§ 2. Приближение геометрической акустики

Рассмотрим сначала наиболее простой случай распространения звука в среде с флуктуациями показателя преломления в приближении геометрической акустики [71. Эго приближение справедливо по крайней мере при выполнении двух условий. Первое состоит в том, что масштабы неоднородностей I должны быть значительно больше длины звуковой волны: . О втором условии будет сказано ниже.

Если не учитывать средней скорости ветра в атмосфере (которая приведет к сносу звука и появлению доплеровского сдвига в частоте), а интересоваться только влиянием пульсаций скорости и температуры,

то распространение звуковых волн в слабо неоднородной среде может быть описано волновым уравнением для потенциала

Здесь скорость звука с зависит от координат зависимость с от времени учитывать не будем, считая, что турбулентные пульсации «заморожены», т. е. что гидродинамические характеристики среды по сравнению с периодом звуковой волны изменяются медленно.

Рис. 7.1. Пояснение смысла малости дифракционной поправки .

Сами неоднородности среды будем считать слабыми, что в условиях атмосферы или моря всегда имеет место; так, в условиях атмосферы обычно не превышает значений (для моря это отношение еще меньше). Поэтому полагаем, что

Как уже говорилось в § 7 гл. 1, определяется турбулентными пульсациями векторного поля скоростей и скалярного поля температуры; вклад каждого из этих случайных полей в флуктуационные явления при распространении звука в такой среде примерно одинаков.

Решение уравнения (2.1) при условии (2.2) может быть проведено методом малых возмущений в предположении, что потенциал можно разложить в ряд по степеням малого параметра [13]:

Этот метод, однако, можно применять лишь в случае достаточно протяженных неоднородностей (чтобы не было заметного набега фазы, сравнимого с ), т. е. когда не только но и

Последнее условие вытекает из следующих простых рассуждений (рис. 7.1). Если на препятствие масштаба I падает плоская волна, то для того, чтобы по прохождении пути L «тень» этого препятствия была не размыта, необходимо, чтобы дифракционное уширение, которое при малом угле дифракции составляет было мало по сравнению с I. Таким образом, откуда и следует условие малости дифракционной поправки — . Но величина V XI. есть, как известно, радиус первой зоны Френеля, поэтому второе условие применимости геометрического приближения формулируется так: необходимо, чтобы радиус первой зоны Френеля был существенно меньше масштаба неоднородностей.

О том, насколько существенно выполнение такого условия, можно видеть из того, что даже для света с длиной волны в условиях турбулентной атмосферы с внутренним масштабом , начиная с расстояния условие уже не выполняется.

Представим потенциал квазиплоской гармонической волны в виде

где — показатель преломления среды) — величина, пропорциональная фазе, — фазовая функция или эйконал; эйконал связан с фазой 0 соотношением Подставим это значение Ф в (2.1). Проведя дифференцирование по координатам и времени и приравняв действительные и мнимые части, получим два уравнения

Для не слишком искривленных волновых поверхностей (заметим, что лапласиан характеризует кривизну поверхности), т. е. для случая плавных неоднородностей, имеет порядок, не больший поэтому первый член при (предельный переход к геометрической акустике) в первом уравнении (2.5) можно опустить, и мы получаем

Первое уравнение есть уравнение эйконала, выражающее собой принцип Ферма. Его смысл состоит в том, что расстояние между двумя последовательными волновыми фронтами обратно пропорционально локальному показателю преломления. Второе уравнение, связывающее фазовую и амплитудную функции, имеет смысл уравнения сохранения энергии вдоль лучевой трубки.

Вследствие пульсаций и в атмосфере будут подвержены случайным изменениям. Положим, что

где — случайные отклонения от средних значений. Подставим (2.7) в (2.6) и, пренебрегая членами второго порядка малости, такими, например, как и принимая во внимание уравнения для средних значений величин и S, получим

Поскольку и, как это следует из уравнения эйконала, случайное изменение логарифма амплитуды в точке х (для направления х вдоль луча) и случайные изменения эйконала соответственно будут

Интегралы при этом берутся вдоль невозмущенного луча.

