Один из наиболее важных выводов теории особенностей состоит в универсаільности нескольких простых образов вроде складки, сборки и точки возврата, которые должны встречаться повсеместно и которые полезно научиться распознавать. Кроме перечисленных особенностей, часто

Рис. 32. Эволюция волнового фронта
Рис. 33. Особенности әквидистант әллипса
Pис. 34. Јасточкин хвост
Pис. 34. Ласточкин хвост эллипса

встречаются еще несколько образов, которые также получили собственные имена: «ласточкин хвост», «пирамида», «кошелек» и др.

Пусть в какой-либо среде распространяется некоторое возмущение (например, ударная волна, свет или эпидемия).

Для простоты начнем с плоского случая. Допустим, в начальный момент времени возмущение имелось на кривой $a$ (рис, 32), и пусть скорость его распространения равна 1. Чтобы узнать, где будет возмущение через время $t$, нужно отложить по каждой нормали к кривой отрезок длины $t$. Полутающаяся кривая называется волновым фронтом.

Даже если начальный волновой фронт не имел особенностей, через некоторое время особенности начнут возникать. Например, при распространении возмущения внутрь әллипа, возникают особенности, изображенные на рпс. 33. Эти особенности усгойчивы (неустравимы малым шевелением начального фронта). Для гладкого начального фронта общего положения с течением времени будут образовываться лишь стандартны особенности такого же тппа.

Все иные особенности (например, особенность в центре жжмаюейся окружности) при малом шевелении начального фронта рассыпаются на несколько особенностей стандартного вида.

В трехмерном пространстве на гладком волновом фронте общего положения с течением времени возникают лишь ребра возврата и стандартные особенности тина «ласточкин хвост», изображекные на рис. 34 (попытайтесь разобраться в особенностях фронта, распространяющегося внутрь трехосного әллипсоида).

Все более сложные особенности при малом шевеленип фронта рассыпаются на соединенные ребрами возврата и линиями самопересечения ласточкины хвосты.

Ласточкин хвост можно определить как множество всех точек $(a, b, c)$, таких, что многочлен $x^{y}+a x^{2}+b x+c$ имеет кратный корень. У этой погерхности есть ребро

Рис. 35. Тицичная перестройка вилцового фронта на пэскости возврата ( $B$ на рис. 34) и липия самопересечения ( $C$ на рис. 34).

Ласточкин хвост можно получить из пространственной кривой $A=t^{2}, B=t^{3}, C=t^{4}$; он образован всеми ее касательными.

Рассмотрим пересечения ласточкиного хвоста цараллельными шлоскостями общего положения (см. рис. 35).

Эти пересечения являются илоскими кривыми. При поступательном движении плоскости указанные кривые перестраиваются в момент, когда плоскость проходит через вершину хвоста. Перестройка (метаморфоза), происходящая при әтом, в точности такая же, как метаморфоза волнового фронта на плоскости (например, при распространении возмущения внутрь эллипса).

Мы можем описать метаморфозы волновых фронтов на плоскости следующим образом. Рассмотрим наряду с основным пространством (в данном случае плоскостью) еще пространстео-время (в данном случае трехмерное). Распространяющийся на плоскости волновой фронт заметает в пространстве-времени некоторую поверхность. Оказывается, саму эту поверхность всегда можно рассматривать как волновой фронт в пространстве-времени («большой фронт»). В случае общего положения особенностями большого фровта будут ласточкины хвосты, ребра возврата и самопересечения, расположенные в пространстве-времени общим образом относительно изохрон (образованных «одновременными» точками пространства-времени). Теперь уже нетрудно сообразить, какие метаморфозы могут испытывать мгновендые волновые фронты на плоскости в случае общего положения; это перестройки сечений больпого фронта изохронами.

Ивучение метаморфоз волнового фровта при его распространении в трехмерном пространстве сводится таким же образом к исследованию сечений большого (трехмерного) волнового фронта в четырехмерном пространстве-времени трехмерными изохронами. Возникающие метаморфозы изображены на рис. 36 .

Изучение метаморфоз волновых фронтов было одной из задач, из которых возникла теория катастроф, однако даже в случае трехмерного пространства катастрофисты не сумели с ней справиться; рис. 36 появился лишь в 1974 г., когда в теории особенностей были разработаны новые методы (основанные на теории кристаллографических групп симметрий).

