Эволюционный процесс матенатически описывается векторньм полем в фазовом пространстве. Точка фазового пространства задает состотиие системы. Приложенный в әтой точке вектор указывает скорость изменения состояния.

В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). На рис. 10 изображено фазовое пространство системы, описывающей взаимоотнопение хищника и жертвы (скажем, щук и карасей). Фазовое пространство – положительный квадрант плоскости. По оси абсцисс отложено число карасей, по осу ординат – щук. Точка $P$ – положение равновесия. Точка $A$ соответствует равновесному количеству карасей при количествє щук, меньшем равновесного. Видно, что с теqением времени в системе устанавливаются колебания; равповесное состояние рис. 10 неустойчиво. Установившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельым циклом.

Кривые в фазовом пространстве, опразованные последовательными состояниями процесса, называются фазовыми кривыми. В опрестности точки, не являющейся положением равновесия, разбиение фазового пространства на фазовые крниы устроено так же, как разбиение на параллельные прямые: семейство фазовых кривых можно превратить в семейство параллельных прямых гладкой заменой координат. В окрестности положения равновесия картина сложнее. Как показал еще А. Пуанкаре, поведение фазовых кривых в окрестности положения равновесия на фазовой плоскости в системе общего положения такое, как ивображено на рис. 11. Все более сложные случаи превращаются в указанные при общем малом изменении системы.

Системы, описывающие реальные эволюционные процессы, как правило, общего положения. Действительно, такая система всегда зависит от параметров, которые

Рис. 11. Тиичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия

никогда не бывакот известны точно. Малое общее изменение параметров превращает систему необщего положения в систему общего положения.

Таким образом, все более сложные, чем указанныө выше, случаи, вообще говоря, не должны встречаться в природе, и их на первый взғляд можно не рассматривать. Эта точка зрения обесценивает болыную часть теории дифференциальных уравнений и вообще математического анализа, где традиционно основное внимание уделнется малоценным, но трудным для исследования случаям не общего положения.

Дело, однако, обстоит совсем иначе, если нас пнтересует не индивидуальная система, а система, зависящая от одного или несколькіх параметров. Действительно, рассхотрим пространство всех систем (рис. 12), разделенное на области, образованные системами общего положения. Поверхности раздела отвечают вырожденным системам; при малом изменении параметров вырожденная система становится невырожденной. Одкопараметрическое семейство систем изображается на рис. 12 кривой. Эта кривая может трансверсально (под ненулевым углом) пересекать границу раздела разных областей невырожденных систем.
Таким образом, хотя при каждом индивидуальном значении параметра систему малым шевелением можно превратить в невырожденную, этого нельзя сделать одновременно при всех значениях параметра: всякая кривая, близкая к рассматриваемой, пересекает границу раздела при близком значении параметра (вырождение, устраЕенное малым шевелением при данном значении парамотра, вновь возникает цри некотором близком значении).

Итак, вырожденные случаи неустранимы, если рассматривается не индивидуальная система, а целое семейство. Еслі семейство однопараметрическое, то неустранимы лишь иростейшие вырождения, изображаемые границами коразмерности один (т. е. задающимися одним уравнением) в пространстве всех систем. От более сложных вырожденных систем, образующих множество коразмерности два в пространстве всех систем, можно ивбавиться малым шевелением однопараметрического семейства.

Если мы интересуемся двупараметрическим семейством, то можно не рассматривать вырожденных систем, образующих множество коразмерности три и т. д,
Тем самым возникает иерархия вырождений по коразмерностям и стратегия их исследования: вначале следует изучать случаи общего положения, затем вырождения коразмерности один, затем – два п т. д. При этом исследование вырожденных систем не долюно ограничивться изучением картины в момент вырождения, но должно включать описание перестроек, происходящих, когда параметр, меняльь, проходит через вырожденное значение.
Рис. 13. Кривая равновесий одношараметрического семейства систем
Рис. 14. Превращение нетишичных бифуркаций в типичные при малом шевелении семейства
Ивложенные выше общие соображения принадлежат А. Пуанкаре и применимы не только к исследованию положений равновесия эволюционных систем, но к большей части всего математического анализа. Хотя они были высказаны уже сто лет назад, успехи в реализации намеченной А. Пуанкаре программы теории бифуркаций остаются в большинстве областей анализа довольно скромными, отчасти в силу больших математических трудностей, отчасти же вследствие психологической инерции и засилья акспоматико-алгебраического стиля.