Кратко остановимся на том, как можно найти среднее квадратичное значение флуктуаций фазы для условий, когда статистические

свойства турбулентности известны. Учитываем изменение скорости звука с только за счет влияния составляющей пульсаций скорости ветра вдоль направления распространения волны Согласно выражению (2.9) для S, а также связи эйконала S с фазой , для флуктуации фазы в точке расположения приемника П, находящегося на расстоянии L от излучателя, можно получить (имея в виду, что )

Рис. 7.2. К расчету среднего квадратичного значения флуктуации фазы между двумя приемниками.

Считая, что найдем . Для флуктуаций фазы после прохождения волной расстояния L получаем

Двойной интеграл может быть легко сведен к однократному. Замечая, что корреляционная функция для статистически однородных флуктуаций зависит только от разности между точками и что эта функция четная и мы можем записать

Если радиус корреляции значительно меньше L, то окончательно имеем

Отметим, что из (2.12) следует пропорциональность дисперсии флуктуаций фазы корню квадратному из проходимого волной расстояния

Измерения в реальных условиях (при конечных L) не приводят, однако, к постоянным значениям поскольку крупные неоднородности звуковой волны могут вносить относительно больший вклад в значение чем мелкие. Гораздо более «устойчивым» в статистическом смысле является среднее квадратичное значение разности фаз между двумя приемниками На рис. 7.2 изображен макет звукопеленгационной установки. Звук частоты от излучателя И принимается двумя приемниками находящимися друг от друга на расстоянии b (база приемной системы).

Для простоты считаем, ЧТО расстояние L между центром базы И излучателем велико по сравнению с b, и тогда угол а между осью системы и направлениями будет малым [7].

Если пространство между излучателем и приемниками заполнено случайными неоднородностями, то разность фаз сигналов в точках расположения приемников будет флуктуировать. Естественно, что среднее значение флуктуаций для изотропной турбулентности будет равно нулю. Найдем среднее квадратичное значение флуктуаций разности фаз сигналов двух приемников для случая . Учитывая изменение скорости звука только за счет влияния пульсаций и, направленных вдоль луча получим для фазы звука в точке расположения приемников, согласно (2.10),

где значение const по левому и правому лучу считаем одинаковым. Тогда

где

В силу предполагаемой изотропности поля пульсаций и, на основании закона «двух третей» и того, что (как следует из этого соотношения)

    (2.16)

найдем

где определяются согласно рис. 7.2. Учитывая, что при малых получим

Подставляя из (2.18) и (2.19) в (2.17) и далее в (2.14), получаем

При малом угле интегрирование можно выполнить приближенно. Для среднего квадратичного значения флуктуации

разности фаз получаем следующую формулу:

где const имеет значение порядка единицы, — так называемая характеристика поля пульсаций скоростей, пропорциональная интенсивности турбулентных пульсаций.

Аналогичное рассмотрение можно провести и для влияния поля, пульсаций температуры. При этом получается в точности такая же формула, поскольку и в этом случае используется закон «2/3», отличающийся лишь тем, что заменяется на характеристику температурных пульсаций (см. § 7 гл. 1). Вклад полей и и оказывается приблизительно одинаковым.

Рис. 7.3. Схема расположения базы из двух приемников, определяющих флуктуации угла прихода волны.

Проведенное рассмотрение является весьма грубым; в нем не учитывается векторный характер поля скоростей, углы а считались малыми. Подробное изложение этого круга вопросов содержится

Отметим здесь, что нам удалось получить формулу для в явном виде — через значение характеристики турбулентности параметров звукового поля со, с, параметров задачи L и b при том непременном условии, что мы воспользовались конкретным видом структурной функции полей пульсаций скоростей и температур турбулентной среды. Эта функция использовалась в виде закона «2/3» Колмогорова — Обухова.

Первые эксперименты, проведенные в 1941 г. [4], в области частот звука килогерцевого диапазона и низкочастотного ультразвука да не только подтвердили характер зависимости от , но и позволили оценить значение характеристики турбулентности , т. е. использовать акустический метод дня исследования атмосферной турбулентности. Это значение оказалось для данных условий акустического эксперимента несколько меньшим, чем значение, определяемое методом микроанемометра, широко применяемого малоинерционного прибора для измерения скорости и направления ветра. Если при этом учесть, что в формуле (2.21) учитывались лишь флуктуации скорости и не принималось во внимание поле пульсаций температуры (а оно, как отмечалось, дает примерно такой же вклад в значение флуктуации фазы), то соответствие результатов акустического метода измерения и метода микроанемометра становится еще более близким.

