§ 3. Взаимодействие двух сферических частиц в звуковом поле

Общая формула для силы радиационного давления звука на малый шар (2.13) позволяет рассмотреть более трудную и интересную задачу о взаимодействии двух сферических частиц в звуковом поле. Общий путь решения этой задачи таков. Положим, что исходный шар радиуса имеет координату а на расстоянии от этого шара имеется другой шар с радиусом

В рассматриваемом случае падающее поле в окрестности первого шара можно представить как суперпозицию исходного поля без учета второго шара и поля, рассеянного от второго шара:

Рассеянное поле от второго шара состоит из суммы сферических волн, образованных в результате рассеяния на втором шаре как исходной волны так и многократно перерассеянных волн на первом шаре. Ограничиваясь однократным рассеянием, можно записать аналогично (2.6), т. е.

Коэффициенты определяются из граничных условий для взятых на поверхности шара с центром в точке Далее, разложив этот потенциал в ряд Тэйлора в окрестности первого шара в точке можно найти (через производные от ) значения коэффициентов Эти коэффициенты в приближении однократного рассеяния выразятся в виде

где Здесь индексы (0) означают величины коэффициентов, соответствующих падающему полю, а индексы (1) — рассеянному полю. Эти значения коэффициентов далее следует подставить в (2.13). Сила представится в виде двух составляющих. Первая, в которую будут входить произведения вида представляет собой рассмотренное выше радиационное давление невозмущенного звука, падающего на частицу. Вторая же составляющая, которая определяется произведением коэффициентов есть не что иное, как сила взаимодействия между двумя частицами

Эта сила имеет довольно сложный вид, но ее выражение упрощается для случая, когда Результат расчета показывает, что для случая двух пузырьков в жидкости, когда можно считать в квадратичном приближении получается следующий результат:

Вычисляя коэффициенты а также отбрасывая члены, имеющие порядок величины найдем, что между

двумя пузырьками действует сила притяжения

где — единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей центры двух пузырьков,

Мы получили известный аналог (аналог в том смысле, что эта сила (3.4) написана для колеблющихся частиц в звуковом поле) формулы для силы Бьеркнеса [14, 151, которая представляет собой радиационную силу, испытываемую пызырьком за счет рассеяния волны от другого пузырька. Из формулы (3.3) следует, что есть результат интерференции падающей волны с рассеянной волной .

В случае твердой частицы большее значение имеет второй член в (2.12) и при

причем члены, имеющие порядок отброшены.

Вычисления, которые мы здесь не приводим, дают такую формулу для :

Здесь введена относительная скорость где колебательная скорость в точке нахождения частицы.

Если шары твердые и находятся в воздухе, то скорость поступательного движения таких шаров можно положить равной нулю Формула (3.7) переходит в известную формулу Кёнига для силы взаимодействия двух неподвижных шаров в гидродинамическом потоке несжимаемой жидкости, движущейся с постоянной (или колебательной) скоростью :

    (3.8)

где угол а образован направлением скоростей осциллирующих шаров с линией, соединяющей центры шаров.

Из (3.7) следует, что имеет тензорный характер; кроме сил, действующих вдоль линии, соединяющей центры частиц, имеется поперечная сила, которая разворачивает частицы друг относительно Друга. Имеются зоны притяжения и зоны отталкивания при определенных конусах взаимодействия. Если линия, соединяющая Центры шаров, направлена вдоль распространения звуковой волны, они отталкиваются друг от друга, если же перпендикулярно, — имеет место притяжение.

На рис. 5.2 построен конус взаимодействия с центром в точке нахождения первого шара и осью ориентированной вдоль

направления падающего поля. Образующая поверхности конуса пересекает ось х под углом величина которого определяется из условия

Частицы внутри конуса взаимодействия при отталкиваются от первого шара, а частицы вне этого конуса притягиваются к нему. Поперечная сила, как это следует из (3.8), стремится вывести частицы из области отталкивания в область притяжения (телесный угол отталкивания оказывается примерно в 1,3 раза больше области притяжения). На рис. 5.2 стрелками показаны направления сил взаимодействия. Как уже говорилось, формула (2.13) была получена в предположении Если расстояние между частицами L становится сравнимым с К, то следует учитывать, что частицы могут совершать колебания в противофазе, да и вообще сама задача о нахождении радиационной силы взаимодей ствия становится сложнее.

Рис. 5.2. Конус взаимодействия и направления сил, действующих на частицы, находящиеся на сфере при различных положениях частиц по отношению к исходному шару.

При малых расстояниях между частицами в реальной жидкости начинает играть роль вязкий пограничный слой вокруг частиц; в проведенном рассмотрении вязкость вообще не учитывалась.

Когда или L меньше длины вязкой волны вязкость играет существенную роль и формула (2.12) уже неприменима. При радиационная сила может возрасти на несколько порядков 117], поскольку вязкий слой увеличивает эффективный радиус частиц, а в знаменателях (3.4) и (3.8) и расстояние между частицами L присутствует соответственно во второй и в четвертой степенях.

Для случая когда и вязкие слои частиц перекрываются, в [181 подсчитана сила взаимодействия частиц в режиме вязкого обтекания. Результат расчета не совпадает с выводами, получающимися из (2.13); впрочем, такого совпадения и не следовало ожидать, так как исходные предположения при выводе (2.13) были иные (в частности, отсутствовала вязкость). Из этих расчетов следует, что когда ось узкого конуса взаимодействия совпадает с направлением падающего поля, имеет место притяжение частиц, тогда как из (2.13) следует, что должно быть отталкивание. Если вязкие слои частиц не перекрываются, но силы взаимодействия сильно увеличиваются [18], хотя закон их иной.

Как видно из проведенного рассмотрения, гидродинамические силы взаимодействия есть проявление сил радиационного давления рассеянного звука. В ряде обзоров для пояснения возникающих в звуковом поле сил взаимодействия вводят силы Бернулли. Как видно, для этого нет достаточных оснований.

В решении задач по радиационному давлению на малые частицы при интенсивных звуковых волнах, когда форма волны близка к пилообразной следует, естественно, учитывать нелинейные эффекты. Такие задачи, насколько нам известно, пока еще не рассматривались.