В отличие от описанного выще примера, прпменения теории особенностей к исследованию бифуркаций положений равновесия в теории упругости безупречно обоснованы.

Во многих упругих конструкциях при одинаковых внешних нагрузках возможно. несколько положений равновесия. Рассмотрим, например, горизонтальпую линейку, концы которой шарнирно закреплены, шагруженную весом стоящего на середине линейки груза.

Наряду с положением равновесия, при котором линейка прогнута грузом, воаможно также положение, при котором линейка выгнута дугой вверх, наподобие моста,

При увеличении груза в некоторый момент происходит «катастрофа» или «хлопок»: линейка скачком переходит из одного состояния в другое. Теория осюбениостей применима $\kappa$ изучению таких хлопков, и ее предсказания прекрасно оправдываются в экспериментах.

Для наглядной иллюстрации применений этого рода изобретен ряд приспособлений: одно из простейших, называемое машиной катастроф Зимана, изображено на puc. 7.
*) «Я так думи, голуб̈унка, что декадептство это самое не чго иное, как просто в купечеству подход».- В. М. Доропевич. Рассказы и очерки (М., 1966. С. 295).

Машину катастроф каждый может легко изготовить сам. Для этого нужно взять доску ( $A$ ) (см. рис. 7) и, вырезав из картона диск ( $B$ ), прикрепить его иглой в центре $(C)$ к доске так, чтобы он мог свободно вращаться. Другая игла ( $D$ ) втыкается только в диск на его краю, а третья $(E)$ – только в доску. Чтобы вакончить сборку машины,
Рис. 7. Мащина катастроф Зимана

дужно еще две ленты из легко растяжимой резины $(F, G)$; карандаш $(H)$ и лист бумаги $(I)$.

После того как игла на краю диска соединена с нецодвижной иглой и с карандашом резинками, мы ставим острие карандаша в некоторой точке на листе бумаги и тем натягиваем резинки. Диск устанавливается в векотором положении. Теперь при движении острия карандаша диск будет поворачиваться. Оказывается, при некоторых положениях острия карандаша малое ивменение его ноложения способно выввать \”катастрофу», т. ө. скачок диска в новое положение. Если отметить на листе бумаги места всех таких \”катастроф», то получается «кривая катастроф» $(K)$.

Оказывается, что полученная кривая катастроф сама имеет четыре точки вовврата. При пересечении кривой катастроф скачок может происходить, а может и не происходить, в зависимости от того, по какому пути острие карандаша обходило точки возврата кривой катастроф.

Эксперимевтируя с этой машиной и пытаясь найти правило, определяющее, будет ли скачок, читатель легко убедится в необходимости математической теории явления и сможет лучше оценить вклад теории особенностей в его объяснение.

Состояние машины катастроф описывается тремя числами, Действительно, положение острия карандаша задается двумя координатами (они называются управляющими параметрами). Положение диска определяется ещө одним числом (углом поворота), называемым также внутренним параметром системы. Если все три тисла заданы, то определены стешени растяжения резинок и, следовательно, определена потенциальная энергия всей системы. Диск поворачивается так, чтобы әту энергию минимизировать (по меньшей мере локально). При фиксированном положении карандаша потенциальная энергия – функция
Рис. 8. Потендиальная энергия машины катастроф
Рис. 9. Поверхность равновесий машины катастроф

от положения диска, т. е. функция, ваданная на окружности. Эта функция может иметь в зависимости от значений управляющих параметров один или несколько минимумов (рис. $8, a$ ). Если при изменении управляющих параметров положение минимума меняется плавно, то скачка не происходит. Скачок происходит при тех значениях управляющих параметров, для которых локальный минимум исчезает, слившись с локальным максимумом (рис. 8, б); после скачка диск оказывается в положении, отвечающем другому локальному минимуму (рис. 8, в).

Рассмотрим трехмерное пространство состояний машины. Состояния, при которых диск находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую поверхность. Будем проектировать эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внутреннего параметра (рис. 9). Это проектирование имеет складки и сборки. Проекция точек складок и есть кривая катастроф. На рис. 9 ясно видно, почему переход управляющих параметров через линию катастроф иногда вызывает, а иногда не вызывает скачок (әто зависит от того, какой части нашей поверхности отвечает положение диска).

Пользуясь әтим рисунком, монно переходить с одного места поверхности равнонесий на друтое без скачков.

Схема большишства применений теории катастроф такая же, как в описанных примерах. Iредполагается, что изучаемый процесс оннсывается ири помощи некоторого числа уиравляющих и внугренних параметров. Состояния равиовесия процесса образуют поверхность того или иного сисла измерений в этом пространстве. Проекция поверхности равнољесий на плоскость управляющих параметров может иметь особенности. Преднолагается, что это – особенности общего положения. В таком случае теория особенностей предсказывает геометрию «катастроф\”, т. е. перескоков из одного состояния равновесия в другое при пзменении управляющих параметров. В больтипстве серьезных приложений особенность – это сбира Уитни, а результат был изьестен до пророзглашепии теории катастроф.

Приложения описанного типа бывают более или менее обюснованными в зависимости от степени обоснованности псходіых посылок. Например, в теории хлошков упрупих конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания теории полностью подтверждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или $к$ пзучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее әвристическое значение.