Многие вопросы теории особенностей (например, классификация особенностей каустик и волновых фронтов, а также исследование всевозможных особенностей в задачах оптимизации и вариационного исчисления) становятся понятными только в рамках геометрии симплектических и контактных многообразий, освежающе нешохожей на обычные геометри Евклида, Лобачевского и Римана,

Начнем с трех шримеров особенностей специального егда.
1. Градиентво отображевие. Рассмотрим в евкидовом ироетавстве гладкую функцию. Градиентиыл отображение назынается отображение, сопоставляющее тоике знауение традиента функции в ней. Градиентнье отображения – весьма специальный класс отображений пространсть одинаковой размерности.

Особенности градиентных отобраяений общего положения отлични от общих особенғостей отображений пространств одинаковых размерностей: их «меньше» потому, что не всякое отображение можно реализовать как грапиентное, но «больпе» потому, что явление, не типичное для общих отображений, может быть типичным для градиентных.
2. Нормальное отображение. Рассмотрим множество всех векторов нормалей к поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Сонсставим каждому вектору его конец (вентору $p$, приложенному в точке $q$, сопоставляем точку $p+q$ ). Мы получаем отображение трехмерного многообразия векторов нормалей в трехмерное пространство ( $n$-мерного в $n$-мерное, если начать с нодмногообразия любой размерности в $n$-мерном евклидовом пространстве).

Это отображение называется нормальным отображением исходного многообразия. Особенности нормальных отображений подмногообразий общего положения составляют специальный класс особенностей отображений пространств одинаковой размерности. Критические значения нормального отображения образуют каустику (гометрическое место дентров кривизны) исходного подмиогообразия: см. рис. 33 , где исходное многообразие эллипс.
3. Гауссово отображение. Рассмотрим двусторонню поверхность в трехмерном евклидовом гюостранстве. Перенесем единичньте векторы положительиых нормалей из каждой точки поверхности в начало координат. Концы әтих векторов лежат на единичной сфере, Полученное отображение поверхности на сферу называе ся гауссовым отображением.

Гауссовы отобрежения составляют еще один спецџальный класс отображений многообразий одинаковой размерности ( $n-1$, если начинать с гиперповерхности is $n$-мерном простракстве).

И вот оказывается, что типичные особенности отображений всех этих трех классов (градиентных, нормальных и гауссовых) одинаковы: все три теории – чаетные случаи общей теории лагранжевых особенностей в симплек. тической геометрии.

Симплектическая геометрия – это геометрия фазового пространства (пространства координат и импульсов классической механики). Она явилась итогом длительного развития механики, вариационного исчисления в т. д.

В прошлом веке эту область геометрии называли аналитической динамикой, и Јагранж гордился, что изгнал из нее чертежи. Чтобы проникнуть в симплектическую геометрию, минуя длинный исторический путь, прощө всего воснользоваться аксиоматическим методом, имеющим, как заметил Б. Рассел, много преимуществ, подобных преимуществам воровства перед честным трудом.

Сущносгь этого метода состоит в том, чтобы превращать теоремы в определения. Содержательная часть теоремы становится тогда мотивировкой определения, и алгебраисты ради повыпения авторитета своей науки ее обычно опускают (понять немотивированное определениө невозможно, но многие ли из пассажиров самолета знают, кан и почему он пзготовлен?).

Теорема Пифагора, бывшая в свое время выспим достижением математической культуры, низведена в современном аксиоматическом изложении евклидовой геомет рии до малозаметного определения: евклидовой структурой в линейном пространстве называется линейная по каждо му аргументу симметрическая функция пары векторов (скалярное произведение), для которой скалярный квадрат любого ненулевого вектора положителен.

Определение симплектицеской структуры в линейном пространстве аналогично: это линейная по каждому ар гументу кососимметрическая функция пары векторов (ко соскалярное произведение), которая невырождена (любо ненулевой вектор не всем векторам косоортогонален, т. его кососкалярное произведение с некоторыми векторами ненулевое).

П рим ер. Назовем кососкалярным произведениєдвух векторов на ориентированной плоскости ориент рованную площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы (т.е. определитель матрицы, составленной и компонент векторов). Это произведение – симплекти ческая структура на плоскости.

