Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика

В. М. Алексеев

1. Введение. «Задача трех тел» — одна из наиболее известных в математике, механике и астрономии. Годом ее рождения следует считать 1687 — дату выхода в свет ньютоновских «Philosophiac Naturalis Principia Mathematica». С тех пор уже почти 300 лет эта задача служит пробным камнем, на котором поколения математиков испытывают новые методы исследования. Оценивая роль, которую эта задача сыграла в истории математики, следует помнить, что именно она вместе с другими задачами небесной механики явилась отправной точкой в развитии многих идей как теории дифференциальных уравнений, так и смежных областей.

Среди работ, затерянных в безбрежном океане статей и монографий, посвященных задаче трех тел, многие результаты и поныне не утратили своего значения. XVIII в. оставил нам частные решения Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, теорию возмущений и метод «вариации постоянных». XIX столетию принадлежит великое открытие «на копчике пера», сделанное У. Леверрье и Дж. Адамсом. Идея представления решений в виде степенных и тригонометрических рядов также в духе того столетия; для вычисления орбит небесных тел астрономы до сих пор нередко используют методы, восходящие к исследованиям того времени. Итог исследованиям XIX в. подвели «Новые методы небесной механики» Л. Пуанкаре и знаменитая теорема К. Зундмана об аналитической регуляризации любого решения задачи трех тел с ненулевым значением момента количества движения.

В XX в. характерен интерес к качественным проблемам. Постановки большинства тех из них, которые относятся к небесной механике и качественной теории дифференциальных уравнений, можно найти

уже у Пуанкаре [1]. Задачей трех тел стимулированы многие разделы знаменитой книги Дж. Биркгофа [3]; лекции K.Л. Зигеля [4], [5] почти целиком посвящены математическим проблемам, по преимуществу качественным, возникающим в небесной механике.

А. Уинтнер заметил однажды [6], что каждое поколение по-своему формулирует «основные проблемы в задаче трех тел» и по-своему их решает. Следуя Дж. Биркгофу [3], я считаю, что с чисто математической точки зрения сейчас такой основной проблемой является топологическое описание разбиения фазового пространства на траектории. Это описание должно включать классификацию различных типов движения, классификацию и изучение инвариантных интегральных многообразий, исследование эволюции системы и т. п.

Важные прикладные задачи, которые возникают в космической навигации, обычно не укладываются в рамки классической задачи трех тел и рассматриваться далее не будут.

Сформулированная выше проблема, по-видимому, еще далека от исчерпывающего разрешения, и потому мы ограничимся лишь ее более частным и грубым аспектом, а именно финальными движениями, т. е. поведением решений при

Начало исследований в этом направлении было положено мемуарами Ж. Шази [7]-[9]. В [7] описаны все возможные односторонние (т.е. относящиеся только к или только к ) типы финальных движений. Как с математической, так и с космогонической точки зрения весьма интересно описать возможные типы эволюции системы, т. е. дать ответ на вопрос, в каких комбинациях могут сочетаться типы поведения при Обзору достигнутых в этом направлении результатов посвящена первая половина этой статьи. Во второй половине я остановлюсь на методах, при помощи которых эти результаты были достигнуты.

Я хотел бы отметить, что А.Н. Колмогоров в 1954 г. привлек впервые мое внимание к обсуждаемым проблемам. С тех пор его дружеское внимание и ценные советы неоднократно помогали мне в моих исследованиях.

Результаты

2. Классификация финальных движении по Шази. Как хорошо известно, задача трех тел состоит в изучении движения тел (материальных точек ) под действием ньютоновских сил взаимного притяжения. Через обозначается далее масса тела обозначает расстояние между определяются аналогично.