Наряду с волновыми фронтами процесс распространения возмущений описывается при помощи систем лучей. Например, распространение возмущений внутрь эллипса можно описать при помощи семейства внутренних нормалей к әллипсу (рис. 37). Это семейство имеет огибающую. Огибающая семейства лучей называется каустикой (т, е. «жгущей», так как в этих местах свет концентрируется). Каустика хоропо видна на внутренней поверхности чашки, освещенной солнцем. Радуга на небе также объясняется каустикой системы лучей, прошедших с полным внутренним отражением через каплю воды (рис. 38).

Каустика әллиптического фронта имеет четыре точки нозврата. Эти особенности устойчивы: близкий к эллпису фронт определит каустику с такими же особенностями. Все более сложные особенности каустик при малом шевелении рассыпаются на стандартные особенности: точки

Рис. 36. Типичные перестройки волновых фронтов в трехмерном пространстве
Рис. 37. Каустика әллипса
Рис. 38. Теория радуги Декарта

возврата (локальное уравнение $-x^{2}=y^{y}$ ) и точки самоиересечения,

СЕ ‘тема нормалей к поверхности в трехмерном пространстве также имеет каустику. Эту каустику можно построить, отложив на каждой нормали к поверхности радиус кривизны (поверхность, вообще говоря, имеет в каждой точке два различных радиуса кривизны, так что на нормали получается две тоџки каустики).

Нелегко представить себе, как выглядят каустики даже простейших поверхностей, например трехосного эллипсоида.

Каустики общего положения в трехмерном пространстве имеют лишь стандартные особенности. Эти особенности называются «ласточкин хвост», «пирамида» и «кошелек» (см. рис. 39). Пирамида имеет три ребра возврата, касающиеся в вершине. Кошелек имеет одно ребро возврата и

Pис. 39. Типичные особенности каустик в трехмерном пространстве

состоит из двух симметричных носов лодки, пересекающихся по двум ливиям. Эти особенности устойчивы.

Все более сложные особенности каустик в трехмерном пространстве при малом шевелении рассыпаются на эти стандартные элементы.

Рассмотрим для одного и того же начального фронта (например, әллипса на плоскости) его каустику и фронты распространяющегося возмущения. Нетрудно понять, что особенности распространяющегося фронта скользят по каустике и заполняют ее.

Например, метаморфоза волнового фронта 5 на рис. 36 соответствует ласточкину хвосту на каустике. Ребро возврата движущегося в трехмерном пространстве волнового фронта заметает поверхность каустики (ласточкин хвост). Однако это разбиение каустики на кривые – не то разбиение поверхности ласточкиного хвоста на плоские кривые, с которым мы встречались выше (на рис. 35). Ребро возврата движущегося фронта не имеет самопересечений. Через точку линии самопересечения каустики ребро возврата движущегося фронта проходит два раза. Интервал времени между этими прохождениями очень мал (порядка $\varepsilon^{5 / 2}$, где $\varepsilon$ – расстояние от вершины хвоста).

Точно так же при перестройках 3 и 4 (см. рис. 36) ребра возврата движущихся фронтов заметают пирамиду и кошелек,

Если исходный фронт движется (зависит от параметра), то его каустика также движется и при своем движении способна испытывать метаморфозы. Метаморфозы движуцихся каустик на плоскости можно изучить, рассматривая сечения большой каустики в пространстве-времени, подобно тому, как мы это делали для фронтов. Полученные
Рис. 40. Типичные перестройки каустик на плоскости

метаморфозы изображены на рис. 40. (Это метаморфозы плоских сечений ласточкиного хвоста, копелька и пирампды.) Все более сложные метгюофозы рассыпаются на
Рис. 41. Перестройка «гу-
бы»: рондение видимого ковтура
Рис. 42. Перестройка пло-
ского сечения поверхности
с ребром возврата

последовательности перечисленных при малом шевелении однопарамәтрического семейства.

Обратим внимание па метаморфозу 1 рожденй каустики «из воздуха», Новорожденная каустика имеет вид серпика с полукубическими остриями из концах («еубын, по терминологии $\mathrm{P}$. Тома), Аналогичным образом рождается «ия воздуха» вицимый контур поверхнсети при изменении направления проетирования (рис, 41). Глядя на
бугор сверху, мы не видим контра. Когда луч зрения наклоняется, появляется вначаля точечная особенность, которая затем быстро растет (проорционально $\sqrt{t-t_{\theta}}$, где $t_{0}$ – момент появления особенности) и имеет вид «губ». Описанную здесь перестройку мокно реализовать как перестройку плоского сечения поверхности с ребром возврата при поступательном движении плоскости (в момент перестройки плоскость касается ребра возврата (рис. 42)).
Рис. 43. Перестройка «верблюд»
Метаморфозу 3 также можно увидеть на видимом контуре, для этого достаточно посмотреть на двугорбого верблюда, проходя мимо него (рис. 43). В момент метаморфозы профиль имеет такую же особенность, как кривая $y^{3}=x^{4}$.

