§ 4. Финальные движения в задаче трех тел

Исследование качественных свойств решений задачи трех тел продвинулись сравнительно далеко в направлении изучения финальных движений, т. е. поведения решений при . Давний и стойкий интерес, который проявляют к этим вопросам как специалисты, так и не специалисты, вполне объясним. Здесь затрагиваются проблемы, возникающие в области, где математика и механика граничат с философией: происхождение и судьба Солнечной системы, эволюция звездных скоплений и т. д.

Один из первых результатов в этой области был получен Лапласом и Лагранжем, которые доказали, что в первом приближении (т.е. если пренебречь членами, содержащими квадраты отношений масс планет к массе Солнца) движение планет может быть описано чисто тригонометрическими рядами [9]. Этот результат был истолкован как доказательство устойчивости Солнечной системы; с ним же связано происхождение понятия «устойчивости в смысле Лаграпжа» в общей теории динамических систем. К сожалению, надежды на справедливость аналогичного утверждения в следующих приближениях теории возмущений не оправдались, и в настоящее время вопрос об устойчивости как реальной Солнечной системы, так и вообще планетарных систем гравитирующих точек остается открытым; мы еще вернемся к этому вопросу далее.

Простейшей и в то же время наиболее наглядной характеристикой движения является асимптотика попарных расстояний между телами при .

Ньютоновский характер сил взаимодействия порождает две типичные асимптотики для ухода в бесконечность: гиперболическую и параболическую . В одномерной кеплеровой задаче это очевидно: из интеграла энергии

находим, что

Те же три случая мы имеем и в задаче двух тел. В зависимости от знака константы полной энергия h (энергии относительного движения этих двух тел, если центр масс не предполагается покоящимся) движения разделяются на

Н. гиперболические: ;

Р. параболические: ;

В. ограниченные (или эллиптические): .

(Здесь и далее расстояние между телами ; С — некоторая постоянная, не обязанная быть одной и той же во всех формулах.)

В случае произвольного числа тел положение оказывается гораздо более сложным. Все же Саари удалось доказать [48] некоторое условное утверждение, согласно которому три упомянутых выше типа поведения попарных расстояний при являются основными. Согласно Саари, все n тел разбиваются на скопления, внутри которых попарные расстояния ограничены; скопления группируются в подсистемы так, что внутри одной подсистемы расстояния между скоплениями имеют порядок наконец, расстояния центров масс подсистем от общего центра масс всей системы имеют порядок . Этот красивый результат получен, однако, в предположении, что выполняется ряд не проверяемых эффективно условий, важнейшим из которых является отсутствие осциллирующих троек , где , а отношение хотя и не ограничено, не стремится к бесконечности.

Вернемся к задаче трех тел. Здесь мы имеем всего три попарных расстояния, которые мы для краткости обозначим

Величины р связаны между собой неравенствами треугольника, что уменьшает число логически возможных комбинаций их асимптотик. Еще в 1922 г. французский астроном и математик Ж. Шази описал все возможные в задаче трех тел типы финальных движений [38]. Согласно Шази, все фазовое пространство разбивается на следующие подмножества:

1) Н. Гиперболические движения: .

2) . Гиперболо-параболические движения:

3) Р. Параболические движения:

Во всех трех случаях происходит распад системы трех тел (тройной звезды) на отдельные составляющие компоненты; различие лишь в скорости удаления компонент друг от друга. Например, для движений из система распадается на две подсистемы: одна состоит из одного тела , другая — из тел , которые удаляются друг от друга параболически , в то время как подсистемы расходятся гиперболически .

4) . Гиперболо-эллиптические движения:

5) . Параболо-эллиптические движения:

В этих двух случаях система распадается на двойную звезду и одно тело, расстояние между которыми стремится к бесконечности гиперболически или параболически; каждый случай разбивается на три подслучая в соответствии с тем, какое из трех тел удаляется от пары остальных; например, для движений расстояние между телами ограничено, в то время как неограниченно от них удаляется параболически.

6) . Ограниченные движения: все .

7) . Осциллирующие движения: по крайней мере одно из не ограничено, но не стремится к бесконечности.

Существование движений типов Н, Р и В было Шази уже известно; примеры доставляют, скажем, лагранжевы решения, в которых треугольник — равносторонний (меняющихся размеров). В существовании движений гиперболо-эллиптического типа он не сомневался (хотя более или менее строгое доказательство было дано, по-видимому,

только Биркгофом в [1]), поскольку они легко конструируются на основе комбинации двух кеплеровых движений. Случаи и являются предельными.

Что же касается класса осциллирующих движений, то он был введен Шази из чисто логических соображений, и долгое время существование таких движений ставилось под сомнение. Только в 1959 г. К. А. Ситников [29] доказал, что .

Рис. 4

Взаимное расположение подмножеств так, как его представлял себе Шази, представлено на рис. 4. Из определений и формулы (3) § 1 вытекает, что Н и лежат в области, где константа энергии на гиперповерхности в области, где ; Шази доказал, что В и OS также лежат в области, где h < 0; гиперболо-эллиптические движения возможны при любом знаке h. Для движений, принадлежащих множеству

удобно использовать координаты Якоби. Для они вводятся, как на рис. 5: вектор с началом в центре масс тел и концом в (для и индексы соответственно меняются). В координатах Якоби уравнения движения имеют вид

где — некоторые константы, зависящие только от масс а функции . Для движений из множества при отношение достаточно быстро, так что система (23) асимптотически распадается на две кеплеровы подсистемы. Шази доказал, что элементы, определяющие мгновенные кеплеровы орбиты в этих двух подсистемах, стремятся при к определенным пределам. В частности, существуют предельные относительные энергии

и принадлежность движений к различным финальным типам можно описать в терминах этих величин так:

Рис. 5

Обе кеплеровы подсистемы, на которые распадается асимптотически система (23), могут быть проинтегрированы до конца, поэтому представляется весьма правдоподобной Гипотеза. В области

задача трех тел имеет полный набор однозначных аналитических первых интегралов.

Шази считал это утверждение верным, нужные интегралы он предлагал строить из предельных значений элементов мгновенных кеплеровых орбит в подсистемах, однако его аргументы, приведенные в [38] и [40], не кажутся мне исчерпывающими. Если, тем не менее, оно верно, то было бы интересно изучить поведение интегралов около границы (25), которая весьма сложна.