Управляемая система в фазовом пространстве задается так: в каждой точке пространства дан не один вектор скорости (как в обычной эволюционной системе), а целое множество вєкторов, называемое индикатрисой допустилізі скоростей (рис. 54).

Задача управления состошт в том, чтобы, выбирая з каждый момент времени вектор скорости пз предоставляемого индикатрисой набора допустимых скоростей, достичь заданной цели (например, прийти за кратчайшее время на заданное подмножество фазового пространства).

Зависимость кратчайшего времени достижения цели от начальной точки может иметь особенности. Рассматривавпиеся в п. 10 особенности функции минимума расстояниі до кривой – частный случай (индикатриса окружность, а цель – кривая). В отличие от этого тастного слутая особенности кратчайшего времени в общей задаче управления изучены весьма слабо.

В общем случае достичь цели можно не при любом пачальном условии. Точки фазового пространства, из которых можно дестичь цели (за любое время), называются областью достижимости.

Граница области достижимости может иметь особенности даже в том случае, юогда ни цель, ни поле индикатрис в различных точках
Рис. 54. Поле индикатрис допустимых скоростей управляемой системы фазового пространства особенностей не имегт. Мы приводим ниже классификацию особенностей границы достижимости в общей управляемой системе на фазовой ппоскости в случае, когда индикатрисы и цель – гладкие кривые (по А. А. Давыдову).

Из четырех типов особенностей границы три зашисываются простыми формуламн (при подходящем выборе локальных координат на плоскости):
1) $y=|x|$,
2) $y=x|x|$,
3) $y=x^{2}|x|$.
Особенность четвертого типа связана с теорией дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной, называемых также неявными дифференциальними уравнениями.

Такое уравнение имеет вид $F(x, y, p)=0$, где $p=$ $=d y / d x$. Геометрически уравнение $F=0$ задает поверхность в трехмерном пространствө с координатами $(x, y, p)$. Она называется поверхностью уравнения.

Условие $p=d y / d x$ выделяет плоскость в каждой точке нашего трехмерного пространства. Эта плоскость состоит из векторов, $y$-компонента которых в $p$ раз больше $x$ компоненты, где $p$ – координата точки приложения. Такая плоскость называется контактной. Контактная плоскость в каждой точке вертикальна (содержит направление оси $p$ ). Все вместе контактные плоскссти задают поле контактных плоскостей, называемое также контактной структурой.

Контактная структура высекает на поверхности уравнения поле направлений (с особыми точками в тех местах, где контактная плоскость касается поверхиости). Поверхность уравнения здесь предполагается гладкой. Это условие выполняется для уравнений общего положения.

Вопрос о строении типичных особых точек неявных дифференциальных уравнений рассматривался еще в прошлом веке, и король Швеции Оскар II включил его, наряду с проблемой трех тел, в список из четырех вопросов на премию $1885 \mathrm{r}$.

Решение этого вопроса было получено лишь в 1985 г. А. А. Давыдовым в виде побочного продукта исследования областей достижимости управляемых систем на плоскости.

Ответ доставляет следующий список нормальных форм (к которым уравнение приводится локальным диффеоморфизмом плоскости):
\[
y=(x+k p)^{2} .
\]

В зависимости от значения параметра $k$ здесь возможны три случая. Особая точка поля на поверхности уравнения может оказаться седлом, узлом или фокусом. Отображение проектирования поверхности уравнения на плоскость $(x, y)$ вдоль оси $p$ имсет особенностью складку. В окрестности типичной точки складки уравнение приводится к нормальной форме Чибрарио (1932), $x=p^{2}$. Все особые точки автоматически цопадают на складку. Результат складывания изображен на рис. 55: особые точки на плоскости $(x, y$ ) называются сложенным седлом (узлом, фокусом соответственно). Оказывается, несмотря на сложность узора, образованного интегральными кривыми на плоскости $(x, y)$, он (даже не только топологически, но п с точностью до диффеоморфизма) однозначно определяетсп единственным «модулем» $k$ (как и фазовый портрет соответствующего векторного поля на плоскости вблизи особой точки).

Сложенные особые точки – седла, узлы, фокусы встречаются во многих приложениях. Рассмотрим, например, асимптотические линии на поверхности в трехмерном пространстве (поверхность имеет с касательными прямыми касание выше первого порядка в каждой своей точке). Для поверхности общего положения сеть асимптотических линий заполняет область гишерболичности, где поверхность имеет отрицательную кривизну (как обыкновенное седло). Череа каждую точку области гиперболичности проходят две асимптотические лини и
Рис. 55. Сложенные особенности

Область гиперболичности ограничена линией параболических точек, на которой оба асимптотических направления совпадают.