В этой задаче степеней свободы, и потому фазовое пространство 18-мерно. Выбором инерциальной системы можно добиться того, чтобы общий центр масс покоился в начале координат, что позволяет редуцировать задачу к 6 степеням свободы и 12-мерному фазовому пространству . После этого задача все еще имеет 4 алгебраических первых интеграла, что позволяет уменьшить размерность до 8 (см., например, [11]). Нам будет, однако, удобнее остановиться на рассмотрении расслоенного на изоэнергетические гиперповерхности . Более мелкое расслоение, связанное с интегралами площадей, изучается в [12] и [13].

Согласно Шази [7], разбивается на следующие подмножества:

1) Н. Гиперболические движения.

2) . Гиперболо-параболические движения.

3) Р. Параболические движения.

Здесь при . Все для Н и для Р.

В случае при .

4) . Гиперболо-эллиптические движения.

5) . Параболо-эллиптические движения.

Здесь для

6) В. Ограниченные движения.

7) OS. Осциллирующие движения.

Рис. 1

Взаимное расположение этих подмножеств изображено на рис. 1. Н и лежат в области, где константа энергии — на гиперповерхности и OS — в области движения возможны при любом знаке h. Каждое из множеств Н и открыто в образуют аналитические подмногообразия коразмерности 1; Р состоит из трех подмногообразий коразмерности 2 (изображенных точками на рис. 1) и одного коразмерности 3 (которое на рис. 1 не показано); топологическая структура остальных классов изучена плохо.

Класс OS был введен Шази из чисто логических соображений, и долгое время было неизвестно, существуют ли такие движения. Наконец в 1959 г. К. А. Ситников [14] доказал, что . Существование движений остальных типов было Шази уже известно. В дальнейшем мы ограничимся лишь основными типами , поскольку остальные заведомо имеют положительную коразмерность. Чтобы различать типы, относящиеся к будем использовать соответствующие индексы: и т.д.

Хорошо известно [11], что в не существует алгебраических первых интегралов, отличных от 4 классических (Вруне) или даже однозначных аналитических, аналитически зависящих от (Пуанкаре). Гипотеза. В области существует полный набор однозначных аналитических первых интегралов.

Таблица 1

Аргументы в пользу этой гипотезы содержатся в [7] и [9].

Область оказывается весьма «разветвленной». Это связано с расположением в множества S тех траекторий, на которых встречаются точки парных столкновений. Остается нерешенной Проблема ([4]). Не является ли S всюду плотным на некотором открытом в подмножестве?

Недавно Ю. Мозер предложил красивую интерпретацию зундмановской регуляризации парного столкновения в терминах геодезического потока на сфере

3. Эволюция системы; область (табл. 1). В мемуарах [8], [9] сформулировано утверждение о совпадении финальных типов одного и того же движения при и при и довольно долго математический и особенно астрономический мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. Некоторый диссонанс вносили лишь примеры Беккера [17], которые явно принадлежали . Однако Шази приписал это ошибкам численного интегрирования и невозможности проверить поведение решений на всей бесконечной оси времени.

В 1947 г. выводы Шази были поставлены под сомнение О. Ю. Шмидтом. Его космогоническая гипотеза, основанная на чисто гравитационном захвате, противоречила (по крайней мере, для задачи трех тел) симметричной картине Шази. Чтобы подкрепить свою гипотезу, Шмидт построил [18] численным интегрированием пример частичного

захвата . В этом примере из трех независимых в прошлом звезд образуется устойчивая подсистема (двойная звезда), в то время как третья звезда снова уходит в бесконечность. Основанный на численном интегрировании пример Шмидта был уязвим для критики с тех же позиций, что и примеры [17]. Одно из выдвигавшихся возражений было преодолено Г. Ф. Хильми [19]. Ему удалось описать системами неравенств открытые подмножества в Н и («критерии гиперболического и гиперболо-эллиптического движения»). Проверяя эти неравенства на концах промежутка интегрирования, можно сделать выводы о поведении решения на всей оси времени.

