§3. Матрицы

Таблица чисел  (действительных или комплексных) вида

,                                    (1)

состоящая из  строк и  столбцов, называется матрицей. Числа  называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. При  она называется квадратной матрицей -го порядка.

Если задана вторая матрица с элементами , тоже состоящая из  строк и  столбцов, то она считается равной матрице  тогда и только тогда, когда соответствующие элементы обеих матриц равны . В этом случае пишут . Матриа  не есть число - это таблица. Однако для квадратной матрицы можно рассматривать число  - определитель, порожденный этой матрицей.

Пусть  - натуральное число, не превышающее  и  . Зачеркнем в таблице (1) какие-либо  столбцов и  строк. Элементы , находящиеся на пересечении зачеркнутых столбцов и строк, образуют квадратную матрицу, которая порождает определитель -го порядка. Полученный определитель называется определителем -го порядка порожденным матрицей .

Рангом матрицы  называется наибольшее натуральное число , для которого существует не равный нулю определитель -го порядка, порождаемый матрицей  (см. § 4).

Если в матрице  сделать ее строки столбцами с тем же самым номером, то получим матрицу

,                                           (2)

называемую транспонированной к  матрицей.

Если в матрице  ее элементы  заменить на их комплексно сопряженные, то получим матрицу

,

называемую комплексно сопряженной с  матрицей.

Далее матрица

называется сопряженной с  матрицей.

Если  - действительная матрица, т. е. имеющая действительные элементы , то, очевидно,

,                        .

Матрицы одного и того же размера, т. е. состоящие из одинакового числа строк и столбцов, можно складывать. Суммой двух таких матриц  и  называется матрица , элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц  и : . Символически этот факт будем записывать так:

.

Легко видеть, что

.

Произведением числа  на матрицу  (или произведением матрицы  на число ) будем называть матрицу, элементы которой равны произведению числа , на соответствующие элементы матрицы . Таким образом, .

Пример. Пусть

,         .

Найти матрицу .

На основании определения суммы матриц и умножения матрицы на число имеем

,                        

.