Рассмотрим положение равновесия систөмы, вависящей от нескольких параметров, и предположим, что (в некоторой области изменения параметров) это положение равновесия не бифурцирует.

Будем ивображать систему, соответствующую какомулибо вначению параметров вочкой $_{4}$ на оси значений параметра (на шлоскости, если параметров два, в пространстве улраметров, если их три, и т. д.).
A
Изучаемая область в пространстве параметров разобьется тогда на две части в соответствии с тем, устойчиво пли нет положение равновесия. Мы получаем таким обравем на плоскости (в пространстве) параметров область $у с$ пойцивости (составленную значениями параметров, при которых равновесие устойтиво), область неустойчивости п разделяющую их границу устойчивости.

В соответствии с общей стратегией Пуанкаре (см. п. 5) мы ограничимся семействами систем, зависящих от параютров общим образом. Оказывается, граница устойчивости может иметь особенности, которые не исчезают при малом шевелении семейства.

На рис. 30 изображены все особенности границы устойчивости положений равновесия в общих двупараметрических семействах эволюционных систем (с фазовым

Рпс. 30. Типичная особенность граншцы двумерной области устойчивости
Рис. 31. Типичные особенности границ трехмерных областей устойтивости

пространством любой размерности), на рис. 31 – в трехпараметрических. Формулы на рисунках описывают область устойчивости (при подходящем выборе координат на плоскости или в пространстве параметров, вообщө говоря, криволинейных).

Заметим, что область устойчивости во всех случалх располагаетсл «углами наружу», вклиниваясь «зияющими вершинами» в область неустойчивости. Таким образом, дія системы, принадлежащей особой части границы устойчивости, при малом изменении нараметров более вероятно попадание в область неустойчивости, чем в область устойчивости. Это проявление сбщего принципа, согласно которому все хорошее (например, устойчивость) более хрупко, чем плохое.

По-видимому, все хоропие объекты удовлетворяют нескольким требованиям одновременно, плохим же считается объелт, обладающий хотя бы одним из ряда недостатков.

В случае четырех параметров к перечисленным выше особенностям границы добавляются еще две.

При увеличении числа параметров число типов особенпостей границы устойчивости семейства общето положения быстро растет, однако, как доказал JI. В. Левантовский, оно остается конечным (с точностью до гладких замен параметров) при любом конечном числе параметров, сохраняется и принцип хрупкости.