Однако ошибки численного интегрирования оценить точно чрезвычайно трудно. Лишь построенный в 1953 г. К. А. Ситниковым [20] чисто качественными методами пример явился первым аккуратным доказательством возможности частичного захвата а по симметрии и полного распада

Пример Шмидта вызвал к жизни длинный ряд исследований, посвященных как критическому разбору работ Шази, так и всей проблеме финальных движений. Современное состояние этой проблемы вкратце отражено в таблицах 1 и 2. Каждая клетка отвечает одной из логически возможных комбинаций финальных движений в прошлом и будущем и описывает тем самым некоторый тип эволюции системы. Приведены авторы и даты работ, в которых были найдены соответствующие типы. Указана также и лебегова мера соответствующего множества в . Следует иметь в виду, что из-за симметрии времени каждое исследование, относящееся к одной из клеток, в равной мере относится и к симметричной относительно главной диагонали клетке.

В случае (табл. 1) оказались осуществимыми все 5 логически возможных типов эволюции. Поскольку множества Н и открыты, это автоматически обеспечивает положительную вероятность каждого типа.

4. Эволюция системы; случай (табл. 2). В области ситуация значительно сложнее, чем для Прежде всего множества если и являются подмногообразиями коразмерности 1, то заведомо плохо вложенными в Неясно, являются ли они аналитическими. Автор придерживается следующей гипотезы, восходящей к А. Н. Колмогорову.

Таблица 2

Гипотеза. Почти каждая точка достижима из и обладает в окрестностью U, диффеоморфной так что

где диск, , причем каждое из состоит из счетного числа интервалов. счетно и образовано концами интервалов соответствующего а нульмерно.

Неясно, какой гладкостью мог бы обладать диффеоморфизм его аналитичность априори также не исключается.

Множества открыты и связны, однако каждое из них очень «разветвлено» в и отдельные ветви переплетаются друг с другом весьма запутанно. Биркгоф [3] представлял себе в виде трех потоков, притекающих из бесконечности. Продолжая эту аналогию, следует вообразить, что каждый из этих потоков разбивается на счетное

число «ручейков», которые, подобно системе кровеносных капилляров, пронизывают фазовое пространство и собираются в три выходящих потока

Анализ рассуждений Шази показал [21], что для доказательства равенства они недостаточны, но все же можно утверждать, что совпадают в области точностью до множества нулевой лебеговой меры в («почти вся вода, приносимая потоками за исключением отдельных струек общей пулевой меры, уносится потоками »).

Тем самым возникли два вопроса: существуют ли в области движения типа («полный захват») и

На оба эти вопроса автору удалось получить положительный ответ [22] [24]. Особенно интересно, что оказался возможным полный захват. В отличие от примеров Шмидта и Ситникова, при полном захвате образуется тройная звезда: к двойной звезде за счет чисто гравитационного взаимодействия присоединяется третье тело, прилетевшее из бесконечности. Ту же природу имеет захват кометы системой Солнце-Юпитер.

Строение множества изучено плохо, хотя значительная доля публикаций по задаче трех тел относится именно к нему. Теория Колмогорова Арнольда Мозера позволила доказать существование условно-периодических движений во многих неинтегрируемых задачах механики. В частности, в 1963 г. В. И. Арнольд [25] показал, что (при достаточно малой массе двух из трех тел) содержит подмножество положительной меры, состоящее из пятимерных торов, заполненных условно-периодическими движениями. См. также [5], [26], [27], [28].

Условно-периодические движения образуют «регулярную» часть но отнюдь его не исчерпывают. Во множестве существует также и «квазислучайпая» часть. Некоторое представление о ее строении можно получить, рассматривая один частный случай задачи трех тел (см. далее § 8).

Остается открытой

Проблема. Образует ли OS множество положительной или нулевой меры в ?

