§ 2. Радиационная сила давления звука на взвешенные сферические частицы

Остановимся на задаче о радиационном давлении в другом предельном случае, когда «взвешенные» в среде препятствия (частицы) малы по сравнению с длиной звуковой волны к. Для простоты ограничимся рассмотрением препятствия в виде шара радиуса причем . Решение такой задачи в определенной степени проясняет физический механизм поведения пузырьков в звуковом поле, а также явление левитации (см. ниже). Этому решению посвящено много работ, однако нельзя сказать, что здесь все выяснено даже в простейшем случае отсутствия в среде вязкости.

Будем в решении этой задачи следовать формализму, развитому в [8]. Пусть в сжимаемой идеальной жидкости радиально и поступательно колеблется сжимаемый шар радиуса . Сила, действующая на него, может быть записана в виде

Здесь интегрирование производится по движущейся поверхности , а изменение давления дается обобщенным интегралом Бернулли. Стенка пузырька испытывает как радиальное, так и осциллирующее движение со скоростью v; она связана с потенциалом выражением . Сжимаемость жидкости учтена в квадратичном приближении по амплитуде падающего поля; здесь — плотность, с — скорость звука в жидкости.

Для того чтобы найти радиационное давление на шар, следует, как мы знаем, усреднить F за период звукового поля. Поскольку

а среднее по времени значение полной производной от величины, которая во времени ограничена, равно нулю, получим, согласно (2.1) и (2.2),

где интегрирование теперь уже ведется по неподвижной поверхности (значение ) в положении равновесия); это возможно сделать, поскольку мы ограничиваемся лишь квадратичным приближением. Вычисление для плоской гармонической волны было проведено в [8]. Здесь мы наметим путь решения (полученного В. Н. Алексеевым [9]) для произвольной формы падающей волны, не обязательно плоской или стоячей, т. с. при произвольном виде потенциала падающего поля При переходе к частному случаю плоской волны при этом получаются известные результаты для радиационной силы давления, приведенные в [8, 10]. Когда же вблизи шара имеется граница или другой шар, более общее рассмотрение задачи приводит, как мы увидим, к появлению добавочного члена к силе радиационного давления, который определяет взаимодействие двух шаров или шара с границей. Оказывается, что гидродинамические силы взаимодействия между колеблющимися в жидкости частицами, находящимися в звуковом поле, есть не что иное, как силы радиационного давления, возникающие из-за рассеяния звука, т. е. результат интерференции падающего на шар звукового поля и поля рассеяния от другого шара.

Для вычисления F следует воспользоваться решением дифракционной задачи о рассеянии звуковой волны произвольной формы на малом шаре.

Потенциал падающего поля в общем виде можно представить разложением в ряд Тэйлора в окрестности шара с центром в точке

Как обычно, пробегают значения 1, 2, 3, и по дважды повторяющимся индексам производится суммирование. В (2.4) предполагается, что множитель опущен и что удовлетворяет волновому уравнению

Полагая , т. е. вводя относительную координату после проведения необходимых преобразований можно записать

(2.4) в таком виде:

Это представление потенциала есть не что иное, как разложение по мультиполям (первый член представляет собой монополь, второй — диполь и третий — квадруполь), записанное в общем виде в случае произвольной симметрии падающего поля. При можно ограничиться только этими тремя членами.

В области вне шара возникает еще рассеянное поле с потенциалом так, что при полное значение потенциала будет:

Потенциал рассеянного поля можно представить аналогично (2.5) в виде

    (2.6)

где — сферические функции Ханкеля.

Внутри шара при потенциал запишется при аналогично (2.5)

где — волновое число для шара (здесь и в дальнейшем индекс относится к шару).

Неизвестные постоянные определяются из граничных условий, соответствующих равенству нормальных скоростей и давлений внутри и вне шара при

где — плотности жидкости и шара.

Не приводя вычислений шести коэффициентов А к В, отметим, что коэффициенты В и имеют простой физический смысл. На границе шара — нормальная скорость частиц сферы равна проекции на нормаль скорости перемещения самой границы и

где — вектор скорости поступательного движения шара. Из (2.9) следует, что есть компонента вектора ) скорости поступательного перемещения шара как целого. Коэффициенты В и определяются выражениями

т. е. В имеет смысл величины, пропорциональной скорости радиального движения шара. Постоянные определяются

выражениями

Для нахождения выражение (2.3) полезно записать в таком общем виде:

Используя граничные условия (2.8), определив значения и переходя к потенциалу внутреннего поля получим, используя (2.7) и производя интегрирование, окончательное выражение для силы радиационного давления звука на малый шар:

где означает взятие действительной части соответствующих выражений с учетом формулы — соответственно плотность и скорость звука в материале шара, а коэффициенты выражаются через потенциал падающего поля и его производные.

