Обмен и захват в задаче трех тел

В. М. Алексеев

1. Пусть — система трех гравитирующих тел; — масса тела — его радиус-вектор; — скорость; .

В системе имеет место захват, если при все , а при .

В системе имеет место обмен, если при , а при .

В заметке строятся примеры обмена и захвата в случае Для простоты считается . Результаты верны при Доказывается, что в фазовом пространстве множества начальных данных, приводящих к захвату или обмену (как при положительной, так и при отрицательной константе энергии), имеют положительную меру. Тем самым окончательно опровергается утверждение Шази [4] о невозможности захвата и обмена. Методы, применяемые в заметке, не используют численного интегрирования, как это делал Беккер [1] для обмена и О.Ю. Шмидт [5], [3] для захвата. Использование малости то позволяет обойтись без больших скоростей, что было существенно в работе К. А. Ситникова [2]. В частности, именно это открывает возможность построения обмена при отрицательной константе энергии.

2. В дальнейшем движение рассматривается в 18-мерном фазовом пространство Ф. Точка х этого пространства — совокупность радиусов-векторов и скоростей

Обозначим точку в Ф, в которую перейдет точка х через время t в системе, где масса малых тел равна . При переходит в идеальное движение, в котором обращаются около

по законам Кеплера. регулярно на если для всех на траектории все . Из непрерывной зависимости решений от правых частей и начальных данных следует лемма: Лемма 1. Если на интервале конечном или бесконечном, регулярно, то для всех .

Везде в дальнейшем мы считаем центр тяжести системы неподвижным, так что в идеальной системе тело совпадающее с ним, неподвижно. Интеграл энергии системы имеет вид (гравитационная постоянная равна 1)

Легко убедиться, что, если ограничены, то есть а поэтому при то

Величины естественно назвать относительными энергиями тел . Тело движется в идеальной системе относительно по эллипсу, гиперболе или параболе, если соответственно.

Когда уже не будут интегралами движения, но, тем не менее, иногда они и в этом случае определяют поведение при .

Теорема 1. Пусть регулярно для . Если

или

то существуют такие , что при и движение при будет гиперболическим (все ) в случае а) и эллиптически-гиперболическим в случае б).

Доказательство основывается на том, что в силу леммы 1 и условий а) или б) для и достаточно больших t в точке удовлетворяются условия леммы Г. Ф. Хильми [3] в случае а) или леммы К. А. Ситникова теорема 2) в случае б). Приводим их формулировки.

Пусть — расстояние от до центра тяжести ; — константа тяготения.

Лемма 2 (Хильми). Если , то при

Лемма 3 (Ситников). Если и

то для

Следствие. Если регулярно для, всех t, то характер при достаточно малых будет одинаков при Поэтому захват или обмен нужно искать в окрестности траектории с точками нерегулярности.

Замечание. Вопрос о возможности установить аналог теоремы 1 для случая очень интересен, но значительно сложнее.

3. Разрывным решением идеальной системы назовем траекторию удовлетворяющую условиям:

— регулярное решение идеальной системы, кроме изолированных точек нерегулярности:

2) в точках

Условие (4) это условие непрерывности радиусов-векторов, сохранения энергии и сохранения общего импульса тел .

Следующая теорема является основной в нашем методе построения примеров захвата и обмена.

Теорема 2. Пусть — разрывное решение идеальной системы на интервале причем t = 0 единственная точка нерегулярности и в ней не происходит тройного столкновения. Тогда существуют точки такие, что для всех из

Доказательство. Положим

где и — координаты и скорость при ; — точка соударения при определим позднее. Обозначим .

Лемма 4. Если то существуют пределы:

(6)

(причем внутренний предел конечен).

Аналогичные пределы существуют при Доказательство леммы осуществляется заменой переменных и t переменными и , согласно формулам При такой замене переходит в S а точки — в одну и ту же точку

Можно показать, что при , где оставляет неизменными, а преобразует в соответствии с законами Кеплера при движении двух тел массы расположенных в точках р и —р и имеющих скорости и -w. Так как то движение тел гиперболическое. При этом асимптоты гипербол имеют направления и скорости же тел на бесконечности равны — для и для

Выберем теперь р и в (5) так, чтобы т.е. чтобы . В силу теории задачи двух тел это всегда возможно.

Лемма 5. Для любого найдутся такие , что для всех для

Для доказательства этой леммы сначала устанавливается при помощи леммы 4, что для

После этого применением оценок зависимости решения от правых частей и начальных данных доказывается утверждение леммы. Теорема 2 легко следует из лемм 1 и 5. Следствие. Пусть мы построили разрывное решение с обменом или захватом, удовлетворяющее условиям теоремы 2. По доказанному . В силу теоремы 1 при достаточно малом то и на траектории мы получим обмен или захват. Но если на в моменты выполняются условия лемм 2 или 3, то, оставляя фиксированным и мало изменяя начальные данные, мы не нарушим этих условий. Значит, обмен и захват будут иметь место на множестве положительной меры — целой окрестности точки . Таким образом, нам остается построить с обменом или захватом.

4. Построение . Зададим произвольно — положение — точку соударения будем считать неподвижным: . Обозначим . По условию . Пусть — параболическая скорость в точке относительно . Так как то мы будем иметь дело с захватом, если

и с обменом, если

Построим диаграмму скоростей. Опишем сферы радиуса с центром в начале координат и радиуса и с центром в конце вектора v. Поскольку , то концы векторов — это концы любого диаметра сферы радиуса , а концы векторов — концы любого другого ее диаметра.

Чтобы можно было выбрать в соответствии с (7) или (8), нужно лишь, чтобы для обмена эти две сферы пересекались и чтобы для захвата у сферы радиуса и был диаметр, концы которого лежат вне сферы радиуса . Легко также сосчитать, что . Поэтому для обмена необходимо , а для захвата . Легко проверить, что для построения диаграмм с захватом или обменом эти условия и достаточны.

Для возможности применения теоремы 2 нужно еще, чтобы t = 0 была единственной точкой нерегулярности. Сколь угодно малым изменением диаграмм и точек и этого всегда можно добиться. Таким образом, искомое построить можно, что и завершает построение примеров захвата и обмена.

В заключение считаю приятным долгом поблагодарить А. Н. Колмогорова, под руководством которого написана эта работа.

Литература

[1] L. Becker. Monthly Notices, 80, No. 6, 590 (1920).

[2] К. А. Ситников. Математический сборник. 32 (74): 3, 693 (1953).

[3] Г. Ф. Хильми. Проблема n тел в небесной механике. Изд. АН СССР, 1951. С. 75.

[4] М. J. Chazy. J. Math, pure et appl, 8 (1929); Bull. Astr., 8, 403 (1932).

[5] О.Ю. Шмидт. ДАН, 58, № 2, 213 (1947).