В окресности типичной параболической точки асимптотические линии имеют полукубическую особенность и вся сеть их приводится к такой же нормальной форме $y=c \pm x^{3 / 2}$, как и семейство интегральных кривых уравнения Чибрарио.

Однако в окрестности отдельных точек на линии параболичности поведение асимптотических линий сложнее: они устроены как интегральные кривые неявных уравнений вблизи сложенных особых точек (рис. 55).

Сложенные особенности появляются также в теоџи релаксационных колебаний. Пусть система имеет одну быструю и две медленных переменных, так что полное фазовое пространство трехмерно. Точки, тде скорость изменешия быстрой переменной равна нулю, образуют (вообще говоря гладкую) говерхность – медленную поверхность системы. Движение фазовой точки состоит из нескольких продессов. Вначале быстрая переменная релаксирует, т. е. фазовая точка быстро движется по «вертикали» (по направлению оси быстрой переменной) к медленной поверхности, затем начинается медленное движевие вдоль этой поверхности. Траектории этого движения определяются полем направлений, высекаемым на ней полем плоскостей, натянутых на вертикальное направление (направление оси быстрой переменной) и направление возмущений. Это поле плоскостей определяет, вообще говоря, контактную структуру в фазовом пространстве, и особенности медленного движения описываются, вообще говоря, сложенными особыми точками рис. 55.

В качестве последнего примера тех же особенностей рассмотрим движение материальной точки в потенциальной яме (или у потенциального барьера) в присутствии трения. Обозначим (рис. 56) через $x$ координату точки, а через $E$
Рис. 56. Диссипация энергии в яме и у барьера

ее полную әнергию. Проекции фазовой траектории на плоскость $(x, E)$ имеют при подходе к графику потепциальной энергии полукубические, вообще говоря, особенности. Минимуму (максимуму) потенциальной әнергии отвечает особая точка. Для потенциальной энергии общего положения получаются все те же сложенные особенности Давыдова.

Причина, по которой сложенные особенности встречаются столь часто, состоит в том, что часто встречаются как обычные особенности векторного поля, так и складывания. Неожиданным здесь является лишь то, что комбинирование складывания с особенностью не приводит к большему разнообразию случаев, чем в классификации самих особенностей векторных полей. А именно, рассмотрим складывание как инволюцию (диффеоморфизм, квадрат которого – тождественное преобразование) на плоскости, несущей векторное поле с особой точкой. Если линия неподвижных точек инволюции проходит через особую точку поля и инволюция на этой линии меняет знак каждого вектора поля на противоположный, то такая инволюдия (почти всегда) переводится в любую другую инволюцию с такими свойствами при помощи диффеоморфизма, двигающего вдоль себя каждую фазовую кривую заданного псля. Этот (довольно неожиданный) результат является источником всей описанной выше теории.

Четвертая особенность границы достижимости получается из двух сепаратрис сложенных седел, входящих с разных сторон в сложенный узел. Приведенная выше пормальная форма сложенного увла позволяет явно вышисать нормальную форму четвертой особенности, но я здесь не буду этого делать.

Примеры управляемых систем и целей, приводящих к указанным особенностям границы достижимости, изображены на рис. $57,58,59$. На этих рисунках цель $\gamma$ обозначена двойной линией, грапица области достижимости’ $\mathrm{T}$-образным пунктиром (ножка буквы $\mathrm{T}$ обращена в сторону области достижимости). Јинии со стрелками касаются краев конусов допустимых направлений в каждой точке; горизонтально заштрихована область «полной управляемости (выпуклая оболочка индикатрисы окружает 0). Рассматривая рис. 57-59 читатель может проверить неустранимость особенностей 1-4.

Чтобы разобраться в этих рнсунках, мы построим сеть предельных линий, определяемую следующим образом.

В каждой точке вне сбласти полной управляемости направления донустимых скоростей расположены внутри угла, меньшего $180^{\circ}$.

Стороны этого угла определяют направления предельных скоростей в данной точке. Таким образом, в каждой точко вне области полной ущравлиемости возникают два предельных направледия. Иптегральные кривые полей предельпых направленнй (т. о. крнвые, пмеющие предельное направленне в каждой своей точке) называются предельныли линиями.

