§ 4. Волны в пьезоэлектрических кристаллах. Коэффициент электромеханической связи

Наличие пьезоэффекта в ряде кристаллов приводит к тому, что соответствующие механические и электрические величины уже не являются независимыми. Этот факт имеет важное значение для ряда приложений, главным образом для электромагнитного возбуждения акустических волн.

Линеаризованное уравнение упругого состояния кристалла с учетом пьезоэффекта (прямого) может быть записано в виде (см., например, [4—6, 8, 91)

    (4.1)

где — вектор напряженности электрического поля, — пьезотензор, симметричный по индексам За счет обратного пьезо-эффекта

это уравнение оказывается связанным с уравнением состояния для индукции

где — тензор диэлектрической проницаемости. К уравнениям (4.1) и (4.2) следует добавить механическое уравнение движения

и уравнения Максвелла, которые мы здесь запишем в векторной форме:

    (4.4)

добавив к ним еще одно уравнение состояния

Выписанная довольно громоздкая система уравнений (4.1) — (4.5) полностью описывает линейные механические и электромагнитные процессы в пьезоэлектриках. Можно показать [6, 9], что в общем случае в пьезоэлектрических кристаллах могут распространяться в одном направлении пять волн смешанного типа, характеризующихся как механическими переменными, так и электромагнитными. Это соответствует трем возмущенным акустическим волнам, распространяющимся со скоростями, несколько большими соответствующих скоростей без учета пьезоэффекта, и двум возмущенным электромагнитным волнам, скорости которых практически не меняются. Поскольку, однако, параметр возмущения имеет порядок , где v — скорость акустической волны, а с — скорость света, то при решении акустической части задачи в большинстве практически важных случаев (но не во всех волновым характером электромагнитного поля можно пренебречь, рассматривая его в квазистаттеском приближении. При этом задача сводится к решению системы

и уравнений (4.1) — (4.3). Из уравнения (4.6) следует, что электрическое поле должно быть потенциально, т. е.

Подставляя далее (4.1) в (4.3) и учитывая (4.2), получим

С другой стороны, из (4.2), (4.7) и (4.8) следует

Пользуясь симметрией тензора модулей упругости и пьезотензора по индексам соответственно, вытекающей из симметрии

тензора деформации, уравнения (4.9) и (4.10) можно переписать в виде

    (4.11)

Таким образом, переменные в пространстве электрические поля возбуждают акустические волны, и наоборот, градиенты деформаций приводят к появлению электрических полей. Если искать решение (4.11) и (4.12) в виде плоских волн смещений и электрического потенциала, то нетрудно получить модифицированное уравнение Кристоффеля для смещений:

где . Таким образом, скорости волн меняются. Как мы увидим ниже, пьезоэффект, вообще говоря, увеличивает скорость упругих волн. Заметим, что из (4.12) следует, что потенциал распространяется с той же скоростью, с которой распространяются упругие деформации. Симметрия угловых зависимостей фазовых скоростей упругих волн под влиянием пьезоэффекта может, разумеется, меняться. Отметим также, что в плоской волне вектор электрического поля всегда ориентирован вдоль направления волновой нормали, так как пространственные вариации потенциала в плоской волне имеют место только в этом направлении.

С количественной стороны влияние пьезоэффекта на распространение упругих волн удобно характеризовать с помощью безразмер ной величины — коэффициента электромеханической связи . Его можно определить следующим образом [5]. Рассмотрим задачу о статическом равновесии тонкой пьезоэлектрической пластинки толщины а с металлическими обкладками, характеризующейся наличием однородных напряжений . В такой системе электрический потенциал очевидно, зависит только от одной координаты z, отсчитываемой по нормали к пластинке. Поскольку в качестве независимых переменных мы будем использовать уравнения состояния пьезоэлектрического кристалла удобно записать в виде [5, 6]

    (4.15)

Здесь — вектор единичной нормали к поверхности пластинки, направленный от нижней стороны пластинки к верхней, — модули упругой податливости, — соответствующим образом определенные пьезоэлектрические коэффициенты, или пьезомодули. Из условия статического равновесия сггд следует, что в толще пластинки механические напряжения однородны и определяются усилиями приложенными к ее стенкам. Из уравнения вытекает, что — линейная функция z, следовательно, деформации также

однородны. Пусть обкладки пластины разомкнуты. Тогда из электрических граничных условий следует, что Учитывая это, из (4.14) получим

    (4.16)

При этом разность потенциалов между двумя обкладками равна Подстановка (4.16) в (4.15) приводит к следующему выражению для тензора деформации:

    (4.17)

Величина в квадратных скобках (4.17), очевидно, играет роль измененного из-за влияния пьезоэффекта тензора упругой податливости Жесткость пластинки при этом увеличивается, что вполне понятно, так как работа сил, прикладываемых к обкладкам пластинки, идет теперь не только на увеличение энергии упругой деформации:

но и на увеличение энергии электрического поля:

Нетрудно видеть, что деформация уменьшается ровно настолько, чтобы связанное с этим уменьшение упругой энергии компенсировало увеличение энергии электрического поля. Величина определяет долю механической работы перешедшей в электрическую энергию. Квадратный корень из этого соотношения как раз и называется коэффициентом электромеханической связи:

Таким образом, в соответствии с вышесказанным

С помощью соотношений выражение (4.18) можно переписать следующим образом:

Несмотря на то, что в выражения (4.18) и (4.19) входят величины или определяемый с их помощью коэффициент электромеханической связи, очевидно, не зависит от абсолютных величин и представляет собой характеристику материала. Будучи скаляром, величина зависит, однако, от направлений воздействия и реакции. Численные значения обычно достигают но для некоторых синтетических пьезоэлектриков, например для ниобата лития, .

Вернемся теперь к уравнению (4.13), определяющему скорости упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах. Легко заметить,

что компоненты модифицированного тензора Кристоффеля Г, с учетом изложенного можно переписать в виде

Так как квадраты скоростей упругих волн, распространяющихся в рассматриваемом направлении кристалла, пропорциональны то относительное увеличение скорости , обусловленное пьезоэффектом, будет определяться выражением где — значение v без учета пьезоэффекта. Для малых отсюда получаем соотношение

позволяющее экспериментально определять значение по изменению скорости упругих волн в пьезоэлектрической среде.