В трехмерном пространстве (и вообще в нечетномерном пространстве) симшлектических структур нет. Симплектипескую структуру в четырехмерном (и вообде в четномерном) пространстве легко построить, представив пространство в виде суммы двухмерных плоскостей: кососкалярюе произведение распадается в сумму площадей проекций на эти плоскости.

Все симшлектические пространства фиксированной размерности изоморфны (как и все евклидовы). Мы будем называть кососкалярное произведение двух векторов «шлощадью» натянутого на них параллелограмма.

Каждое линейное пространство в евклидовом пространстве имеет ортогональное дополнение, его размерность равпа коразмерности исходного подпространства.

В симплектическом пространстве определено косоортогональное дополнение к линейному подпространству: оно состоит из всех векторов, кососкалярные шроизведения юоторых со всеми векторами подпространства равны нулю. ऍазмерность косоортогонального дополнения также равић коразмерности исходного подпространства. Например, госоортогональное дополнение к прямой на плоскости сама эта шрямая.

Линейное подпространство, являющееся своим собственным косоортогональным дополнописм, пазывается лаеранжевым подпространством. Его размерность равна поюовине размерности исходного симплектического пространства.

Риманова структура на многообразии задается выбором евклидовой структуры в пространстве, касательном к многообразию в любой точке.

Точно так же симплектическал структура на многообразии задается выбором симплектической структуры в каждом его касательном пространстве; однако в отличиө от риманова случая эти структуры не произвольны, а связаны между собой, как это объяснено ниже.

Риманова структура на многообразии повволяет измерять длины кривых на нем, суммируя длины малых векторов, составляющих кривую. Точно так же симплектическая структура позволяет измерять «площади» ориентированных двухмерных поверхностей, лежащих в симплектпческом многообразии (суммируя «площади» составляющих поверхность малых параллелограммов). Дополнительное условие, связывающее симплектические структуры в разных касательных пространствах, таково: «площадь» всей границы любой трехмерной фигуры равна 0 .

В линейном симплектическом пространстве можго ввести структуру симплектического многообразия, определив кососкалярное произведение приложенных в любї точке векторов как кососкалярное пропзведение векторов, получевных из них параллельным переносом в вачало. Легко проверить,что условиєсогласования здесь выполнеио.

Существует много неизоморфаты цруг другу римаповых структур в окрестности точки плоскости или пространства большего числа измерений (для различения их Риман и ввел свою кривизну).

В отличие от римановых многообразий все симплектичческие многообразия фиксчрованной разлерности в окрестности каждой своей точки изоморфны (отображаются друг на друга с сохранеиием «площадей»). Таким образом, локально каждое симплектическое многообразие изоморфно стандартному симплектическому линейному пространству. В таком пространстве монно ввести координаты $\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ так, что кососкалярное произведение равно сумме ориентировашных площадей проекций на плоскости $\left(p_{1}, q_{1}\right), \ldots,\left(p_{n}, q_{n}\right)$.

Подмногообразие симплектического пространства навывается лагранжевым многообразием, если его касательная плоскость в каждой точке лагранжева.

Расслоение симплектического пространства на подмногообразия называется лаеранжеєым расслоением, если слои лагранжевы.

Всякое лагранжево расслоение локально изоморфно стандартному расслоению фазового пространства над конфигурационным, $(p, q) \mapsto q$ (слои – пространства импульсов, $q=$ const). Конфигурационное $q$-пространство называется базой этого расслоения.

Предположим теперь, что в пространстве лагранжева расслоения дано епе одно лагранжево многообразие. Тогда возникает гладкое отображение этого лагранжева многообразия на базу лагранжева расслоения (т. е. на конфигурационное пространство с координатами $q_{i}$ ): каждой точке $(p, q)$ лагранжева многообразия сопоставляется точка $q$ конфигурационного пространства.

Полученное отображение многообразий одинаковой размерности $n$ называется лагранжевым отображением а его особенности – лагранжевыми особенностями.

Это – специальный класс особенностей гладких отображений многообразий одинаковой размерности. Для этого класса построена классификационная теория, аналогичная общей теории особенностей.

При $n=2$ лагранжевы особенности общего положения исчерпываются складками и сборками, как и общиө особенности (впрочем, лагранжева сборка имеет два лагранжево неэквивалентных ${ }^{*}$ ) варианта).

