§ 5. Эволюция системы. Проблема захвата

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при , так и при . В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества и содержат внутренние точки.

В этих теоремах, по-видимому, впервые появляется то, что впоследствии стали называть критериями финального типа движения. Эти критерии выглядят так. Системой неравенств определяется некоторое подмножество (обычно область) в фазовом пространстве и доказывается теорема: если начальные условия принадлежат выделенной области, то финальный тип движения такой-то.

Некоторый диссонанс в симметричную картину Шази вносили лишь примеры Л. Беккера [36], полученные при помощи численного интегрирования. Начальные условия и интервалы интегрирования в этих примерах были подобраны так, что оказывалась очевидной принадлежность движения классу , если, впрочем, поверить, что при оно действительно гиперболо-эллиптично. Изменение класса движения противоречило результатам [39], [40], однако Шази приписал это ошибкам численного интегрирования и невозможности проследить за поведением решения на бесконечном интервале времени и даже заметил по этому поводу, что точный математический анализ демонстрирует здесь свое преимущество перед приближенными численными методами исследования.

Интерес к качественным свойствам решений задачи многих тел значительно возрос в 40-х годах в связи с космогонической теорией

О.Ю. Шмидта. Согласно этой теории, планеты Солнечной системы возникли из окружавшего Солнце метеорно-пылевого облака, само же это облако было захвачено Солнцем при прохождении через пылевую туманность. Если ограничиться лишь чисто гравитационными взаимодействиями, то подобный захват означает изменение финального типа движения при переходе от . Хотя выводы Шази относились лишь к задаче трех тел и использовать их для аргументации против возможности захвата в задаче многих тел было нельзя, все же это вызывало по отношению к теории Шмидта оправданный скептицизм. Чтобы подкрепить свою гипотезу, Шмидт построил [34] численным интегрированием контрпример к основному утверждению мемуара [40]. В этом примере из трех независимых в прошлом звезд (движение типа ) образуется устойчивая подсистема (двойная звезда), в то время как третья звезда снова уходит в бесконечность (движение типа НЕ Происходящее при этом явление можно назвать частичным захватом.

Основанный на численном интегрировании пример Шмидта был уязвим для критики с тех же позиций, что и примеры из [36]. Одно из выдвигавшихся возражений было преодолено сотрудником Шмидта — Г.Ф. Хильми [33], [13], который построил критерии гиперболического и гиперболо-эллиптического движений, в том смысле, как было сказано выше. Возникшая ситуация схематически изображена на рис. 6.

Рис. 6

Дуга АБ изображает траекторию в фазовом пространстве, найденную при помощи численного интегрирования. В точках А и Б выполняются неравенства критериев Хильми, так что после точки Б траектория остается вечно в области (т.е. движение гиперболо-эллиптично),

равно как при движении от точки А в сторону убывания времени мы остаемся в области Н (движение гиперболично).

Однако оставалось еще возражение, связанное с ошибками численного интегрирования, учесть которые весьма трудно. Тщательная перепроверка показала, что в первоначальных расчетах допущена ошибка, причем в точке, где критерий Хильми еще не удовлетворяется (на рис. 6 схематично в точке В) [26]. К счастью, Г. А. Мерман предложил [21] критерии более общие, чем критерии Хильми; в точке В выполнялся критерий Мермана, и это пример Шмидта спасало ([24]). Все это, впрочем, к этому времени несколько потеряло остроту, поскольку в 1953 г. К. А. Ситников построил [28] пример частичного захвата чисто качественным путем, без использования численного интегрирования. С идейной стороны пример Ситникова похож на пример Шмидта, только вместо вычисления дуги траектории АВ доказывается существование такой дуги, идущей из области применимости одного критерия в область применимости другого.

Рис. 7

Это можно сделать следующим образом. Пусть тела движутся с очень большими скоростями и около проходят близко друг от друга в районе точки Q (рис. 7). Их относительное движение при этом гиперболическое, и при подходящим образом подобранных скоростях и «прицельном расстоянии» угол между асимптотами гиперболы можно сделать достаточно большим и фиксированным. После сближения движение тех же тел останется почти прямолинейным, но направление его изменится (только вблизи точки Q гиперболы «по-настоящему кривы», вдали от этой точки они почти совпадают со своими асимптотами). Теперь предположим, что начальная скорость тела задана так, что она почти равна скорости после сближения. Тогда при t < 0 скорости

Таблица 1

всех трех тел различны по направлению и, если они достаточно велики, выполняется критерий гиперболического движения. При положительных же t тело быстро удалится от пары , которая, в свою очередь, еще не успеет распасться, и в подходящий момент оказывается выполненным критерий гиперболо-эллиптического движения. Это построение (с незначительной разницей в деталях) лежит в основе как примера К. А. Ситникова, так и примера О.Ю. Шмидта.

