Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Снатала мысль, воплощена Не претендуя на полноту, я приведу здесь несколько ярких работ, авторы которых рассматривали особенности, бифуркации и катастрофы в системах общего положения, возникающих в различных областях знания. Каустики встречаются уже у Леонардо да Винчи, название им дал Чирнгаузен. В 1654 г. Гюйгенс построил теорию эволют и эвольвент плоских кривых, обнаружив одновременно устойчивость точек возврата на каустиках и волновых фронтах (т. е. сборок соответствующих отображений). Перестройки фронтов на плоскости исследовались Јопиталем (около 1700 г.) и Кәли в 1868 г. Гамильтон в 1837-1838 г. применил исследование критических точек семейств функций к изучению особенностей систем лучей в геометрической оптике, вроде конической рефракции и двойного лучепреломления. Якоби в лекциях по динамике (1866) исследовал каустики системы геодезических әллипсоида, выходящих из одной точки, и обнаружил устойчивость точек возврата на каустиках. Алгебраические геометры прошлого века хорото знали типичные особенности кривых (Плюккер) и поверхностей (Сальмон), двойственных гладким. Ласточкин хвост подробно описан Кронекером (1878) и входил в учебники алгебры (Вебер, 1898); его можно найти в каталоге гипсовых поверхностей (Бриль, 1892), имеющихся в кабинетах геометрии старых университетов. Типичные особенности отображений поверхностей в трехмерное пространство (зонтик Уитни, $z^{2}=x y^{2}$, половина которого изображена выше, на рис. 31) исследованы Кэли в 1852 г. Кэли изучал также геометрию семейства эквидистант и каустику трехосного эллипсоида тем самым «кошелек», изображенный выше, на рис. 39 , в. Он явно сформулировал задачу о топологии семейств линий уровня гладкой функции общего положения (1868) и исследовал бифуркации в некоторых типичных трехпараметрических семействах функций двух переменных. Алгебраические аналоги теорем трансверсальности теорип особенностей систематически использовались алгебраическими геометрами, особенно итальянской школы (Бертини, 1882 и др.). Пуанкаре далеко развил теорию бифуркаций (включая более сложные, чем «бифуркация Хопфа» случаи) в своей диссертации и в «Новых методах небесной механики» (т. I, п. 37 , п. 51 ; т. III, гл. 28 и т. п.). К сожалению, бесхитростные тексты Пуанкаре трудны для математиков, воспитанных на теории множеств. Пуункаре сказал бы: «прямая делит плоскость на две полудлоскости» там, где современные математики пишул просто: «множество классов эквивалентности дополнения $\mathbb{R}^{2} \backslash \mathbb{R}^{\mathbf{1}}$ к прямой $\mathbb{R}^{1}$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$, определяемых следующим отношением әквивалентности: две точки $A, B \in \mathbb{R}^{2} \backslash \mathbb{R}^{1}$ считаются эквивалентными, если соединяющий их отрезок $A B$ не пересекает прямую $\mathbb{R}^{1}$, состоит из двух элементов» (цитирую по памяти из школьного учебника). В книге «Математическое наследство Пуанкаре», изданной Американским математическим обществом, написано даже, что Пуанкаре не знал, что такое многообразие. В действительности определение (вещественного) гладкого многообразия в Analysis Situs Пуанкаре подробно изложено. В современных терминах оно таково: многообразием называется подмногообразие евклидова пространства, рассматриваемое с точностью до диффеоморфизма. Это простое определение настолько же лучше современных аксиоматических конструкций насколько определение группы как (рассматриваемой с точностью до изоморфизма) группы преобразований и определение алгоритма, основанное на какой-либо (универсальной) мащине Тьюринга, понятнее абстрактных определений. Абстрактные определения возникают при попытках обобщить «наивные» понятия, сохраняя их основные свойства. Теперь, когда мы знаем, что эти попытки не приводят к реальному расширению круга объектов (для многообразий это установил Уитни, для групп – Кэли, для алгоритмов – Черч), не лучпе ли и в преподавании вернуться к «наивным» определениям? Сам Пуанкаре подробно обсуждает методические преимущества наивных определений окружности и дроби в «Науке п методе»: невозможно усвоить правило сложения дробей, не