§ 29. Уравнение непрерывности

Изменение со временем заряда, находящегося в некотором объеме, дается производной

С другой стороны, изменение за единицу времени определяется количеством заряда, выходящего за это время из данного объема наружу, или, наборот, входящего внутрь его. Количество заряда, проходящего за единицу времени через элемент поверхности, ограничивающей наш объем, равно , где v есть скорость заряда в той точке пространства, где находится элемент Вектор направлен, как это всегда принймается, по внешней нормали к поверхности, т. е. по нормали, направленной наружу от рассматриваемого объема. Поэтому положительно, если заряд выходит из нашего объема, и отрицательно, если заряд входит в него. Полное количество заряда, выходящего в единицу времени из данного объема, есть, следовательно, где интеграл распространен по всей замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем.

Из сравнения обоих полученных выражений находим:

Справа поставлен знак минус, так как левая часть положительна, если полный заряд в данном объеме увеличивается. Уравнение (29,1), выражающее собой закон сохранения заряда, есть так называемое уравнение непрерывности, написанное в интегральном виде. Замечая, что есть плотность тока, можно переписать (29,1) в виде

Напишем это же уравнение в дифференциальном виде. Применив к правой части (29,2) теорему Гаусса

находим:

Поскольку это равенство должно иметь место при интегрировании по любому объему, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю:

Это и есть уравнение непрерывности в дифференциальном виде.

Легко убедиться в том, что выражение (28,1) для в виде -функций автоматически удовлетворяет уравнению (29,3). Для простоты предположим, что имеется всего лишь один заряд, так что

Тогда ток

где v — скорость заряда. Найдем производную При движении заряда меняются его координаты, т. е. меняется Поэтому

Но есть не что иное, как скорость v заряда. Далее, поскольку есть функция от

Следовательно,

(скорость v заряда не зависит, конечно, от ). Таким образом, мы приходим к уравнению (29,3).

В четырехмерной форме уравнение непрерывности (29,3)] выражается равенством нулю 4-дивергенции 4-вектора тока:

В предыдущем параграфе мы видели, что полный заряд, находящийся во всем пространстве, может быть написан в виде

где интегрирование производится по гиперплоскости . В другой момент времени полный заряд изобразится таким же интегралом, взятым по другой гиперплоскости, перпендикулярной к оси Легко проверить, что уравнение (29,4) действительно приводит к закону сохранения заряда, т. е. к тому, что интеграл одинаков, по какой бы гиперплоскости мы ни интегрировали.

Разность между интегралами взятыми по двум таким гиперплоскостям, можно написать в виде , где интеграл берется по всей замкнутой гиперповерхности, охватывающей 4-объем между двумя рассматриваемыми гиперплоскостями (этот интеграл отличается от искомой разности интегралом по бесконечно удаленной «боковой» гиперповерхности, который, однако, исчезает, так как на бесконечности нет зарядов). С помощью теоремы Гаусса (6,15) можно, преобразовав этот интеграл в интеграл по 4-объему между двумя гиперплоскостями, убедиться, что

что и требовалось доказать.

Приведенное доказательство остается, очебидно, в силе и для двух интегралов в которых интегрирование производится по любым двум бесконечным гиперповерхностям (а не только по гиперплоскостям ), включающим в себя все (трехмерное) пространство. Отсюда видно, что интеграл действительно имеет одно и то же значение (равное полному заряду в пространстве), по какой бы такой гиперповерхности ни производилось интегрирование.

Мы уже упоминали (см. примечание на стр. 76) о тесной связи между калибровочной инвариантностью уравнений электродинамики и законом сохранения заряда. Продемонстрируем ее еще раз на выражении действия в виде (28,6). При замене на ко второму члену в (28,6) добавится интеграл

Именно сохранение заряда, выражаемое уравнением непрерывности (29,4), позволяет написать подынтегральное выражение в виде 4-дивергенции после чего согласно теореме Гаусса интеграл по 4-объему преобразуется в интеграл по граничным гиперповерхностям; при варьировании действия эти интегралы выпадают и, таким образом, не отражаются на уравнениях движения.

§ 30. Вторая пара уравнений Максвелла

При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего действия мы должны считать заданным движение зарядов и должны варьировать только потенциалы поля (играющие здесь роль «координат» системы); при нахождении уравнений движения мы, наоборот, считали поле заданным и варьировали траекторию частицы.

Поэтому вариация первого члена в (28,6) равна теперь нулю, а во втором не должен варьироваться ток Таким образом,

(при варьировании во втором члене учтено, что ). Подставляя

имеем:

Во втором члене меняем местами индексы , по которым производится суммирование, и, кроме того, заменяем на Тогда мы получим:

Второй из этих интегралов берем по частям, т. е. применяем теорему Гаусса:

Во втором члене мы должны взять его значение на пределах интегрирования. Пределами интегрирования по координатам является бесконечность, где поле исчезает. На пределах же интегрирования по времени, т. е. в заданные начальный и конечный моменты времени, вариация потенциалов равна нулю, так как по смыслу принципа наименьшего действия потенциалы в эти моменты заданы. Таким образом, второй член в (30,1) равен нулю, и мы находим:

Ввиду того, что по смыслу принципа наименьшего действия вариации произвольны, нулю должен равняться коэффициент при т. е.

Перепишем эти четыре уравнения в трехмерной форме. При имеем:

Подставляя значения составляющих тензора находим:

Вместе с двумя следующими (t = 2, 3) уравнениями они могут быть записаны как одно векторное:

Наконец, уравнение с дает:

Уравнения (30,3) и (30,4) и составляют искомую вторую пару Максвелла. Вместе с первой парой, они вполне определяют электромагнитное поле и являются основными уравнениями теории этих полей — электродинамики.

Напишем эти уравнения в интегральной форме. Интегрируя (30,4) по некоторому объему и применяя теорему Гаусса

находим:

Таким образом, поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью, умноженному на .

Интегрируя (30,3) по некоторой незамкнутой поверхности и применяя теорему Стокса

находим:

Величину

называют током смещения. Из (30,6), написанного в виде

видно, что циркуляция магнитного поля по некоторому контуру равна помноженной на сумме токов истинного и смещения, протекающих сквозь поверхность, ограничиваемую этим контуром.

Из уравнений Максвелла можно получить известное уже нам уравнение непрерывности (29,3). Беря с обеих сторон (30,3) дивергенцию, находим:

Но согласно (30,4). Таким образом, мы приходим снова к уравнению (29,3). В четырехмерном виде из (30,2) имеем:

Но симметричный по индексам i, k оператор - , примененный к антисимметричному тензору обращает его тождественно в нуль, и мы приходим к уравнению непрерывности, написанному в четырехмерном виде (29,4).