Дискуссия вокруг проблемы захвата вызвала к жизни длинный ряд исследований, посвященных как критическому разбору работ Шази, так и всей проблематике, связанной с финальными типами движений (кроме упомянутых выше, см. [22, 23, 27, 16] и др.). Некоторые из относящихся сюда результатов отражены в таблицах 1 и 2. Каждая клетка отвечает одной из логически возможных комбинаций основных типов финальных движений — — в прошлом и будущем и описывает тем самым некоторый тип эволюции системы. Приведены авторы и указаны даты, в которые были найдены соответствующие типы: впрочем, эти сведения иногда несколько условны. Указана также и лебегова мера соответствующего множества в многообразии . Следует иметь в виду, что из-за симметрии времени каждое исследование, относящееся к одной из клеток, в равной мере относится и к симметричной ей относительно главной диагонали. Так, существование примеров частичного захвата означает в то же время и существование примеров полного распада .

Таблица 2

В случае h > 0 (таблица 1). вопреки мемуару [40], оказались осуществимыми все логически возможные типы эволюции.

Поскольку множества и Н открыты, это автоматически обеспечивает положительную вероятность (мера ) каждого типа. Например, из существования частного решения Лагранжа, в котором все три тела движутся по гиперболам около общего центра тяжести, образуя все время правильный треугольник, вытекает, что множество не пусто, а, следовательно, имеет положительную меру. В таблице 1 на соответствующей клетке стоит «Лагранж, 1772» и «Шази, 1922» хотя с не меньшим основанием здесь можно было написать «Биркгоф, 1927», что я и сделал в [35] (открытость множеств была Шази известна, пример Лагранжа он зпал; однако в работе [38] Шази изучал только лишь одностороннее поведение решений).

В области h < 0 ситуация значительно сложнее, чем для h > 0. Прежде всего множества РЕ если и являются подмногообразиями коразмерности 1, заведомо плохо вложены в , так что картина

оказывается не столь простой, как на рис. 4. Не ясно, являются ли эти многообразия аналитическими. Следующая гипотеза, восходящая к А. Н. Колмогорову, кажется весьма правдоподобной. Гипотеза. Почти каждая точка достижима из И и обладает в окрестностью U, диффеоморфной , так что

где — одиннадцатимерный диск; , причем каждое из состоит из счетного числа интервалов, счетно и образовано концами интервалов, соответствующих а С нульмерно и гомеоморфно канторову множеству.

Не ясно, какой гладкостью мог бы обладать диффеоморфизм его аналитичность a priori также не исключается. В одной из последующих частей будет показано, что эта гипотеза справедлива в несколько упрощенной ситуации, где соображения симметрии позволяют снизить размерность фазового пространства.

Множества открыты и связны, однако каждое из них очень «разветвлено» в и отдельные ветви переплетаются друг с другом весьма запутанно. Биркгоф [1] представлял себе в виде трех потоков, притекающих из бесконечности. Продолжая эту аналогию, следует вообразить, что каждый из этих потоков разбивается на счетное число «ручейков», которые, подобно системе кровеносных капилляров, пронизывают фазовое пространство и собираются в три выходящих потока .

Анализ рассуждений Шази из [39] показал [22], что, хотя для доказательства равенства они недостаточны, все же можно утверждать, что множества и совпадают в области с точностью до множества нулевой лебеговой меры («почти вся вода, приносимая потоками НЕ, за исключением отдельных струек общей нулевой меры, уносится потоками ). В связи с этим возникают вопросы: существуют ли в области движения типа: а) («обмен»); б) («полный захват») или .

Эти вопросы далеко не равноценны. Построение примера обмена можно было пытаться произвести по той же принципиальной схеме, что и примеры Шмидта и Ситникова. Примеры из [36] подсказывали

удобный выбор начальных условий, обладающих некоторой симметрией. Правда, примеры Шмидта и Ситникова существенно использовали большие скорости (при этом движения тел на значительных участках оказывались почти прямолинейными, что и давало возможность провести соответствующие оценки), а, следовательно, необходимо оказывались в области h > 0. Тем не менее почти половина численных примеров из [36] относилась к области что давало надежду на построение подобных примеров и чисто качественными средствами.

Это действительно удалось. Общая схема примененной в [15] конструкции остается той же, что на рис. 6, надо заменить только на и использовать в обоих случаях подходящие критерии гиперболо-эллиптического движения. Построение дуги АБ основано опять-таки на близком прохождении двух из трех тел; вместо больших скоростей используется в качестве малого параметра масса тел сближающейся пары.