Вернемся, однако, к положениям равновесия эволюционных систем. $К$ настоящему времени решенным можно считать лишь вопрос о перестройках фазовых кривых при бифуркациях положений равновесия в однопараметрических семействах общего положения; уже случай двух параметров выходит за рамки возможностей сегодняшней науки.

Результаты исследования общего однопараметрического семейства суммированы на рис. $13-18$. На рис. 13 изображено однопараметрическое семейство эволюционых процессов с одномерным фазовым пространством (по оси абсцисс отложено значение параметра $\varepsilon$, по оси ординат – состояние процесса $x$ ).

Для однопараметрического семейства общего положения равновесия при всевозможных значениях параметра образуют гладкую кривую ( $\Gamma$ ва рис. 13 , в более общем случае размерность многообразия состояний равновесия равна числу параметров). В частности, это означает, что изображенные на рис. 14 слева бифуркацип в семействе общего положения не встречаются: при малом изменении семейства $\Gamma$ превращается в гладкую кривую одного из изображенных на рис. 14 справа типов *).

Проектирование кривой Г на ось значений параметра в случае однопараметрического семейства имеет лишь особенности типа складки (при большем числе параметров появляются и более сложные особенности теории Уитни: например, в общих двупараметрических семейстъах проектирование поверхности равновесий $\Gamma$ па плоскость значений параметров может иметь точки сборки, тде сливаются три положения равновесия).

Таким образом, при изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (критические значения проекции, $a, b, c, d$ на рис. 13). Вне этих значений положения равновесия гладко зависят от параметров. При подходе параметра к бифуркационному значению положение равновесия «умирает», слившись с другим (или же «из воздуха» рождаетея пара положений равновесия).

Из двух рождающихся (нли умираюцих) вместе положений равновесия одно устойчиво, другое неустойчиво.

В момент рождения (или смертп) оба положения равновесия движутся с бесконечной скоростью: когда значение параметра отличается от бифуркационного на $\varepsilon$, оба близких положения равновесия удалены друг от друга на расстояние порядка $\sqrt{\varepsilon}$.

На рис. 15 изображена перестройка семейства қазовых кривых на плоскости в общем однопарамєтрическом семействе. Устойчивое положение равновесия («узел») сталкивается при изменении параметра с неустойчивым («седлом»), после чего оба исчезают. В момент слияния
*) Под «тином» здесь понимается класс эквивалентности с точностью до циффеоморфизма плоскости, а не с точностью расслоенного диффеоморфизма (расслоенный диффеоморфизм – это семейство диффеоморфизмов фазового пространства, зависящих от паралетра, сопровождаемых диффеоморфной заменой параметра).

на фазовой плоскости наблюдается картина необщего положения («седло-узел»).

На рис. 15 видно, что перестройка, в сущности, одномерная: вдоль оси аб́сцисс происходят те же явления, что на осп $x$ на рис. 13 , а вдоль оси ординат перестройки нөт вовсе. Таким образом, перестройка через седло – узел
Рис. 15. Седло-узел: типичная локальная бифуркация в однопараметрическом семействе

получается из одномерной перестройки «надстраиванием» оси ординат. Оказывается, вообще все перестройки положений равновесия в общих однопараметрических системах получаются из одномерных перестроек яналогичным надстраиванием.

Если устойчивое положение равновесия описывает установившийся режим в какой-либо реальной системе (скажем, экономической, әкологической или химической), то при его слиянии с неустойчивым положением равновесия система должна совершить скачок, перескочив на совершенно другой режим: при изменении параметра равновесное состоянпе в рассматриваемой окрестности исчезает. Скачки этого рода и привели к термину «теория катастроф»».