В 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу «Об отображениях плоскости на плоскость, заложившую основу новой математической теории – теории особенностей гладких отображений.

Отображение поверхности на плоскость – это сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости. Если точка поверхности задана координатами $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ на поверхности, а точка влоскости координатами ( $y_{1}, y_{2}$ ) на плоскости, то отображение задается парой функций $y_{1}=$ $=f_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), y_{2}=f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)$. Отображение называется гладкии, если эти функции гладкие (т. е. дифференцируемыө достаточное число раз, например многочлены).

Огображения гладких поверхностей на плоскость окружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностями. Видимые контуры тел – это проекции ограничивающіх тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров.

Уитни заметил, что в с.уучаях «общего положения»*) встречаются особенности липь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности әтих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

Примером особенности первого вида – она названа складкой Уитни – является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора рис. 1). В подходящих координатах это отображение
Рис. 1. Складка проектирования сферы на плоскость
Рис. 2. Сборка проектирования поверхности на плоскость

задается формулами $y_{1}=x_{1}^{2}, y_{2}=x_{2}$. Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего удивительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще ровно одну особенность, но практически никогда ее не замечаем.

Эта вторая особенность названа сборкой Уитни, и получается она при проектировании на плоскость поверхности, изображенной на рис. 2. Эта поверхность задана формулой $y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1} x_{2}$ в пространстве с координатами $\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}\right)$ и проектируется на горизонтальную плоскость $\left(x_{2}, y_{1}\right)$.
*) То есть дія всех случаев, кроме векоторых исключительных.

Таким образом, отображение задается в локальных координатах формулами $y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1} x_{2}, y_{2}=x_{2}$.

На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале коюрдинат. Эта кривая делит горизонтальную плюскость на две части: менышую и большую. Точки меньней части имеют по три прообраза (в них проектируетея три точки поверхности), точки большей части лишь по одному, точки кривой – по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сливаютея и исчезают (в этом месте особенность – складка), при подходе к острию сливаютея все три прообраза.

Уитни доказал, что сборка устойчива, т. е. всякое близкее отображение имеет в подходящей близкой точке подобную же особенность (т. е. такую особенность, что продеформированное отображение в подходящих координатах в окрестности указанной точки записывается теми же формулами, какими записывалось исходное отображение в окрестности исходной точки). Уитни также доказал, что всякая особенность гладкого отображения поверхности на плоскость после подходяиего малого шевеления рассыпается на складки и сборки.

Таким образом, видимые контуры гладких тел общего положения имеют точки возврата в местах, где проектирования имеют сборки и не имеют других особенностей: приглядевшись, мы можем найти эти точки возврата в чертах каждого лица или тела. Рассмотрим, например, поверхноеть гладкого тора (скажем, надутой шины). Тор обычно рисуют так, как это изображено на рис. 3. Если
Pис. 3. Видимый контур ropa
Рис. 4. Четыре сборки проектирования тора на плоскость

бы төр был прозрачным, мы увидели бы видимый контур, изображенный на рис. 4: соответствующее отображение төра на плоскость имеет четыре сборки. Таким образом, концы линии видимого контура на рис. 3 – это точки возврата, в этих точках линия видимого контура имеет полукубическую особенность.

Прозрачный тор редко где увидишь. Рассмотрим другое прозрачное тело – бутылку (прєдпочтительно из-под молока). На рис. 5 видны две точки сборки. Покачивая бутылку, мы можем убедиться, что сборка устойчива.
Рис. 5. Экспериментальная проверка теоремы Уитни

Тем самым мы получаем убедительное әкспериментальное подтверждение теоремы Уитни.

После основополагающей работы Уитни теория особенностей бурно развивалась, и сейчас это одна из цеитральных областей математики, в которой перекрещиваются пути, связывающие самые абстрактные разделы математики (дифференциальную и алғебраическую геометрию и топологию, теорию групп, порожденных отражениями, коммутативную алгебру, теорию комплексных пространств и т. д.) с самыми прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифуркаций положений равновесия, геометрическая и волновая очтика и т. д.). К. Зиман нредложил называть совокупность теории особенностей и ее приложений теорией катастроф.