Рис. 8

Пусть масса тела («Солнца») велика по сравнению с массами тел («планет»), и пусть при («в далеком прошлом») движение гиперболо-эллиптично, класса . При этом движутся по орбитам, близким соответственно к гиперболе и эллипсу с фокусом в Солнце. Можно подобрать эти орбиты так, чтобы планеты сблизились около точки Q (рис. 8) столь сильно, чтобы сила их взаимодействия была много больше силы притяжения к Солнцу (если принять, например, что имеют массу реальной Земли, а расстояние равно расстоянию от Земли до Солнца, то они должны пройти друг от друга на расстоянии порядка 500 км.). После такого сближения скорости планет сильно изменятся, и можно сделать так, что они обменяются ролями и при уйдет в бесконечность асимптотически по гиперболе, а будет обращаться около асимптотически по эллипсу. Дальнейшие

детали конструкции находятся в стороне от общей тематики наших лекций, и мы не будем на них задерживаться (см. [16] и [35]).

Гораздо более трудным оказался второй из поставленных выше вопросов. Множество не образует области в и потому описать принадлежность к нему критериями, подобно тому, как это было сделано для Н и нельзя. Следовательно, нужно было искать какие-то новые методы, позволяющие проследить за поведением решения сразу на бесконечном интервале времени.

С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А.Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К. А. Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (OS), которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа , что и отражено в табл. 2. А.Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы «символической динамики»; это позволило доказать непустоту классов . К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий.

Особенно интересно, что оказался возможным полный захват . В отличие от примеров Шмидта и Ситникова, при этом образуется тройная звезда: к двойной звезде за счет чисто гравитационного взаимодействия присоединяется третье тело, прилетевшее из бесконечности. Аналогичную природу имеет захват кометы системой Солнце-Юпитер. Напомним, что в фазовом пространстве лебегова мера

множества, заполненного траекториями движений с полным захватом, равна нулю (не зная, по-видимому, о работе Шази, Дж. Литтлвуд независимо доказал аналогичное утверждение в [42], см. также [20]). Тем не менее, изучение этого «тощего» множества интересно по крайней мере по двум причинам. Во-первых, оно довольно сложно и весьма прихотливо располагается между «ручейками» гиперболо-эллиптических движений. Понять строение открытого множества вряд ли возможно, разобравшись в устройстве его границы, значительную часть которой составляет множество равно как и («частичный распад»), а также осциллирующие движения . Если справедлива гипотеза, сформулированная в начале § 4, то в окрестности типичной точки множество должно быть в произведением нульмерного множества замкнутого, но, вероятно, на -мерный диск. Во-вторых, вблизи траекторий с полным захватом лежат ([16]) траектории, на которых происходят «временные захваты» и которые могут представлять практический интерес.

Пусть, например, планета обращается вокруг звезды по эллиптической орбите. Из бесконечности по орбите, близкой к гиперболической, прилетает космический корабль (движение класса ). Если движение всех трех тел достаточно близко к движению класса , то космический корабль будет оставаться в системе сколь угодно долго, после чего покинет ее и уйдет обратно в бесконечность. Пуанкаре в [8] предсказывал возможность таких движений; аккуратное доказательство их существования, скажем, с заданным числом сближений космического корабля с планетой, было бы очень интересным.

Строение множества в изучено плохо, хотя значительная доля публикаций по задаче трех тел относится именно к нему. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера позволила доказать существование условно-периодических движений во многих неинтегрируемых задачах механики. В частности, в 1963 году В.И. Арнольд [18] показал, что (при достаточно малой массе двух из трех тел) содержит подмножество положительной меры, состоящее из пятимерпых торов, заполненных условно-периодическими движениями (см. также [6], [19], [43]). Согласно [42], множества имеют лебегову меру 0.

Аналогичные результаты справедливы и для общей задачи о движении

системы n тел типа планетной. Пусть одно из тел, назовем его «Солнцем», имеет массу много большую, чем остальные тела («планеты»), которые обращаются вокруг Солнца по орбитам, близким к круговым и лежащим почти в одной плоскости. Если массы планет достаточно малы, а эксцентриситеты и наклонения их орбит близки к нулю, то, согласно [18], основная масса будет состоять из условно-периодических движений. Хотя проверить «достаточную малость» применительно к реальной Солнечной системе пока нельзя, и потому теорема Арнольда здесь не применима, все же эта теорема существенно дополняет упоминавшиеся выше результаты Лагранжа и Лапласа и делает устойчивость Солнечной системы если и не доказанной, то по крайней мере весьма вероятной.

Условно-периодические движения образуют «регулярную» часть множества , но отнюдь его не исчерпывают. Во множестве существует также и «квазислучайная» часть; мы вернемся к ней далее.

Напомним, что остается открытой Проблема. Образует ли OS множество положительной лебеговой меры в . То же самое относится и к .