Нужно сказать, что хорошее совпадение результатов измерений полученных разными методами, свидетельствует о правильности основ теории и о возможности развития подобного подхода применительно к волнам другой природы, распространяющимся в турбулентной среде, — радиоволнам и свету.

Эти работы дали толчок развитию большого раздела радиофизики — «волны и турбулентность» [14—20].

Полученная формула (2.21) для дает возможность выяснить источник ошибок при работе звукопеленгатора. Пусть направление на источник звука составляет угол а с направлением базы b (рис. 7.3). Тогда в невозмущенном потоке разность фаз на концах базы будет

Если теперь под влиянием турбулентности фаза получает случайное изменение , то

При значениях имеем

Аналогичное соотношение будет иметь место для средних квадратичных ошибок:

или, если воспользоваться формулой для ,

Из этой формулы следует, что ста не зависит от длины волны звука к и в очень малой степени зависит от базы. В рамках справедливости геометрического приближения эта формула подтверждается экспериментами.

При распространении монохроматической звуковой волны в турбулентном потоке должно несколько увеличиваться среднее значение частоты звука, а сама спектральнася тияия сигнала должна несколько размываться. Эти явления удается описать, используя гамильтонов подход (см. § 5 гл. 4. с. 115).

Мы уже говорили, что понятие фонона или кванта упругого возмущения, обычно используемое в физике твердого тела, можно распространить также на газы и жидкости. В результате действия возмущающих факторов (поля пульсаций скоростей) число фононов в заданном состоянии может изменяться с течением времени: фононы могут приходить и уходить из данного элемента фазового пространства. Может оказаться, что в результате действия внешних случайных нестационарных возмущений функция распределения фононов, а следовательно, и средняя энергия фонона будут изменяться со временем монотонным образом. В частности, средняя энергия может возрастать. В этом случае мы можем говорить об ускорении фононов.

Здесь имеется аналогия с известным эффектом Ферми статистического ускорения частиц. Еще в 1949 г., занимаясь проблемой происхождения космических лучей высоких энергий, он высказал идею об ускорении заряженных частиц, движущихся среди случайных магнитных полей [21]. Эта идея получила развитие и была распространена, в частности, на случай ускорения нейтральных частиц (фотонов, нейтрино) при их движении в плазме.

Основная часть задачи об ускорении фононов заключается в том, чтобы вычислить вероятность их перехода из заданного элемента фазового пространства. Для определения этой вероятности следует определить операторы рождения и уничтожения фононов, для чего необходимо корректно построить гамильтониан звукового поля на основе введения соответствующих канонических переменных. Из этого гамильтониана должны следовать уравнения движения среды.

Найдя гамильтониан для звука в турбулентной среде, можно получить кинетическое уравнение для функции распределения фононов и, используя выражение

Для спектрального тензора корреляции пульсаций поля скоростей в турбулентном потоке, рассчитать ускорение фононов в турбулентной среде [22]. В результате расчета удается получить выражение для изменения (увеличения) средней частоты в зависимости от пройденного звуковой волной расстояния.

Уравнения геометрического приближения (2.9) дают возможность найти среднее квадратичное флуктуации логарифма амплитуды [23]. Согласно определению S имеем

Подставляя это выражение для лапласиана S в (2.9) и интегрируя один раз, найдем

откуда величина в соответствии с (2.27), будет равна

Считая турбулентность изотропной, получим

Дальнейшее вычисление можно провести, еслк зкггь в явном виде корреляцию вторых производных пульсаций скорости. Результат вычисления основанный на ряде упрощающих предположений с учетом закона «двух третей», приводит к зависимости

Существенно, что среднее квадратичное значение флуктуаций амплитуды, согласно формуле (2.30), пропорционально

Эксперименты, поставленные по изучению флуктуаций уровня звукового сигнала, показали [5, 6], что такая закономерность соблюдается в атмосферных условиях (приземный слой) лишь при малых L; при увеличении L зависимость от L приблизительно налицо явное расхождение с теорией.

Принципиальная неточность в вычислении связана, очевидно, с использованием приближения геометрической акустики. Ясно, что расхождение с теорией может быть устранено, если решать задачу более строго, используя не геометрическую, а волновую трактовку, когда учитываются дифракционные эффекты.