Потеря устойчивости состояния равновесия при изменении параметра не обязательно связана с бифуркацией самого состояния равновесия: оно может терять устойчивость не только сталкиваясь с другим, но и самостоятельно.

Соответствующая пөрестройка фазового портрета на плоскости изображена на рис. 16. Возможны два варианта.
А. При изменении параметра из положения равновесия рождается предельный цикл (радиуса порядка $\sqrt{\varepsilon_{i}}$ когда значение параметра отличается от бифуркацнонно го на $\varepsilon$ ). Устойчивость равновесия переходит к циклу, само же равновесие становится неустойчивым.
Б. В положении равновесия умирает неустойцивый предельный цикл; область притяжения положения равновесия уменьшается с ним до нуля, после чего цикл исчезает, а его неустойчивость передается равновесному состоянию.
А. Пуанкаре заметил, а А. А. Андронов и его ученики еще до войны (в 1939 г.) доказали, что, кроме ощисанно й
Рио. 10. Бифуркация рождения цикла

выше (п. 5) потери устойчивости положений равновесия сливающихся с неустойчивыми, и только что описанных способов потери уетойчивости типа А или Б в общих однопараметрических семействах систем с двухмерным фазовым пространством никаких иных видов потери устойчивости не встречается. Позже было доказано, что и в системах с фазовым пространством большей размерности потеря устойчивости положений равновесия при изменении одного параметра происходит каким-либо из описанных выпе способов (по нацравлениям всех дополнительных осей координат при изменении параметра равновесие остается притягивающим).

Если наше положение равновесия – установившийся режим в реальной системе, то при изменении параметра в случаях А и Б наблюдаютея следующие явления.
А. После потери уєтойчивости равновесия установившимся режимом оказывается колебательный периодический режим (рис. 17); амплитуда колебаний пропордиональная
квадратному корню из закритичности (отличия параметра от критического значения, при котором равновесие теряет устойчивость).

Этот вид потери устойчивости называется мягкой потерей устойчивости, так как устанавливающийся колебательный режим при малой закритичности мало отличается от состояния равновесия.
B. Перед тем как установившийся режим теряет устойчивость, область притяжения этого режима становится
Рис. 17. Мяткая потеря уетойчивости равдовесия
Рис. 18. Жесткая потеря устойчивости равновесия

очень малой, и всегда присутствующие случайные возмущения выбрасывают систему из этой области еще до того, как область притяжения полностью исчезает.

Этот вид потери устойчивости называется жесткой потерей устойчивости. При этом система уходит со стационарного режима скачком (см. рис. 18) и перескакивает на иной режим движения. Этот режим может быть другим устойчивым стационарным режимом, или устойчивыми колебаниями, или более сложным движением.

Установившиеся режимы движения получили в последние годы название аттракторов, так как они «притягивают» соседние режимы (переходные процессы). [Aтmрактор, т. е. притлгатель, – это притягивающее множество в фазовом пространстве. Аттракторы, отличные от состояний равновесий и строго периодических колебаний, получили название странных аттракторов и связываются с проблемой турбулентности.]

Существование аттракторов с экспоненциально расходящимиея фазовыми кривыми на них и уетойчивость такого рода явлений были установлены в самом начале шестидесятых годов в работах С. Смейла, Д. В. Аносова и Я.Г.Синая по структурной устойчивости динамических систем.

Независимо от этих теоретических работ метеоролог Лоренц в 1963 г. описал наблюдавшийся им в численных әкспериментах по моделированию конвекци аттрактор
в трехмерном фазовом пространстве с разбегающимися по нему в разные стороны Фазовыми кривыми (рис. 19) и указал на связь әтого явления с турбулентностью.

В работах Аносова и Сиғая экспоненциальное разбегание было установлено, в частности, для движения материальной точки по поверхности отрицательной кривизны (пример такой поверхности – седло). Первые применения теории экспоненциального разбегания к изучению гидродинамической устойчивости опубликованы в 1966 г.
Движение жидкости можно ошисать как дгижение материальной точки по пскривленной бесконешномерной го-
Рис. 19. Хаотический аттрактор

верхности. Кривизна этой поверхности по многіл направлениям отрицательна, что приводит к быстрому разбеганию траекторий, т.е.к плохой предсказуемости течения по начальным условиям. В частности, из этого вытекает практическая невозможность долгосрочного динамического прогноза погоды: для предсказания всего на 1-2 месяца вперед нужно знать начальные условия с погрешностью $10^{-5}$ от погрешности предсказания.