Все перестройки видимых контуров поверхностей в общих однопараметрических семействах исчерпываются первыми тремя ивображенными на рис. 40, $1-3$.

Метаморфозы каустик, движуцихся в трехмерном пространстве, получаются сечениями больших (трехмерных) каустик в четырехмерном пространстве-времени трехмерными изохронами. Эти метаморфозы изображены на рис. 44 и 45 .

Одна из этих метаморфоз (1) описывает рождение новой каустики «из воздуха». Мы видим, что вновь родивпаяся каустика имеет вид блюдца с заостренными краями. Через время $t$ после рождения длина п ширина блюдца порядка $\sqrt{t}$, глубина порядка $t$, а толщина порядка $t \sqrt{t}$.

Каустика может сделаться видимой, если на пути светового пучка имеется рассеиваюдая среда (шыль, туман). В. М. Закалюкин предположил, что каустики әтого вида наблюдатели описывают как летающие блюдца.

Ребра возврата движущихся в трехмерном пространстве каустик заметают поверхность бикаустики. Особенности бикаустик общего положения, соответствующих различным метаморфозам рис. 44 и 45, изображены на рис. 46.

Как известио, лучи описывают распространение волн (скажем, световых) лишь в первом приближении; при более точном волновом описании появляется новый

Рис. 44. Титичнне перестройки каустик в трехмерном пространстве: серия $A$

Рис. 45. Тишиные перестройки каустик в трехмерном пространстве: серия $D$

существенный параметр – длина волны (лучевое описание пригодно лишь в случае, когда эта длина мала по сравнению с характерным геометрическим размером системы). Интенсивность света вблизи каустики больше, а вблизи ее особенностей еще больше. Коэффициент усиления оказывается иропорциональным $l-\alpha$, где $l$ – длина волны, а показатель $\alpha$ – рациональное число, зависящее от
Рис. 46. Типичные особенности бикаустик

характера особенности. Для простейших особенностей вначения $\alpha$ таковы:

Таким образом, ярче всего светятся точечные особенности типа пирамиды и кошелька. В случае движущейся каустики в отдельные моменты времени могут возникать более яркие особенности *) $A_{5}, D_{5}$ (см, рис, 44, 45, $\alpha=$ $=1 / 3$ для $A_{5}, 3 / 8$ для $D_{5}$ ).

Если свет настолько интенсивен, что способен разрушать среду, то разрушение начнется в точках наибольшей яркости, поэтому показатель $\alpha$ определяет вависимость интенсивности разрушающего среду света от частоты.

Аналогичная ошисанной выше классификация особенностей каустик и волновых фронтов проведена в многомерных пространствах до размерности 10 (В, М. Закалюкин).
*) Все перечисленные особенности классифицируются по типам $A_{k}, D_{k}$, о которых подробнее рассказано на с. $89-90$.

Предсказания теорией особенностей геометрии каустик, фронтов и их перестроек получили полное подтверндение в экспериментах, и сейчас даже кажется странным, почему эта теория не была построена лет двести назад. Дело, однако, в том, что соответствующий мателатическй апнарат не тривиален *) и связан с такнми разделами математики, как классификации простых алебр ЈІи и кристаллографических груш Кокстера, с теорией кос, теорией ветвления интегралов, зависящих от параметров, и т. д.он даже связан (довольно таинственным образом) с классификацией правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве.

Катастрофисты пытаются избежать серьезной математики. Например, в составленной К. Зиманом в 1980 г. общирной библиографии по теории катастроф опущены ссылки на математические работы, вышедшие после 1976 г, Таким образом, катастрофисты продолжают попытки экспериментально нащупать ответы в задачах, давно решенних математиками. Например, в работе 1980 г. о ветровых полях и движении льда можно найти полуудачғые попытки угадать список метаморфоз каустик в трехмерном пространстве (см. рис. 44, 45), опубликованный математиками еще в 1976 г.