Особенности лагранжевых отображений трехмерных лагранжевых многообразий общего пөложения уже не все встречаются среди обычных особенностей общего положения.

Теперь мы покажем, что градиентные, норлальнь:е и гауссовы особенности лагранжевы.
1. Пусть $F$ – гладкая функция от $p$. Тогда многообразие $q=\partial F / \partial p$ лагранжево. Поэтому особенности градиентного отображения лагражжевы.
2. Рассмотрим гладкое подмногообразие в евклидовом пространстве. Рассмотрим множество всех периендикулярных ему векторов (во всех его точках $q$ ). Многоббразие, образованное векторами $p$, приложенными в точах $p+q$, лагранжево. Нормальное отображение можпо анссматривать каж лагранжево отображение этого многосбразия на базу, $(p, p+q) \mapsto(p+q)$.
3. Рассмотрим многообразие всех ориентироватых прямых в евклидовом пространстве. Это многосбізие снмплектическое, так как его можно рассматривать как фазовое пространство движения точки по сфере (направление прямой определяет точку на сфере, а точка гересепения прямой с перпендикулярной ей касательной глоскостью сферы – величину импульса).

Рассмотрим многообразие ориентированных нормалей к поверхности в нашем пространстве. Зто подмногобразие в симплектическом многообразии прямых лаграбжево. Гауссово отображение можно рассматривать как ларрапжево отображение (отображение проектирования построенного подмногообразия на сферу, являющуюея базой иагранжева расслоения фазового пространства).

Таким образом, теории градиенгных, нормальџв и гауссовых особенностей сводясся к теории лагранъевых особенностей.

Встретившаяся нам в конце симплектическая структра многообразия ориентированных прямых – не столь искусственное образование, как это кажется на первый
*) Лагранжева эквивалентность двух лагранжевых особснностей – это отображение первого лагранжева расслоения на второе, переводящее первую симплектическую структуру во вторую и шервое лагранжево подмногообразие во второе.

взгляд. Дело в том, что множество решений любой ваүшационной задачи (или вообще множество решений уравнений Гамильтона с фиксированным значением функции Гамильтона) образует симплектическое многообразие, очень полезное для исследования свойств решений.

Рассмотрим, например, двухпараметрическое семейство лучей, срывающихся с геодезических на поверхности препятствия в трехмерном пространстве, как это указано на рис. 72. Это семейство оказывается двухмерным лагранжевым подмногообразием четырехмерного пространства всех лучей. Но в отличие от ранее встречавшихся нам лагранжевых подмногообразий это лагранжево многообразие само имеет особенности. Особенности эти проявляются там, где срывающийся луч – асимптотический для поверхности прецятствия. Такие лучи образуют ребро возврата (типа $x^{2}=y^{3}$ ) лагранжева многообразия срывающихся лучей.

На этом ребре возврата есть еще особые точки, в окрестности которых многообразие срывающихся лучей устроено как раскрытый ласточкин хвост (поверхность в четырехмерном пространстве многочленов $x^{5}+a x^{3}+b x^{2}+$ $+c x+d$, образованная многочленами с трехкратными корнями).

Эта поверхность встречается также в других задачах теории особенностей (например, при исследовании заметания каустики ребрами возврата движущихся волновых фронтов) и является, видимо, одним из основных примеров будущей теории лагранжевых многообразий с особенностями.

В евклидовой и в римановой геометрии имеется обширная теория внешней кривизны: кроме внутренних свойств подмногообразия, определяемых его метрикой, имеются еще различия в расположении подмногообразий с одинаковыми внутренними геометриями в объемлющем цространстве,

В симшлектической геометрии, как недавно доказал А. Б, Гивенталь, дело обстоит проще: внутренняя геометрия (сужение симплектической структуры на множество касательных векторов к подмногообразию) определяет внешнюю. Иными словами, подмногообразия с одинаковой внутренней геометрией локально переводятся друг в друга сохраняющим симплектическую структуру диффеоморбизмом объемлющего пространства.

