимости от того, какая из переменных или х считается независимой, уравнения движения имеют различный вид. В частности, в переменных естественного состояния, в которых вектор смещения определяется выражением а тензор деформации для закона сохранения массы (уравнения непрерывности) имеем

где матрица преобразования от переменных к переменным — плотность среды в деформированном состоянии. Выражая в механическом уравнении движения величины и через в соответствии с формулой (2.4) и соотношением, связывающим механические и термодинамические напряжения (см., например [23]): , где запятая означает дифференцирование по получим

где — так называемый тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа. Этот тензор, очевидно, не симметричен. Можно показать [23, 24], что он «сопряжен» градиентам смещений, т. е. (см. также [5]), в то время как тензор термодинамических напряжений «сопряжен» компонентам тензора деформации (см. первое соотношение (2.2)).

Уравнения движения для электромагнитного поля (уравнения Максвелла) в квазистатическом приближении, но с учетом движения частиц среды, как известно, сводятся к выражениям

в которых индексы означают, что соответствующие переменные определены в координатах в то время как и входящие в уравнения состояния (2.3) — в координатах . Связь между ними дается формулами [24]

С учетом (2.8) уравнения (2.6) и (2.7) нетрудно преобразовать к виду

т. е. уравнения электростатики не меняются при переходе к координатам

Выписанная система уравнений, включающая уравнения движения (2.5), (2.9), (2.10) и уравнения состояния (2.3), полностью описывает нелинейные акустические эффекты в пьезокристаллах в квазиетатическом приближении.

В качестве первого примера, иллюстрирующего использование этих уравнений, рассмотрим статический нелинейный эффект — распространение волн малой амплитуды в непьезоэлектрическом кристалле, к которому приложено постоянное во времени и однородное в пространстве внешнее механическое напряжение [23]. Для этого разложим величину в степенной ряд по в окрестности начального состояния:

    (2.11)

Здесь и далее знак будет означать, что соответствующая величина берется в начальном состоянии. Подставляя соотношение (2.11) в уравнение (2.5), можно получить линеаризованное относительно уравнение движения в естественных координатах:

Для перехода к уравнению относительно начальных координат обе части следует умножить на и сделать подстановку . При этом уравнение (2.12) принимает вид

где

В выражении (2.14) через обозначены коэффициенты, стоящие перед компонентами линеаризованного тензора деформаций в разложении тензора механических напряжений в окрестности начального состояния

Легко видеть, что по своей форме уравнение (2.13) совпадает с обычным линейным волновым уравнением, описывающим распространение упругих волн в кристаллах. Разница состоит лишь в том, что при ненулевых начальных напряжениях величины вообще говоря, оказываются менее симметричными по сравнению с линейными упругими модулями недеформированного кристалла. Физически это вполне очевидно. В случае гармонических плоских волн от уравнения (2.13) можно перейти к уравнению типа Кристоффеля, в котором роль тензора Кристоффеля будет играть тензор Собственные значения этого тензора определяют значения скоростей ) акустических волн в однородно нагруженном кристалле.

Легко понять, что измерение зависимостей скоростей от значений приложенных внешних сил может использоваться для экспериментального определения упругих модулей третьего порядка, соответствующих естественному состоянию среды (см. уравнение (2.3)), которые, очевидно, входят в величины . Чтобы

получить искомую связь, следует воспользоваться разложением термодинамических напряжений в окрестности начального состояния

    (2.15)

где тензоры обычным образом определяются в естественных координатах [23, 241, и учесть соотношение

Сравнивая выражение (2.15) с уравнением состояния (2.3), можно связать величины и, следовательно, с модулями упругости второго и третьего порядков и значениями прикладываемых механических напряжений. Мы, однако, не будем на этом останавливаться, отсылая читателя к специальной литературе по экспериментальному определению модулей упругости третьего порядка [7, 22—28]. Об измерении нелинейных пьезоэлектрических коэффициентов можно прочитать в работе [29].

Отметим, что изменения скоростей акустических волн при внешних воздействиях, обычно пропорциональные величине воздействия, могут использоваться и в практических целях: например, для измерения давления, деформаций, напряженности электрического поля; для анализа распределения механических напряжений в среде и т. п. Этим вопросам посвящена обширная литература (см., например, [30, 311). Точность измерений можно повысить, если использовать закономерности поляризационных эффектов для акустических волн в кристаллах, подверженных статическим внешним воздействиям, в частности возникновение эллиптической поляризации у сдвиговой волны при ее распространении вдоль акустической оси. Подробнее об этом можно прочитать в монографиях [28, 32].