Часть I. ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ

Глава 1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ

§ 1. Идеальная жидкость

Теоретической основой физической акустики служит механика сплошных сред — гидродинамика и теория упругости. Подробное изложение гидродинамики содержится во многих книгах (см., например, [1—4]). Предполагая, что читатель знаком с ее основами, мы кратко остановимся лишь на тех сведениях, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Рассмотрим движение идеальной сплошной среды (жидкости или газа), вязкость и теплопроводность в которой отсутствуют. Закон Ньютона для сплошной среды — произведение массы единицы объема среды на ее ускорение равно действующей силе — в координатах неподвижного пространства (координаты Эйлера) запишется в виде

где v — скорость движения жидкости в данной точке пространства, — плотность, — давление и f — силы, действующие на единицу массы жидкости. (Например, — это сила тяжести, где g — ускорение свободного падения.) В этом уравнении представляет собой так называемую локальную производную, — конвективную производную. Это векторное уравнение называется уравнением Эйлера; оно содержит пять неизвестных — . Сразу же отметим, что это уравнение нелинейное; нелинейность возникает, например, из-за присутствия конвективного члена Обычно в акустике, где скорость v есть колебательная скорость частиц жидкости, вызываемая прохождением волны в покоящейся среде, этот член отбрасывают, поскольку v мало и — член второго порядка малости. Он значительно меньше остальных членов уравнения (1.1). Далее мы увидим, что во многих случаях этого делать нельзя, и учет конвективного члена позволяет рассматривать большой класс важных нелинейных эффектов.

Если при движении жидкости нет разрывов сплошности, масса в некотором фиксированном относительно неподвижного пространства

етва объеме сохраняется. Закон сохранения массы жидкости выражается уравнением непрерывности-.

Правая часть (1.2) равна нулю, только если отсутствует источник массы. Условие несжимаемости жидкости запишется в виде

Возможен другой подход к описанию движения, когда система координат связана с частицами среды (лагранжевы координаты). Этот подход используется в теории упругости и некоторых задачах нелинейной акустики, там, где лагранжевы координаты удобны для задания граничных условий 15].

Если совокупность эйлеровых координат (-координат) обозначить через , а лагранжевых (-координат) — через а, b, с, то преобразование от -координат к Е-координатам будет иметь вид

Обратное преобразование от Е- к L-координатам:

Для совершения точного перехода от одних координат к другим нужно, вообще говоря, знать решение системы уравнений гидродинамики в Е- или -координатах. В акустических задачах, когда смещения частиц из положения равновесия малы, этот переход можно выполнить приближенно. Связь между эйлеровой координатой х и лагранжевой а будет и, поскольку смещения малы, можно представить гидродинамические параметры, например акустическую скорость v в L- и L-координатах, в виде ряда по степеням Ограничиваясь в этом разложении членами второго порядка малости, имеем в L-координатах

и в Е-координатах

В переменных Лагранжа уравнение непрерывности для «жидкого» объема (форма которого меняется с течением времени) в одномерном случае имеет вид

а одномерное уравнение движения (при ) —

    (1.9)

Как видно, в отличие от (1.1), одномерное уравнение движения (1.9) в среде без вязкости в -координатах линейно и имеет более простой вид.

Для несжимаемой жидкости система (1.1) и условие (1.3) (если сила задана) представляют собой замкнутую систему четырех уравнений для четырех неизвестных: . На основе этих уравнений могут решаться конкретные задачи. Для идеальной жидкости на непроницаемых границах обращается в нуль только нормальная к поверхности составляющая скорости. Из-за того, что жидкость не прилипает к стенкам, тангенциальная составляющая скорости на границе того же порядка, что и вдали от тела.

Акустика имеет дело со сжимаемыми жидкостями, поэтому неизвестной является также и плотность . Чтобы замкнуть систему уравнений идеальной, но сжимаемой жидкости, необходимо еще одно уравнение, связывающее . Таким уравнением служит уравнение состояния среды.

В случае идеального газа где — теплоемкость при постоянном объеме, — его внутренняя энергия (энергия единицы массы), и уравнение состояния может быть записано в виде адиабаты Пуассона:

Здесь — давление при где — теплоемкость при постоянном давлении.

Отметим, что для газов всегда (так, для воздуха при 20 °С и атмосферном давлении ) и уравнение состояния нелинейно; нелинейным также является и уравнение состояния для жидкостей. Сложность теории движения жидкости и состоит главным образом в том, что это движение описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных и нелинейным уравнением состояния. Следует добавить, что эти уравнения содержат большое число переменных.