Здесь открывается новая глава теории особенностей исследование особенностей расположения подмногообразий в симплектическом пространстве, на важность которого обратил внимание Р. Мельроз в недавних работах по дифракции. Начало классификадии таких особенностей получается, по теореме Гивенталя, из результатов Ж. Мартине и его последователей о вырождениях симплектической структуры. Например, двухмерное подмногообразие общего положения в четырехмерном симплектическом пространстве локально приводится сохраняющим симплектическую струкгуру преобразованием к одной из двух нормальных форм:
\[
p_{2}=q_{2}=0 \text { или } q_{1}=0, p_{2}=p_{1}^{2} .
\]

На нечетномерных многообравиях не бывает симплектических структур, но зато бывают контактные. Контактная геометрия играет для оптики и теории распространения волн такую же роль, как симплектическая для механики.

Контактная струкгура на нечетномерном многообравии определяется выбором в касательном пространстве в каждой точке гиперплоскости (подпространства коразмерности один). Два поля гиперплоскостей на многообразпи фиксированной размерности локально эквивалентны (переводятся друг в друга диффеоморфизмом), если только оба они общего положения вблизи изучаемых точек.

Контактной структурой называется поле гиперплоскостей, $_{2}$ являющееся полем общего положения вблизи каждой точки нечетномерного многообразия.

Контактным является иногообразие всех линейных элементов на плоскости. Оно трехмерно. Контактная структура задается так: скорость движения әлемента принадлежит (гипер)плоскости поля, если скорость движения точки приложения принадлежит әлементу. Точно так же определяется контактная структура в $2 n-1$ мерном многообразии элементов гиперплоскостей на любом $n$-мерном многообразии.

Роль лагранжевых многообразий в контактном случае переходит к лежандровым (интегральным подмногообразиям поля гиперплоскостей наибольшей возможной размерности, т.е. размерности $m$ в контактном многообразии размерности $2 m+1$ ).

Особенности волновых фронтов, преобразований Лежандра, а также гиперповерхностей, двойственных к гладким, – это лежандровы особенности. Вся симплектическая теория (включая, вапример, теорему Гивенталя) имеет контактные аналоги, чрезвычайно полезпые для исследования особенностей в вариационных вадачах.

Распростравение волн в сплопных средах описывается световой гиперповерхностью в контактном пространстве (называемой также \”дисперсионным соотношением\” или «многообразием нулей главного символа» в просгранстве контактных элементов пространства-времени).

Для волн, описываемых вариационными цринципами с гиперболическими уравнениями Эйлера – Јагранжа, указанная гиперповерхность, вообще говоря, имеет особенности.

Многообразие особенностей световой гиперповерхности типичной варнационной системы имеет коразмерность 3 в контактном пространстве. На трансверсальном к многообравию особенностей трехмерном пространстве световая гиперповерхность оставляет след, диффеоморфный квадратичному конусу $u^{2}+v^{2}=w^{2}$.

Особенности световых лучей и волновых фронтов определяются расположением световой гиперповерхность по отношению к контактной структуре (лучи – это проекции ее характеристик, а фронты – ее лежандровых многообравий). Анализ типичных расположений обнаруживает своеобразное явление внутреннего рассеяния волн на неоднородностях среды.

Обычно волны разных типов (скажем, продольные и поперечные) распространяются внутри среды независимо и лишь на границе могут порождать друг друга. Здесь же трансформация волн осуществляется во внутренних точках среды. Например, при распространении волн в одномерной нестационарной, неоднородной среде рассеяние в отдельные моменты времени испытывают отдельные лучи. Соответствующие характеристики в пространстве-времени касаются в одной точке (рис. 74).

Рис. 74. Трансформация
Кривые 13 и 24 на этом рисунке – гладкие, с касанием первого порядка. Касающиеся характеристикп это 14 и 23 . На типичном волновом фронте, движущемся в трехмерном пространстве, трансформация волн происходит в отдельных изолированных точках.

За последние годы симплектическая и контактная геометрии появляются во всех отделах математики; как у каждого жаворонка должен появиться хохолок, так всякая область математики в конце концов симплектизируется. В математике есть ряд операций разных уровней: функции действуют на числа, операторы – на функции, функторы – на операторы и т. д. Симплектизация относится к небольпому числу операций самого высшего уровкя, действующих не на какие-нибудь мелочи (функции, категории, функторы), а на всю математику сразу. Хоти пзвестно уже несколько таких операций высшего уровня (например, алгебраизация, бурбакизация, комплекспфикация, суперизация, симплектизация), для них нет кканой аксноматической теории.