Сеть предельных линий изображена на рис. 54 вместе с ивдић̈атрисами допустимых скоростей (они имеют вид алтинсов) и с опирасщимися на цндикатрисы углами, образовавными допустимыми натравлениями деижения.

Граница области достижимости состоит из отрезков предельных линий (и, быть может, отрезков ли-
Рис. 57. Устойчивость особенностей 1 и 2 на границе области достижимости

пии цели, еслі цель не лежит
в области нолной управляемости, см. рис. 57). Эти отрезки соедицяются между собой в точках, которые и составляют особенности гранщцы области достижимости.

На рис. 57 цель имеет вид контура лежащей на спине буквы С. Допустимые скорости во всех точках плоскости одинаковы п направлөды вверх дод углом, составляющим не более $45^{\circ}$ с вертикалью.

Наклон всех предельных линий $+45^{\circ}$. Граница достижимости обозначена Т-образным пунктиром. Видны особые точки границы двух типов: 1 и 2.

В точке 1 соединяются отрезки деух разных предельных линий. Они пересекаются под ненулевым углом. Ясно, что из точек, расположенных выше указанной на рис. 57 границы, при движении по направлению, образующему с вертикалью угол $45^{\circ}$ или меньше, поцасть на цель нельзя, а из точек, расположенных ниже,- можно. Интересно отметить, что вершина 1 зияет на границе области достижимости: область недостижимости вклннивается в этом месте в области достижимости. Таким обраәом, в смысле п. 7 хорошим оказывается именно недостижимое.

В точке 2 на границе достижимости соединяется отрезок предельной линии и отрезок линии-цели. В этой точке направление ливии-цели предельное, так что граница достижнмости имеет касательную. Кривизна границы, однако, меняется в точке 2 скачком при переходе с предельной линии на линию-дель.

Заменим теперь цель на рис. 57 любой близкой гладкой кривой (близость кривых предполагает близость их касательных, кривизн и т. д.) и заменим поле вндикатрнс допустимых скоростей на рис. 57 близким полем. Тогда ясно, что граница допустимости новой системы по-прежнему будет иметь вблизи точки 1 точку излоза (где под ненулевым углом соединяются отрезки двух предельных линий). Точно так же вблизи каждой из точек 2 возникает точка авалогичного характера для новой системы.

Таким образом, сптуация, изображенная на рис. 57 , устойчива относительно малых шевелений системы. Подобным свойством устойчивости обладают и сптуации, изображенные на рис. 58 и 59. События, приводящие к указанным на этих рисунках особенностям сети предельных линий, состоят в следующем.
На рис. 58 кривая $K$ ограничивает заштрихованную область полной управляемости: в заштрихованной области движение в любом направлении возможно (если допускать так назынаемые смешанные стратегии, т. е. движения быстро сленяющимися галсами). Цель на рис. 58 лежит в области полной управляемости. Следовательно, вся ограниченная кривой $K$ область достижима.
На границе $K$ области полной управляемости угол между допустимыми направленнями составляет ровно $180^{\circ}$. Граница $K$ образована

Pис. 58. Устойчивость особенности 3 на границе об-
ласти достижимости
вно $180^{\circ}$. Граница $K$ образована теми точками плоскости, для которых двойная касательная, делающая вынуклой индикатрису допустимых скоростей, проходит через вачано координат плос гостп скоростей (двойная касательная – это прямая, касающаяся кривой в двух точках).

На рис. 58 тта двойная касатежьная в каждой точкө кривой $K$ горизонтальна. Событие, приводяцее к образованяю изображенной на рис. 58 особенности, состонт в том, что кривая $K$ сама касается проходацей через нуль дєойной насательной к индикаприсе.

Для систем общего положения такое событие происходит лищь в отдельных точках границы $K$ области полной управляемости. На рис. 58 оно происходит в точке 3 , где касательная к $K$ горизонтальна.

Из сказанного выше ясно, что описанное событие реализуется устойчивым образом: при малом певелении системы, т. е. цели и поля нндикатрис допустимых скоростей, точка 3 несколько сместится, но не исчезнет.

Рассмотрим теперь сеть предельных линий вблизи точки 3 . Оба поля предельных направлений вблизи нее гладкие. Выбором соответствующей системы координат одно из них можно выпямить. На рис. 58 система координат так и выбрана: первое из деух семейств предельных линий состоит из горизонтальных прямых (направленных влево).