Методы

5. «Эффект пограничного слоя» и разрывные решения идеальной кеплеровой задачи ([22], [23], [29]). Пусть М риманово многообразие, — его замкнутое подмногообразие, W — нормальное расслоение над S, U — трубчатая окрестность S в М, диффеоморфная r-окрестности нулевого сечения W (так что можно считать координатами в U). Все векторные поля, о которых далее пойдет речь, принадлежат классу на своей области определения и зависят от параметра непрерывно в точке относительно топологии равномерной сходимости на компактах.

Рассмотрим следующие системы дифференциальных уравнений: основную (определенную )

которая в координатах имеет вид

где

вспомогательную (определенную в )

предельные

и «систему пограничного слоя»

Здесь поля и удовлетворяют сформулированным выше условиям на всей U, их частные производные равномерно (по а) ограничены на

каждом компакте в определены на (т. е. при ) и удовлетворяют дополнительно условию

где

Рис. 2

На любом компакте в силу (А) правые части систем (2) и (3) равномерно близки и обе предельные системы (4) совпадают в Вторая из них регулярна на всей U, и потому первая (предельная к (1) при допускает регулярное продолжение на все М.

Таким образом, предельная система не имеет особенностей на (ее решения «не замечают ). В то же время из (2) видно, что при в -окрестности возмущающие члены и велики. Поэтому в «пограничном слое» около возможен быстрый дрейф вдоль и в пределе при решение системы (1) может сходиться к разным решениям системы (4) (рис. 2).

В пограничном слое естественно сделать замену , после которой (2) переходит в

В пределе система (6) вырождается в «систему пограничного слоя» (5). Предположим, что выполняется условие (Б) Решение системы (5), начинающееся в .

определено и лежит в для и, кроме того,

Теорема. Если решение системы (1) такое, что

1)

2) выполняются (А) и (Б);

3)

4) решение системы (4) с начальными условиями определено на и лежит в при то для всех

Заметим, что что, вообще говоря, не равно . Если же (Б) выполняется в усиленной форме, а именно: определено для всех и

то (8) справедливо при а при

где — решение (4) с начальным условием определенное на и лежащее в на .

При налицо ситуация, изображенная на рис. 2. Рассмотрим теперь задачу трех тел типа «планетной системы»: Движением управляет в этом случае система вида (2), где а роль играет «многообразие столкновений» тел описываемое уравнением Члены в (2) относятся к взаимодействию тел в то время как во вспомогательной системе (3) мы этим взаимодействием пренебрегаем. Предельной системе (4) соответствует «идеальная кеплеровская задача», в которой покоится в начале координат, описывают около кеплеровские орбиты. В зависимости от знака (приведенной к единице массы) энергии тела в относительном движении около

его орбита будет эллипсом параболой или гиперболой Таким образом, для предельной системы типы финальных движений одинаковы при Именно это привело Шази к ошибочному заключению о совпадении финальных движений при для любых масс. Его ошибка как раз связана с необходимостью учитывать при переходе от к то, «эффект пограничного слоя». Этот эффект проявляется при близких прохождениях и система (5) описывает кеплеровское движение этих тел относительно равномерно движущегося общего центра тяжести; взаимодействием с при этом пренебрегаем.

Теорема, сформулированная выше, дает возможность построить семейство решений реальной задачи, сходящееся при то к разным идеальным кеплеровским движениям для . Тем самым для правильного описания предельного перехода следует учитывать и «разрывные» решения идеальной кеплеровской задачи, у которых скорости тел меняются скачком в момент столкновения. На этой идее и основаны примеры обмена в области указанные в табл. 2.

Рассмотрим траекторию 70 в фазовом пространстве, отвечающую идеальному кеплеровскому движению, в котором описывает гиперболу описывает эллипс так что . Пусть имеет единственную особую точку, а именно, в момент происходит столкновение тел Вблизи отрицательной полутраектории можно найти полутраекторию реальной (то, ) задачи, для которой также при тела сталкиваются. При зупдмаповской регуляризации решение продолжается таким образом, что тела (имеющие по предположению равные массы) обмениваются скоростями. Поэтому продолжение полутрасктории оказывается не вблизи , а вблизи идеальной траектории, на которой поменялись ролями и которая содержится в Таким образом, траектория . В движении, отвечающем траектории , при движется вблизи гиперболы, вблизи эллипса, а при — наоборот (рис. 3).