Первый член в (2.13) при (пузырек в жидкости, когда сжимаемость шара велика) имеет наибольшее значение и, приняв во внимание выражения для (2.11) и (2.1), после ряда преобразований получаем для радиационной силы:

При (твердый шар), главный вклад в дает второй член, тогда как первый член представляет собой поправку на сжимаемость шара.

Если на шар падает гармоническая плоская волна, то оказывается, что для радиационной силы давления из (2.13) получаются известные выражения, найденные в [8]. Так, для поля плоской бегущей волны, падающей на шар, имеющий плотность того же порядка величины, что и жидкость, т. е. в направлении волнового вектора действует сила

где

Формула (2.15) при представляет собой известную формулу Кинга [12] для радиационной силы, действующей в направлении распространения плоской гармонической волны на жесткую сферу.

При что соответствует случаю пузырька, находящегося в жидкости,

где — резонансная частота пузырька.

Сила F достигает наибольших значений в поле стоячих волн. Полагая и используя (2.11), получим для твердых шаров

и для пузырьков

где — плотность энергии стоячих волн. Следует еще раз подчеркнуть, что в случае стоячих волн , тогда как в поле бегущих волн . Поскольку то F значительно больше для стоячих волн.

То обстоятельство, что в поле стоячих волн имеет место удвоенная пространственная периодичность, приводит к двум возможным положениям равновесия — узлам и пучностям в стоячей волне. Анализ показывает, что если , то частицы собираются в пучностях скорости, а если — в узлах скорости, что экспериментально подтверждается.

Случай воздействия звука на твердые малые частицы в воздухе, кроме значения для задачи о коагуляции аэрозолей, имеет интерес для задач, связанных с возможностью удерживать непроводящие немагнитные тела небольших размеров во взвешенном состоянии в поле силы тяжести (и тем более в состоянии невесомости) при помощи сил радиационного давления в стоячих волнах.

Под действием силы радиационного давления малые частицы массы приходят в движение и собираются в узлах звукового давления в стоячей волне. Они могут находиться там в подвешенном состоянии, если эта сила достаточна для того, чтобы уравновесить силу тяжести Такое «подвешивание» частиц в звуковом поле и фиксация их в определенных зонах называется акустической левитацией. Например, в поле стоячей волны при частоте и интенсивности звука в условиях земной гравитации может левитировать сфера с радиусом 0,4 см и массой .

Это явление используется при создании акустических левитаторов — устройств, предназначенных для установки и фиксации в определенных положениях жидких и твердых образцов заданной формы.

Акустическая левитация находит применение, например, в таких процессах, как бестигельная варка стекла, выращивание кристаллов, литье из различных компонент. Особенно полезной она может оказаться в космической технологии, в условиях невесомости.

Любой левитатор имеет, как правило, источник звука (один или несколько) и рефлектор, помещенные в экспериментальную камеру, в которой могут также размещаться нагревательные элементы, тепловые экраны, устройства ввода и вывода образца и другие конструктивные элементы.

В левитаторе формируется звуковое поле, которое должно обеспечивать устойчивое удержание образцов при изменении внешних условий (например, температуры).

Рис. 5.1. Распределение звукового давления и положение взвешенных частиц в одноосевом левитаторе; 1 — поршневой источник звука, 2 — отражатель, 3 — плоскости минимального давления, 4 — взвешенные частицы.

Как показывают эксперименты, акустическое поле в левитаторе — это всегда комбинация ближнего поля излучателя и поля стоячих волн, что ведет к образованию в объеме камеры строго ограниченных областей, так называемых энергетических «ям», в которых происходит устойчивая фиксация образцов с размерами, меньшими На рис. 5.1 схематически показано распределение звукового давления и положение взвешенных частиц в так называемом одноосевом левитаторе [13], состоящем из поршневого излучателя радиусом в две длины волны в воздухе и с плоским рефлектором, помещенным на расстоянии Плоскости минимальной потенциальной энергии, в которых фиксируются образцы, почти совпадают с плоскостями минимального звукового давления, нормальными к оси излучателя. В горизонтальной плоскости зоны устойчивой левитации также совпадают с областями минимального давления, которые образуют аксиально симметричные кольцевые зоны вокруг оси; имеются более сложные конструкции.

Глубина и пространственное распределение потенциальных ям в левитаторе зависят от многих факторов, в том числе от поглощения звука в объеме камеры, от настройки системы излучатель — рефлектор на резонанс, которая может меняться при изменении температуры в камере, от наличия отражений от стенок и элементов конструкции.

Возможны и другие способы формирования звуковых полей с глубокими и стабильными энергетическими ямами, например при использовании фокусирующих излучателей и отражателей. Такие левитаторы выгодны с энергетической точки зрения, так как они дают возможность концентрировать акустическую энергию в определенных зонах.