Линии второго семейства – гладкие кривые. На кривой $K$ они касаются диний первого семейства. В интересующей нас точке 3 оба семейства касаются линии $K$. Из этих соображений уже нетрудно усмотреть, что сеть предельных ливий вблизи точки 3 выглядит так, как указано на рис. 58: выше кривой $K$ линии второго семейства поднимаются при движении вдоль допустимого направления, ниже – опускаются (выбор направлений линий сети допускает еще несколько вариантов, аналогичных изображенному; разббравпись в рис. 58 , читатель легко разберется в них сам).

Теперь на рис. 58 видно, что левее точки 3 гранида области догяижимости идет по линии второго предельного направления, а иявее – первого (горизонтального). В точке 3 обе линии имеют торой порядок касания (как прямая и кубическая парабола). В окрстности этой точки граница достижнмости дифффеоморфна *) грайну функции $y=x^{2}|x|$.

Таким образом, точки 1 и 2 на рис. 57 и точка 3 на рис. 58 ди?т примеры устойчиво реализуемых событий на границе обтасти геста-

Рис. 59. Сложенные особенности на границе области достижимости

жимости, вызывающих особенности первых трех видов с. 49. Особенности тетвертого вида возникают в ситуации рис. 59.

На этом рисунке, как и на рис. 58 , цель находится внутри защтрихованной области шолной удравляемости. На гранще $K$ этой области расположены точки плоскости, в которых выпуклая индикатриса проходит через нуль. Ясно, что в ушравляемых си- $\qquad$
*) Диффеоморфизм – это замена координат, гладкая вместө с обратной заменой.

стемах общего положения әто явление – прохождепе пидкатрисы через 0 – реализуется на линни. По одну сторону этой линии $K$ лежит область полной управляекости (индикатркса окружает 0), по другую – область с двумя предельным награвлениями. На разделяющей их границе $K$ оба әти ноля направлений сливаются в одно – поле направлений касательных к ипдикатрисам в нуле.

В общей точке кривой $K$ направление этого поля составляет с $K$ ненулевой угол. Событие, приводящее к особенности четвертого типа на границе области достижимости, – это пасание кривой $K$ с предельным направлением. Для систем общего положения такое касание реализуется в отдельных точках границы области полной управляемости $K$. На рис. 59 таких точек на кривой $K$ три; средняя из них обозначена цифрой 4.

Чтобы изучить сеть предельных линий в окрестностях этих особых точек, полезно рассмотреть наше двузначное поле предельных направлений как однозначное поле ваправлений на поверхности, двулистно накрывающей область выше кривой $K$.

С этой целью рассмотрим множество всех направлений линейных әлементов на плоскости. Это множество является трехмерным многообразием, так как направление определяется точкой приложения линейного элемекта (две координаты) и еще своим азимутом (одна угловая координата).

Множество всех предельных направлений составляет подмножество множества всех направлений. Әто подмножество – лладкая поверхность в трехмерном мвогообразии всех направлений. Трехмерное мнөгообразие всех направлений проектируется на исходную шлоскость (линейный элемент проектируется в свою точку приложения). Поверхность, образованная предельными направлениями, проектируется при әтом в часть плоскости, расположенную выше кривой $K$. Это отображение проектирования поверхности на шлоскость над кривой $K$ имеет особенность, а именно складку Уитни.

Двузначное поле предельных направлений на плоскости определяет на построенной поверхности однозначное поле направлений всюду, кроме тех самых особенных точек кривой $K$ (где индикатриса в 0 касается $K$ ), которые мы хотим изучать.

Предельные линии обоих полей предельных направлений после перехода на построенную поверхность образуют систему фазовых кривых гладкого векторного поля с особенностями в интересующих нас точках. Эти особые точки могут быть узлами, фокусами или седлами (на рис. 59 средняя точка – узел, а обе крайние – седла). Таким образом, расположение предельных линий на исходной плоскости получается из расположения фазовых кривых векторного поля в окрестности особой точки при отображении складки Уитни. Хотя это огображение Уитни и фазовые кривые не вполне независимы (в тастности, над $K$ фазовые кризые касаются ядра проектирования), сказанного достаточно, чтобы исследовать расположение предельных линий вблизи особой точки (менду прочим, такую же картину образуют асимптотические пини вбллии параболической кривой на поверхности).

На рис. 59 ивображен один из вариантов этого расноложения. На рисунке видно, что изображенная Т-образным пунктиром граница области достижимости образована цроскциями сегаратрис седел (крайних особых точек) при отображении двулистно накрывающей поверхности на шлоскость. Над точкой 4 на накрывающей лежит особая точка типа «узел». В этот узел входят с разных сторон две сепаратрисы седел.

