Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью (рис.70). Ясно, что кратчайший путь из $x$ в $y$ в обход препятствия состоит из отрезков прямых и отрезков геодезических (кратчайших линий) на поверхности препятствия. На геометрию кратчайших путей сильно влияют различные перегибы поверхности препятствия.
Предположим, что начальная

Рис. 70. Кратчайпий путь в обход препятствия точка пути, $x_{i}$ зафиксировава, и рассмотрим кратчайшие пути, ведущие из $x$ во всевозможные точки $y$. Пути в загороженные препятствием точки начинаются с отрезков касающихся препятствия прямых. Продолжения этих путей образуют пучон (однопараметрическое семейство) геодезических на поверх ности препятствия. Следующие участки путей представляют собой новые отрезки прямых, касательных к геодезическим; они могут заканчиваться в концевой точке $у$ или снова касаться поверхности препятствия и т.д.

Рассмотрим простейший случай пути, состоящето ив начального и конечного отрезков прямой с отрезком геодезической между ними. Близкие геодезические пучка заполняют на поверхности препятствия некоторую область. В каждой точке этой области геодезическая пучкя имеет определенное направление. В точках общего положения это направление не асимптотическое. Условие касания геодезической пучка с асимптотическим направлөнием – это одно условие на точку поверхности. Для порерхности и пучка общего положения әто условие вынолчяется на некоторой кривой на поверхности (зависящей от пучка). На рис. 71 асимптотические направления пзображены горизонтальными отрезками, а кривая касаиия обозначена буквой $K$; геодезические – жирные линии.

В отдельных точках (0 на рис. 71 ) эта кривая $K$ сама будет иметь асимнтотическое направление – это точки пересечения $K$ с кривой 4 перегиба асимптотических (см. п. 12).

Таким образом возникает двупараметрическое семейство путей: один параметр нумерует геодезические линии пучка, другой – точку срыва касательной, уходящей с поверхности препятствия. Вдоль каждого пути определена функция в ремени (отсчитываемая от начальной точкі $x$ ). Время достижения конечной точки $y$ по такому пути определено не однозначно (в одну коенную точку может вести несколько таких путей), и влобавок не все веши пути обходят препятствие. Тем не менее ясно, что исследоваипе полученной многозначной функции времени составляет необходимый этап изучения особенно-
Рис. 71. Асимптотические ваправления и типичный пучок геодезических на поверхности стей системы кратчайших путей.

Расположим за препятствием еще одну поверхность (стенку) общего положения и рассмотрим отображение срыва поверхности препятствия на стенку, сопоставляющее каждой точке препятствия точку шересечения срывающейся в ней касательной к геодезической пучка со стенкой.

Когда стенка удаляется на бесконечность, отображение срыва переходит в гауссово отображение пучка: каждой точке поверхности препятствия сопоставляется точка единичной сферы, а именно конед вектора длины 1 , параллельного касательной к теодезической.

Отображение срыва и гауссово отображение пучка имеют особенности в точности на той линии, где направление геодезической пучка асимптотическое. Эти особенности оказываются складками в общих точках и сборками в особых точках, где нашравление кривой асимптотическое (О. А. Платонова).

Многозначная функция времени также имеет особенность в точках, соответствующих асимптотическому срыву,
$3^{*} \quad 67$

При подходящем выборе системы гладких координат функция в ремени приводится к виду $T=x-y^{5 / 2}$ в окрестности ищей точки особой поверхности $y=0$. Иными словами, если отметить на каждом срывающемся луче точку, отвечающую пути длины $T$, то эти точки образуют поверхность

Рис. 72. Типичная особенность фронта в задаче об обходе препятствия: ребро возврата степени $5 / 2$
Рис. 73. Типичная особенность әвольвенты пдоской кривой – клюв степени $5 / 2$ на касательной перегиба кривой

фронта с ребром возврата, локально задающуюся уравневием $x^{2}=y^{5}$ (рис. 72).

Аналогичный результат получается в плоской задаче (в этом случае фронты называются эвольвентами и имеют особенность типа $x^{2}=y^{5}$ в точках касательной перегиба (рис. 73)).

Фронт пространственной задачи в особой точке (точкө сборки гауссова отображения пучка) локально задается уравнениями
\[
x=u, y=v^{8}+u v, z=\left(135 v^{4}+189 u v^{2}+70 u^{2}\right) v^{3},
\]

где $(u, v)$ – параметры, $(x, y, z)$ – криволинейные координаты в пространстве с началом в не лежащей на поверхности препятствия точке особого асимптотического луча.