В фазовом пространстве траекторию можно включить в -мерное многообразие «траекторий со столкновениями», т.е. достигающих Е. Приведя к нему двумерную трансверсаль, мы получим на этой трансверсали нечто вроде изображенного на рис. 4. Вблизи лежат траектории с тем же финальным поведением, т.е. из . Достаточно

Рис. 3

Рис. 4. .

далеко от близкого прохождения тел не происходит, и при то эти движения стремятся к и принадлежат .

Если , то в промежуточной области находятся движения из , в которых после близкого прохождения оба тела приобретают гиперболические скорости и происходит полный распад (табл. 1). Обращением времени отсюда можно получить пример частичного захвата. Заметим, что для реального движения полная энергия имеет при то, следующий вид:

Если же то в промежуточной области происходит «временный захват»: после близкого прохождения движутся почти к эллипсам, причем рано или поздно наступает новое их сближение. После одного или нескольких последовательных сближений для почти всех движений одно из тел или приобретает гиперболическую скорость и удаляется в бесконечность. Поэтому почти вся область временных захватов заполнена «островами» — различными компонентами пересечения с трансверсалью множества . Границы островов

принадлежат , а остальная часть области (лебеговой меры 0. но не пустая) заполнена ограниченными и осциллирующими движениями

Ввиду сложной топологической структуры аккуратное описание этой картины весьма затруднено. Можно надеяться, что недавняя работа Р. Истона [30] будет полезной в этом отношении.

6. Квазислучайные динамические системы. Теория классических динамических систем распадается на две большие ветви — топологическую «эргодическую теорию». Последняя имеет дело с отображениями, сохраняющими некоторую меру.

Ограничимся для простоты одним отображением и нормированными мерами . Если S сохраняет меру то определен инвариант — метрическая энтропия . Одно и то же S имеет, вообще говоря, много инвариантных мер (описываемых, например, теорией Крылова-Боголюбова).

Предположим, что мы изучаем динамическую систему, регистрируя последовательные попадания траектории в множества образующие разбиение пространства М, т. е. с помощью функции определяемой соотношениями . Например, каждое отвечает некоторому показанию прибора, и тогда есть ряд последовательных показаний этого прибора, полученных при измерениях одного и того же движения с начальным состоянием . Нормированная мера р. задает распределение вероятностей на М. Случайному выбору начальной точки отвечает случайная последовательность . Теорема Я. Г. Синап [31] утверждает, что при можно выбрать так, чтобы была «последовательностью Бернулли» в смысле теории вероятностей. Это делает естественным

Определение Динамическая система называется квазислучайной, если существует S-инвариантная борелевская мера для которой .

Аналогично метрической энтропии в [33] был определен топологический инвариант гомеоморфизма — топологическая энтропия Теорема (Динабург [34] для ; Гудмен [35]). Для гомеоморфизма S компакта , где берется по всем нормированным борелевским S-инвариантным мерам.Заметим, что существует [36] гомеоморфизм нульмерного компакта, для которого не достигается, т.е. всегда .

Следствие. Динамическая система квазислучайна тогда и только тогда, когда .

7. Топологические марковские цепи («символическая динамика»). Почти во всех известных мне примерах квазислучайность динамической системы связана с существованием инвариантных марковских подмножеств.

Пусть — тихоновское произведение счетного числа p-точий, т. е. пространство бесконечных последовательностей , где — гомеоморфизм сдвига на один символ влево.

Каждая -матрица из пулей и единиц определяет замкнутое инвариантное подмножество условием . Для всех n. Ограничение называется топологической марковской цепью (т. м. ц.) с р состояниями и матрицей переходов .