разрезая, хотя бы мысленно, яблоко или пирог. В 1931 г. А. А. Андронов выступил с обширной программой, отличающейся от современной программы катастрофистов только тем, что место еще не созданной к тому времени теории особенностей Уитни занимают качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций Пуанкаре. Идеи структурной устойчивости (грубости), коразмерности (степени негрубости), бифуркационные диаграммы, явная классифижация бифуркаций общего положения и даже исследование складок и сборок гладких отображений поверхностей на плоскость явно присутствуют в работах A. А. Андронова и его пколы. Физики всегда использовали более или менее эквивалентные теории катастроф построения при исследовании конкретных задач. В термодинамике эти идеи систематически использовались Максвеллом и особенно Гиббсом (1873). Перестройка изотерм диаграммы ван дер Ваальса – типичный пример применения геометрии сборки. Анализ асимптотики в окрестности критической точки быстро приводит к пониманию независимости этой геометрии от точного вида уравнения состояния – факт, хоропо известный со времен Максвелла и упоминаемый в большинстве учебников термодинамики (например, Ландау и Лифшица). Предложение Максвелла провести горизонтальный участок изотермы так, чтобы площади лунок над и под ним были равны, означает переход от одного из двух конкурирующих минимумов потепциала к другому в момент, когда второй становится ниже. Соответствующая бифуркационная диаграмма в теории катастроф называется стратом Максвелла. «Правило фаз» Гиббса доставляет топологические ограничения на строение әтой и подобных ей бифуркационных диаграмм (отирытие необходимости строго доказывать подобные факты – ааслуга мематики более позднего периода). Гиббс также явно указал на связь термодинамики с геометрией контактной стуктуры. зии Скрейнемакерсом (1917). Аналив волнового поля вблизи каустики и ее особенностей привел Эйри и Пирси к осциллирующим интегралам, фаза которых доставляет нормальную форму складки и сборки соответственно. В связи с этим стоит отметить, что найденные М. А. Леонтовичем и В. А. Фоком асимптотики поля вблизи границы до сих пор не переварены теорией катастроф. В теории упругости Койтер в 1945 г. обнаружил полукубическую особенность в зависимости предельной нагрузки от недентральности ее приложения в задаче о прощелкивании арки. Специялисты по теории упругости испопьзовали геометрию сборки для выбора программ исшытаний упругих конструкций, при которых’не происходит прощелкивания несмотря на высокие нагрузки. Вычисления в этих исследованиях обычно проводились без общей теории, ва счет правильного отбрасывания одних членов ряда Тейлора и оставления других «наиболее важных». Из физиков, особенно систематически применявших теорию катастроф до ее возникновения, стоит особо выделить Л. Д. Ландау. В его руках искусство отбрасывать «несущественные» члены ряда Тейлора, сохраняя меньшие по величине «физически важные» члены, дало много включаемых в теорию катастроф результатов. Так, в работе 1943 г. о возникновении турбулентности Ландау прямо выписывает этим методом уравнение «бифуркации Хопфа» для квадрата амплитуды теряющего устойчивость колебания. Теория фазовых переходов второго рода по Ландау сводится к анализу бифуркаций критических точек симметрнческих функций. Кривые Ландау в теории фейнмановских интегралов, зависящих от параметров, с их устойчиными тощами возврата, включаются в число основных бпфуркационных диаграмм современной теории катастроф. Конечно, современная общая теория позволяет с меньшей затратой сил исследовать более сложные особенности. Однако напбольшую практнческую ценность имеют в большинстве случаев именно исследования наиболее простых и часто встречающихся особенностей: затрата сил на преодоление технических трудностей, стоящих на пути исследования более сложных случаєв, не всегда оправдывается практической ценностью получаемых результатов. Напротив, фундаментальные работы предшественников теории катастроф (как упомянутых выше, так и многих других) сохраняют все свое значение и теперь, когда их математическая структура вполне выяснена теориями особенностей и бифуркаций.
|
1 |
Оглавление
|