В узле эти две кривые имеют общую касательную и (в случаө общего положения) могут быть заданы уравнениями парабол степени $\alpha>1$ внда
\[
y=A|x|^{\alpha} \quad \text { при } \quad x \leqslant 0, \quad y=B|x|^{\alpha} \quad \text { при } \quad x \geqslant 0
\]

в подходящей системе координат.
Четвертая особенность граніды области достижимости получается из этой пары парабол степени $\alpha$ на пакршвающей поверхности при отображении складки Уитни.

Это обстоятельство показывает, между ирочим, ониботвость qерезвычайно распространенного среди катастрофистов вульгарного истолкования деклараций $\mathrm{P}$. Тома о том, что «в природе встречаются только устойчивые ярления и потому при изучении каждой задачи следует изучать устойчивые случаи, отбрасывая остальнже как нереализуемые». В данном случае особенности первых трсх типов устойчивы (с точностью до диффеоморфизмов), а тетвертого нет. В то же время все 4 типа особенностей встречаются одинаково часто и изучение последней нитуть не менее важно, чем исслепование остальных трех.

Об особенностях области достижимости, функции времени и оптимальной стратегии в управляемых системах общего положения с фазовым пространством большей размерности известно удивительно мало – лишь в 1982 г. доказано, что область достижимости является тошологическим многообравием с краем.

Одним из цромежуточных вопросов при исследовании ушравляемых систем оказывается вопрос об особенностях выпуклых оболочек гладких многообразий (кривых, поверхностей,…).

Выпуклой оболочкой множества называется пересечение всех содержащих его полупространств. Индикатриса управляемой системы может быть невыпуклой.

Однако оказывается, что невынуклую индикатрису можно заменить ее выпуклой оболочкой.

Например, индикатриса скоростей яхты іри встречном ветре невыпукла (рис. 60). Против ветра можно, однако, двигаться галсами, применяя смешіанную стратегию, т. е. перемежая участки движения с разными скоростями, принадлежащими индикатрисе. Сред-
Рис. 60. Овыкупление индикатрисы при помощи смещанной стратегии няя скорость движения при смешанной стратегии принадлежит множеству средних арифметических используемых векторов индикатрисы, т.е. выпуклой оболочке.

Особенности выпуклых оболочек кривых и поверхностей общего положения в трехмерном пространстве исследованы В. Д. Седых и В. М. Закалюкиным. В случае кривых с точностью до гладкой замены переменных

Рис. 61. Типичные особенности выпуклых оболочек простравственных кривых

оболочка задается в окрестности каждой своей точки одной пз шести формул:
\[
\begin{array}{c}
z \geqslant 0, z \geqslant|x|, z \geqslant x|x|, \\
z \geqslant \min \left(u^{4}+x u^{2}+y u\right), z \geqslant \min ^{2}(x, y, 0), \\
\left\{z \geqslant \min ^{2}(x, y, 0), x+y \geqslant 0\right\}
\end{array}
\]
(рис. 61). В случае поверхностей – одной из трех формул
\[
z \geqslant 0, \quad z \geqslant x|x|, \quad z \geqslant \rho^{2}(x, y),
\]

где $\rho(x, y)$ – расстояние от точки $(x, y)$ до угла $y \geqslant c|x|$ (рис. 62). Число $c>0$ является модулем (инвариантом): оболочки, соответствующие разным $c$, не сводятся одна к другой гладким преобразованием.

Особенности вышуклых оболочек в пространстве большей размерности мало изучены. Согласно В. Д. Седых, выпуклая оболочка общего $k$-мерного многообразия в пространстве размерности выше $k+2$ имеет модули, являющиеся функциями $k$ переменных.
Тень, отбрасывае-

Рпс. 62. Типичные особенности вымая бесконечно-гладким или даже аналитическим выпуклым телом, может, как это ни кажется странным, иметь особенности. А именно, граница тени трехмерного выпуклого тела может иметь разрывы третьей производной, а тела размерности 4 и выше – даже второй (И. А. Еогаевский, 1990).
Много новых интересньх особенностей возникает в оптимизационных задачах с ограничениями, например в задаче об обходе препятствия. Их исследованне привело f новым результатам в одной из самых классических областей математики – геометрии гладких поверхностей в трехмерном пространстве.