Ориентированный граф Г с вершинами и ребрами для тех пар для которых однозначно определяет т. . Совершенно аналогично, матрицей или графом определяются т. м. ц. со счетным и даже любым множеством состояний [32], [36], [37].

Непрерывные отображения называются топологически сопряженными, если существует гомеоморфизм такой, что коммутативна диаграмма

Теорема (Вильяме [38]). Для того чтобы две т. м.ц. с конечным числом состояний были топологически сопряженными, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие лштрицы R и S с неотрицательными целыми элементами и такое целое , что

(Здесь — матрицы порядков соответственно.)

Нетрудно убедиться в том, что число периодических точек периода в т. м. ц. равно где — собственные числа матрицы . Так как у топологически сопряженных числа должны совпадать, то при всех откуда следует, что матрицы П и S имеют одинаковые отличные от 0 собственные числа (вместе с кратностью). Как показано в [38], это условие, однако, недостаточно. Спектральные свойства матрицы П определяют топологическую энтропию т. м. ц. А именно:

Теорема (Перри [39]; [36]). , где А — наибольшее положительное собственное значение матрицы . Существует единственная борелевская Т-инвариантная мера р на для которой .

Топологическую энтропию т. м. ц. со счетным числом состояний и связь ее с метрическими энтропиями инвариантных мер исследовал Б. М. Гуревич [36], [37]. В частности, он доказал, что в этом случае топологическая энтропия всей цепи есть верхняя грань топологических подцепей с конечным числом состояний.

Динамические системы, связанные с гомеоморфизмом сдвига в пространстве последовательностей символов некоторого алфавита, впервые, по-видимому, рассматривались в связи с изучением геодезических на поверхностях отрицательной кривизны (см., например, [3], гл. VIII, § 11), а затем и сами по себе ([40]). За кругом вопросов, относящихся к таким системам, закрепилось название «символическая динамика». Возрождение интереса к идеям и методам символической динамики связано с работами С. Смейла [41], [42] и Я. Г. Синая [43], [44]. Последовательное употребление термина, «топологическая марковская цепь» начинается, по-видимому, с работ автора [32], хотя само понятие принадлежит математическому фольклору и по существу имеется, например, в [39]. Синай [43] использует это понятие, никак его не называя, а Смейл в [42] пользуется неудачным термином «subshift of finite type».

Пусть — диффеоморфизм многообразия М. Назовем подмножество инвариантным марковским подмножеством диффеоморфизма S, если существует т. м. ц. и непрерывное отображение такие, что , так что

и диаграмма

коммутативна.

Тривиальные примеры инвариантных марковских подмножеств: неподвижная или периодическая точка, траектория асимптотическая при к периодическим или неподвижным точкам.

Если — гомеоморфизм, то ограничение топологически эквивалентно т. м. ц. и с помощью теорем Перри и Гуревича можно вычислить . К сожалению, может быть гомеоморфизмом лишь при Впрочем, в упоминаемых ниже важных примерах обратимость нарушается, но лишь на множестве 1-й категории что дает возможность превратить в метрический изоморфизм и найти на А «меру максимальной энтропии».

Пример 1. «Подкова Смейла» и ее модификации позволяют для любых указать -открытое такое, что любой обладает инвариантным марковским подмножеством А, на котором топологически эквивалентен . Смейл [41] доказал это утверждение для матрицы П, состоящей из одних единиц («топологическая схема Бернулли»). В общем случае см. [32] и (45].

Пример 2. Пусть — гиперболические периодические точки диффеоморфизма — их устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия причем предположим, что все W? имеют одинаковую размерность (все имеют дополнительную размерность). Пусть далее ) — трансверсальные гомо- и гетероклинические точки, так что и в точке пересекаются трансверсально. Построим граф Г, структура которого до некоторой степени повторяет эту ситуацию. В него входят непересекающиеся циклы , причем число ребер в цикле равно периоду и пути с числом ребер соединяющие вершины (эти вершины можно брать на соответствующих циклах произвольно) (рис. 5).

