Многочисленные особенности, бифуркации и ката: строфы (скачки) возникают во всех вадачах о нахождении эксте емумов (максимумов, минимумов), задачах оптимизации, управления и принятия ретений. Представим себе, например, тто мы должны выбрать $x$ так, чтобы обеспечить наибольшее значение функции $f(x)$ (рис. 50).
Рис. 50. Разрыв огтимального управления

При плавном изменении функции оптимальное ретение меняется скачком, перескакивая с одного из двух конкурирующих максимумов $(A)$ на другой $(B)$.

Ниже мы рассмотрим несколько задач гакого рода; все они далеки от полного решения, хотя в некоторых классификация особенностей проведена достаточно далеко.

Рассмотрим семейство $f(x, y)$ функций переменной $x_{2}$ зависящих от параметра $y$. При каждом фиксированном значении параметра $y$ вычислим максимум функции, обозначим его через
\[
F(y)=\max _{x} f(x, y) .
\]

Функция $F$ непрерывна, но не обязательно гладкая ${ }_{s}$ даже если $f$ – многочлен.

П ри м р 1. Пусть $y$ – азимут луча врения, $x$ дальность, $f$ – угловая высота ландшафта на расстоянии $x$ при азимуте $y$ (рис. 51). Тогда $F$ определяет линию горизонта. Ясно, что линия горизонтя гладкой поверхности
Рис. 51. Излом линии горивонта гладкого ландшафта
Рис. 52. Расстояние до кривой и его особые точки

может иметь изломы и они неустранимы малым шевелением.

Переменная $x$ и параметр $y$ могут быть точками пространств любой размерности; наряду с максимумами встречаются и минимумы.

Пример 2. Пусть $x$ – точка плоской кривой $\gamma$ $y$ – точка области, ограниченной этой кривой, $f(x, y)$ расстояние от $y$ до $x$.

Будем рассматьивать $f$ как функцию точки кривой, зависящую от точки области как от параметра. Тогда функция минимума семейства, $F(y)$, есть кратчайшее расстояние от тотки $y$ до кривой $\gamma$ (рис. 52). Ясно, что эта функция непрерывна, но не всюду гладкая.

Мы можем представить себе лопamy, ограниченную кривой $\gamma$; насыпем на эту лопату возможно большую кучу сухого песка. Поверхность кучи будет тогда граdиком функции $F$. Ясно, что для лопаты общего положения поверхность кучи имеет хребет (линию излома).

Јинии уровня функции $F$ – не что иное, как передние фронты ғаспространяющегося внутрь кривой $\gamma$ возмущеиия.

Теория особенностей позволяет перечислить особенности функций максимума $F$ как в описанном примере, так и для семейств общего положения функций любого числа переменіх шри условии, что число цараметров $y$ не болџше 10 (J. Н. Брызгалова). Рассмотрим простейшие случаи одиого и двух параметров.

Выбирая координаты на оси (плоскости) значений параметра $y$ и вычитая из $F$ гладкую функцию параметров, мы можем привести функцию максимума семейства общего положения в окрестности каждой точки к одной из следующих нормальных форм:
один параметр:
\[
F(y)=|y| ;
\]

два параметра:
\[
F(y)=\left\{\begin{array}{l}
\left|y_{1}\right| \\
\text { или } \max \left(y_{1}, y_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \\
\text { или } \max _{x}\left(-x^{4}+y_{1} x^{2}+y_{2} x\right) .
\end{array}\right.
\]

Формула, относящаяся к случаю одного параметра, означает, в частности, что линия горизонта гладкого ландшафта общего положения не имеет особенностей, отличных от простейших изломов. Особенности функции максимума, описанные формулами для двух параметров, дают следующие особенности функции минимума (например, особенности поверхности кучи песка на лопате): линия хребта, точка соединения трех хребтов и конед хребта (см. рис. 52).

B последпем случае график функции минимума есть часть певерхности ласточкиного хвоста (см. рис. 34), получающаяся удалением прилежащей к ребру возврата пирамиды ( $B C B$ ) (и еще отражением поверхности рис. 34 в горизоптапьной плоскости).

При $3,4,5$ и 6 параметрах число равличных особенностей равно соответственно $5,8,12$ и 17 ; начиная с 7 параметров, число типов несводимых друг к другу особенностей становится бесконечным: нормальные формы неизбежно содержат «модули», являющиеся функциями от параметров.

Топологически функция максимума (минимума) семейства общего положения устроена как гладкая функция общего положения (В. И. Матов).

На рис. 53 изображевы типичные особенности множества незладкости функции максимула трехпараметрического семейства.

Они позволиют исследовать типичные перестройки особенностей ударных волн на плоскости, происходящие с течением времени: для әтого нужно сперва изучить типичные перестройки двумерных сечений пяти изображенных на рис. 53 поверхностей (эти перестройки также изображены на рисунке), Оказывается, некоторые из них являются, а некоторые не являются перестройками ударных волн (например, для потенциальных репений уравнения Бюргерса $u_{t}+u u_{x}=\varepsilon u_{x x}$ с исчезающей вязкостью $\varepsilon$ ).

А именно, реализуются ударными волнами те перестройки, которые отмечены на рис. 53 стрелками. Правила отбора найдены И. А. Богаевским и Ю.М.Барышниковым:
1) возникающая после перестройки ударная волна в окрестности точки перестройки стягиваема;

Рис. 53. Типичные особенности множества негиадкоси максимума и типичные персетройки ударных волн
2) дополнение к ударной волне в момент перестройки и сразу после нее топологически (гомотопнески) одинаковы.

Каждое пз этих условий необходимо и достаточно для реализуемости типичной перестройкой ударных волн на плоскости и в трехмерном пространстве типичной перестройкг особенностей функции макспмума. Так ли әто в многомерном случае – неизвестно.