Уравнение состояния для среды, отличающейся от идеального газа, можно получить, разложив в ряд по малому объемному сжатию Такие сжатия в акустике действительно малы, даже при больших интенсивностях звука. Разложение запишем в виде

Здесь — квадрат адиабатической скорости звука; безразмерная величина определяет нелинейные свойства среды с точностью до квадратичных членов. Будем называть нелинейным параметром среды величину

(когда справедливо (1.10), ). Величина выражается через А

и В так:

Наряду с часто используют параметр

В отличие от газов, теория жидкостей еще недостаточно разработана, и мы не имеем уравнения состояния, которое следовало бы из теории. Поэтому для жидкости приходится пользоваться эмпирическим уравнением состояния, так называемым уравнением Тэта:

где — так называемое внутреннее давление, Г — нелинейный параметр, который характеризует отклонение адиабатической сжимаемости жидкости от линейного уравнения состояния. Если полное давление, то тогда (1.15) формально не отличается от (1.10). Обе величины и Г — эмпирические постоянные. Из экспериментальных данных следует, что имеет порядок 108 Па, а Г для различных жидкостей меняется в пределах от 4 (жидкий азот) до 12 (ртуть); для воды Адиабатический модуль сжимаемости жидкости

определяет внутреннее давление которое возникает из-за взаимодействия молекул. Подчеркнем еще раз, что для жидкостей имеется большое отличие Г от единицы (нелинейность уравнения состояния жидкости значительна). Это обстоятельство, как мы увидим дальше, имеет большое значение в нелинейной акустике жидкостей.

Проведенные рассуждения относятся к случаю, когда изменения давления и плотности малы. Если приращения испытывают конечный скачок по нормали к некоторой поверхности раздела (прямой скачок уплотнения или ударная волна), уравнение состояния Пуассона заменяется так называемой ударной адиабатой или адиабатой Рэнкина—Гюгонио. Уравнение ударной адиабаты не может быть получено из системы уравнений гидродинамики, которые здесь неприменимы из-за разрывности движения. Оно получается из законов сохранения массы, энергии, импульса и имеет вид

Здесь индексы «1» и «2» относятся к значениям по обе стороны поверхности ударного фронта. Отметим, что при (сильный разрыв) плотность идеального газа стремится к предельному значению

Так, для двухатомного газа, которым можно приближенно считать воздух, и предельное значение При малых значениях ударная адиабата переходит в адиабату Пуассона (рис. 1.1). Заметим, что благодаря медленному росту плотности при медленно уменьшается объем газа и произведение где

R — газовая постоянная, растет быстро. По этой причине быстро и до больших значений возрастает температура Т. Этим объясняется, почему на фронте ударной волны возникают высокие температуры. Можно показать, что для слабых ударных волн, с которыми приходится встречаться, например, в нелинейной акустике, когда где давление и плотность в среде в отсутствие волны, также возникают скачки гидродинамических и термодинамических величин, в том числе возникает скачок энтропии Этот скачок представляет собой величину третьего порядка малости по сравнению со скачком давления:

Рис. 1.1 Ударная адиабата Рэнкина—Гюгонио (кривая 1) и адиабата Пуассона (кривая 2).

Заметим, что при выводе ударной адиабаты Рэнкина — Гюгонио на основе законов сохранения массы, импульса и энергии ширина разрыва ударной волны считается равной нулю. В действительности в сильных ударных волнах, когда скачок скорости движения газа по обе стороны фронта становится сравнимым со скоростью звука с, величина имеет порядок длины свободного пробега молекул газа, и для рассмотрения вопроса о величине необходимо привлечение методов кинетической теории газов. Для слабых ударных волн (например, периодических ударных волн, с которыми приходится встречаться в нелинейной акустике) при рассмотрении вопроса о ширине фронта следует учесть в законах сохранения импульса и энергии процессы диссипации за счет вязкости и теплопроводности.

Далее мы будем пользоваться уравнениями как в векторных, так и в тензорных обозначениях. Уравнения (1.1) и (1.2) в компонентах записываются следующим образом:

где — скорость звука. Как обычно, в тензорной записи мы условливаемся в том, что по индексам, повторяющимся дважды, производится суммирование. Умножив первое уравнение (1.20) на , второе — на и сложив их, получим закон сохранения импульса единицы объема идеальной жидкости в дифференциальной форме:

где — символ Кронекера, при при Это

уравнение запишем также в виде

где есть тензор плотности потока импульса. Интегрируя (1.22) по объему V, ограниченному замкнутей поверхностью S, имеем закон сохранения импульса в интегральной форме:

Здесь — единичный вектор внешней нормали к поверхности S, а сила, действующая на поверхность S объема V,

Закон сохранения энергии идеальной жидкости формулируется следующим образом. Полная энергия единицы объема жидкости (плотность энергии) определяется выражением

где — кинетическая энергия и — внутренняя энергия, которая для идеальной жидкости совпадает с потенциальной энергией. Из уравнений непрерывности и движения нетрудно получить для изменения плотности энергии

где w — энтальпия единицы массы жидкости или тепловая функция; для адиабатического процесса Взяв интеграл по объему от (1 .26), имеем

Вектор

называют вектором плотности потока энергии или вектором Умова — Пойнтинга.