Теорема . Для любого открытого множества U, содержащего траектории точек , существуют

Рис. 5

и открытое множество такие, что ограничение на максимальное -инвариантное множество А, содержащееся в V, топологически эквивалентно т.м. ц., определяемой графом и .

Заметим, что при различном выборе точек Q получаются различные графы Г. Соответственно меняются при этом V и А.

Пример 3. Пусть — F-диффеоморфизм в смысле Д. В. Аносова. Я. Г. Синай [43], [44] доказал, что М является марковским множеством. Построение т. м. ц. и -гомеоморфизма было осуществлено им при помощи так называемого марковского разбиения многообразия М. Отображение склеивает лишь точки в образующие множество первой категории, и удается построить на М «меру максимальной энтропии» (подробнее см. [46], [47]).

Недавно Боуэн [48] распространил этот результат на произвольное базисное множество диффеоморфизма S, удовлетворяющего аксиоме А Смейла (см. [42]). Можно надеяться, что этот результат распространяется на произвольное инвариантное гиперболическое множество, обладающее дополнительным свойством «локальной максимальности» (важная роль этого свойства доказана Д. В. Аносовым [49]). Пока же автором получен более слабый результат [50] (отображение существенно неоднозначно).

Проблема. Пусть . Существует ли у S марковское подмножество А, на котором ? А если ?

Заметим, что теорема Перри накладывает ограничения на возможные

значения С, если желать, чтобы А было гомеоморфным образом т.м.ц. с конечным числом состояний: в этом случае С должно быть логарифмом алгебраического числа.

Если диффеоморфизм S обладает нетривиальным инвариантным марковским подмножеством, то это обычно позволяет построить траектории с достаточно сложным поведением.

Назовем т. м.ц. транзитивной, если матрица П неприводима в смысле Перрона-Фробениуса ([51], гл. XIII). Методами символической динамики ([40]) легко доказывается

Теорема. Транзитивная, т. м.ц. топологически транзитивна (некоторые траектории и даже полутраектории плотны в ), периодические точки плотны в и для любых точек р и q существует точка такая, что траектория асимптотически сближается с траекторией при при .

Если матрица П приводима, то воспользовавшись ее каноническим видом можно выделить в «базисные» топологически транзитивные множества, аналогично «спектральному разложению» в [42] (см. также [50]).

С помощью отображения эти свойства переносятся с т. м. ц. на марковское множество диффеоморфизма, что дает возможность исследовать последний. Предложенный автором метод «маршрутных схем» [32] оказался полезным при отыскании марковских подмножеств у динамических систем, отвечающих конкретным задачам. И в частности, именно это дало возможность заполнить «белые пятна» в табл. 2.

8. Об одном частном случае задачи трех тел. Пусть и в начальный момент и их скорости симметричны относительно . Если выполнено обычное предположение о центре тяжести всей системы , то лежит на , и его скорость вертикальна (рис. 6). По соображениям симметрии подобное расположение тел будет сохраняться для всех t, что позволяет свести исследование к системе с двумя степенями свободы.

Этот частный случай задачи трех тел придуман давно (не позже 1895 г.), но счастливая идея исследовать на нем расположение в фазовом пространстве траекторий различных финальных типов принадлежит А.Н. Колмогорову. Именно для этого примера К. А. Ситникову [14] удалось доказать, что (используя дополнительно симметрию

времени, можно вывести из результата Ситникова неравенство , что и отражено в табл. 2. В этом же примере автору удалось построить инвариантное марковское множество [24], [32].

Рис. 6.