Вернемся, однако, к режиму, установившемуся после потери устойчивости равновесного состояния, и предположим, что этот режим – странный аттрактор (т. е. не равновесие и не предельный цикл).

Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, детали которых очень чувствительны к малому изменению начальных условий, в то время как усредненные характеристики режима устойчивы и не зависят от начального условия (при его изменении в некоторой области). Әкспериментатор, наблюдающий за движением такой системы, назвал бы его турбулентным. По-видимому, неупорядоченные движения жидкости, наблюдаемые при потере устойчивости ламинарного течения с увеличением числа Рейнольдса (т. е. с уменьшением вязкости), математчески описываются именно такими сложными аттракторами в фазовом пространстве жидкости. Размерность этого аттрактора, по-видимому, конечна при любом числе Рейнольдса (для двухмерных течений жидкости Ю.С.Ильяшенко, М. И. Вишик и А. В. Бабин недавно получили оценку этой размерности сверху велнчиной порядка $\mathrm{Re}^{4}$ ), но стремится к беєконечности при $\mathrm{Re} \rightarrow \infty$.

Переход от устойчивого состояния равновесия процесса («ламинарного течения жидкости») к странвому аттрактору («турбулентности») может совершаться как скачком (при жесткой или катастрофической потере устойчивости) так и после мягкой потери устойчивости (рис. 20). В пос леднем случае родившийся цикл сам тернет устойчивость
Рис. 24. Гибель аттрактора-цикла
Рис. 22. Удвоение цикла-аттрактора

Потеря устойчивости цикла в общем однопараметрическом семействе систем возможна несколькими способами: 1) столкновение с неустойчивым циклом (рис. 21), 2) удвоение (рис. 22), 3) рождение или смерть тора (рис. 23) (в терминологии Андронова: $c$ цићла слезает шкура). Детали последних процессов зависят от резонансов между частотами движения вдоль меридиана тора и вдоль его оси, т. е. от того, будет ли отнопение этих частот рациональным или иррациональным числом. Интересно, что рациональные числа со внаменателем 5 п больше ведут себя практически как иррациональные.

Поведение фазовых кривых, близких к циклу, можно приближенно описывать при помощи әволюционнсго про
Рис. 23. Бифуркация рождения тора вблизи цикла

цесса, для которого цикл является положением равновесия. Возникающие таким образом приближенные системы на сегодняшний день исследованы для всех случаев, кроме случаев, близких к сильному резонансу с отношением

Рис. 24. Бифуркация коразмерности 2 вблизи резонанса $1: 3$

Њнс. 25. Вариант бифуркации норазмерности 2 вблизи резонанса 1:4

частот $1: 4$ (Р. И. Богданов, Э. И. Хорозов). На рис. 24 изображены перестройки семейства фазовых кривых приближонной системы, соответствующие перестройкам расположения фазовых кривых в окрестности цикла; предполагается, что потеря устойчивости происходит вблизи резонанса $1: 3$. На рис. 25 изображена одна из возможных последовательностей событий вблизи резонанса $1: 4$. Основные результаты об этом резонансе получены не строгими математическими рассуждениями, а комбинированием догадок и вычислительных экспериментов на ЭВМ (Ф. С. Березовская и А. И. Хибник, А. И. Нейштадт).

Изложенная выше теория Пуанкаре – Ащдронова потери устойчивости состояний равновесия имеет так много црнложений во всех областях теории колебаний (как спстем с конечным числом степеней свободы, так и сплошных сред), что нет никакой возможности их здесь перечислить: механические, физические, химические, биологические и экономические системы теряют устойчивость на каждом шагу.

В работах по теории катастроф мягкая потеря устойчивости положения равновесия обычно называется бифуркацией Хопфа (отчасти по моей «вине», так как, рассказывая о теории Пуанкаре – Андронова P. Тому в 1965 г., я особенно подчеркивал работу Э. Хопфа, перенесшего часть этой теории на многомерный случай).

В теории бифуркаций, как и в теории особенностей, основные результаты и приложения получены независимо от теории катастроф. Несомненной заслугой теории катастроф является введение термина аттрактор и широкая пропаганда знаний о бифуркациях аттракторов. Разнообразные аттракторы обнаружены теперь во всех областях теории колебаний; высказывалась, например, гипотеза, что различные фонемы речи – это различные аттракторы звукообразующей динамической системы.

При медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затягивания потери устойчивосmи (рис. 26).