Пусть (предположение вносит ничего принципиально нового). Тогда описывают в XOY симметричные кеплеровские орбиты около О, которые в случае будут эллипсами. В момент, когда проходит через О, состояние системы определяется скоростью этого тела и фазой (истинной или средней аномалией) эллиптического движения тел Примем за полярные координаты в некоторой плоскости Ф (ввиду симметрии относительно XOY знаком v можно пренебречь). Сдвиг вдоль траектории в фазовом пространстве от одного попадания в к следующему определяет локальный диффеоморфизм . Оказывается, что можно указать такое открытое множество , что максимальное инвариантное множество А, содержащееся в Г, является марковским и допускает описание в терминах символической динамики.

Пусть состоит из всевозможных последовательностей , где при , где натуральное или 1; при или 1; при . И снабжается естественной топологией и на подмножестве где определен локальный гомеоморфизм Т сдвига на один символ влево:

Теорема ([32]). Существуют , гомеоморфизм и такое открытое множество , что является максимальным

инвариантным множеством в и диаграмма

коммутативна.

(Для случая формулировка аналогичной теоремы приведена в [24]: в [52] приведены достаточные условия, при которых для отображения плоскости в плоскость можно доказать подобное же утверждение. Доказательства см. в [45].)

Выбор последовательности символов следующим образом влияет на характер движения . Взяв точку в качестве начального условия, мы получим решение, для которого возвращается в раз при раз при . Между возвращениями происходит целых оборотов тел около символ указывает, что возвращение происходит около момента максимального сближения (удаления) тел

Если , то после возвращений уходит в бесконечность с предельной скоростью . Аналогично, если , то определяет скорость ухода в бесконечность при .

Увеличение влечет за собой также и увеличение размаха колебаний тела .

Стандартными приемами «символической динамики» можно построить разнообразные примеры движения с предписанным заранее поведением. В частности, движение принадлежит при если , если . Аналогично определяется и принадлежность к . Нетрудно убедиться, что при образуют полный набор финальных движений. Выбирая подходящим образом последовательности символов, убеждаемся, что верна

Теорема ([27], [45]). Существует такое , что при и при в рассматриваемом частном случае задачи трех тел реализуются все 16 логически возможных комбинаций финальных движений по Шази.

Например, последовательность , в которой порождает решение, для которого происходит полный захват .

Кроме того, имеет место Следствие. При тех же условиях всякий однозначный аналитический первый интеграл есть функция интегралов энергии и момента.

Это следствие представляет некоторый интерес и не вытекает из упомянутой в § 2 теоремы Пуанкаре, поскольку речь идет о фиксированном значении масс.

Литература

[1] H. Poincare. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. Paris: Gauthier-Villars, 1892, t. 1, 1892, t. 2, 1899, t. 3.

[2] А.Пуанкаре. Избранные труды (серия «Классики науки»), М.: Наука, 1971, т. 1, 1972, т. 2.

[3] G. D. Birkhgoff. Dynamical systems. Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 1927, 9 (Русский перевод: Дж. Биркгоф. Динамические системы. М.; Л.: Гостехиздат, 1940.)

[4] C.L. Siegel. Vorlesungen uber Himmelsmechanik. Berlin-Gottingen-Hridelberg: Springer-Verlag, 1956. (Русский перевод: К. JI. Зигель. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.)

[5] С. L. Siegel, J.K.Moser. Lectires on celestial mechanics. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1971. (Русский перевод отдельных глав имеется в книге: Ю. Мозер. Лекции о гамильтоновых системах. — М.: Мир 1973. С. 73-149.)

[6] A. Wintner. The analytical foundation of celestial mechanics. Princcton-Oxford, 1941. (Русский перевод: А.Уиптер. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967.)

[7] J.Chazy. Sur Failure finale du m,ouvement, dans le probleme des trois corps quand le temps croit indefiniment. Ann. lEcole Norm. Sur. 3 ser., 1922. P. 29-130.

[8] J.Chazy. Sur Iallure finale du mouvement dans le probleme des trois corps. J. Math. Pures et Appl., 1929, 8. P. 353-380.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)