После того как параметр прошел через бифуркаціонное значение, соответствующее рождению цикла, т. е. мяткому возникновению автоколебаний, система остается в опрестности потерявшего устойчивость состояния равновесия еце некоторое время, за которое параметр успевает измениться на конечную величину. И лишь затем система скачком переходит на родившийся в момент бифуркации автоколебательный режим, так что потеря устойчивости кажется жесткой.

Интересно, что этот эффект – особенность динамической бифуркадии – имеет место только в аналитических системах, В бесконечно-дифференцируемом случае величина ватягивания потери устойчивости, вообще говоря, стремится к нулю при уменьшении скорости пзменения параметра.

Затягивание в модельном примере описано Шишковой в 1973 г. Доказательство того, что это явление имеет место во всех типичных аналитических системах с медленно

Рис. 26. Затягивание потери устойчивости прп динамической бифуркации

меняющимся параметром, было получено в 1985 г. А. И. Нейштадтом.

Иввестно, что улов горбуши колеблется с перподом в два года. Исследование экологических моделей, призванных объяснить эти колебания, привело А. П. Папиро (1974) и затем Р.Мея к әкспериментальному открытио каскадов удвоений периода: последовательные бифуркапии удвоения быстро следуют одна за друюой, так что на конечный отрезок изменения параметра приходится бесконенное число удвоений. Это явление наблюдается, например, для простейшей модели мальтузианского размножения с конкуренцией – для отображения $x \mapsto A x e^{-x}$ (рис. 27). Здесь множитель $e^{-x}$, уменьшающий коэффициент мальтузианского размножения $A$ при увеличении размера популяцип $x$, учитывает конкуревцию. При малых значениях параметра $A$ устойчива неподвижная точка $x=0$ (пошуляция вымирает). При болыпих значениях $A$ аттрактором последовательно становятся ненулевая неподвижная точка (бифуркация $A_{0}$ ), цикл периода 2 , рис. 27 , как для горбуши (бифуркация удвоения, $\left.A_{1}\right)$, периода $4\left(A_{2}\right)$ и т. д. (рис. 28).

Анализируя этот экспериментальный материал, М. Фейгенбаум (1978) обнаружил замечательное ямление

Pnc. 27. Колебапия минаноти популяции в простейщ: мальтузианской модели с уц. том конкуренции
Рис. 28. Каскад удвоений периода

универсальности каскадов удвоений. Последовательность значений параметра, соответствующих последовательным удвоениям, асимптотически ведет себя как геометрическая грогрессия. Знаменатель прогрессии
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}-A_{n}}{A_{n}-A_{n-1}} \approx \frac{1}{4,669 \ldots}
\]

является универсальной (не зависящей от конкретной системы) постоянной, вроде чисел $\pi$ или $е$. Такие же каскады удвоений предельных циклов наблюдаются и в типичных эволюциониых системах, описываемых зависящими от параметра дифференциальными уравнениями.

В отличие от удвоения периода, утрсение является явлением коразмерности два. Каскады утроений (и других увеличений периода) становятся типичными не в однюпараметрических, а в двупараметрических семействах скстем. В этих случаях универсальные показатели оказываются комплексными.

В теории двупараметрических бифуркаций ва последние годы достигнуты значительные успехи. В частности Г. Жолондеком к 1987 г. решены давно стоявтие задачи о числе предельных циклов, рождающихся из нулевого положения равновесия в системах типа Лотка – Вольтерра (рис. 10), описываемых касающимися сторон угла векторными полями на плоскости.
Однако вадача о бифуркациях в системе
\[
\dot{z}=\varepsilon z+A z^{2} \bar{z}+\bar{z}^{3},
\]

к которой сводится исследование потери устойчивости автоколебаний в единственном оставшемся не исследованным случае коразмерности 2 , все еще не поддается усилиям математиков. На плоскости комплексного параметра $A$ выделено 48 областей (рис. 29), в которых бифуркации при обходе малого комплексного параметра $\varepsilon$ вокруг нуля происходят поразному. (Не доказано даже, что полное число таких областей конечно, хотя предполагается, что их всего 48.)
Еще недавно всякий экспериментатор, обнаружив, скажем, в химической реакции сложные апериодические колебания, отказывался от их исследования, ссылаясь на нечистоту эксперимента, случайные внешние воздейст-

Рис. 29. Сорок восемь типов бифуркаций коразмерности 2 при резонансе $1: 4$

вия и т. п. Сейчас уже многим ясно, что әти сложные колебания могут быть связаны с самим существом дела, могут определяться основными уравнениями задачи, а не случайными внешними воздействиями; они могут и должны изучаться наравне с классическими стационарными п периодическими режимами протекания процессов,