§ 3. Задача трех тел. Аналитические свойства решений

Задача о движении трех материальных точек под действием ньютоновских сил взаимного притяжения — «задача трех тел» — получила в математике, механике и астрономии широкую известность. Достаточно просмотреть посвященные этой задаче главы в книгах Уиттекера [12], Биркгофа [1], Зигеля [5], [6] и уже упоминавшиеся статьи Арнольда [18] и Смейла [31], чтобы убедиться в богатстве и плодотворности круга идей, так или иначе обязанных ей своим возникновением.

Задача трех тел описывается системой дифференциальных уравнений (1) из § 1; ей соответствует фазовый поток в 18-мерном фазовом пространстве. Выбирая инерциальную систему с началом в центре

масс, мы получаем соотношение (2), что позволяет редуцировать задачу к 6 степеням свободы и -мерному фазовому пространству . После этого задача все еще имеет 4 алгебраических интеграла (3) и (4), множества уровней которых расслаивают на восьмимерные многообразия, топология которых изучена в [31]. Согласно теореме Брунса [12], в не существует алгебраических первых интегралов, отличных от 4 классических, а Пуанкаре доказал [8], что не существует даже и однозначных аналитических первых интегралов, аналитически зависящих также от масс тел. Уже это обстоятельство наводит на мысль о запутанном поведении траекторий в фазовом пространстве.

Вполне естественно раз уж не удается найти общее решение пытаться получить частные решения задачи трех тел, для которых интегрирование оказывается возможным, например за счет соображений симметрии. Легко убедиться в том, что система из гравитирующих материальных точек не может иметь состояния статического равновесия. Лагранжу и Эйлеру удалось, однако, показать, что возможно равновесие динамическое: три тела находятся в точках с неизменными координатами, но в неинерциальной, равномерно вращающейся системе координат. Другими словами, каждое из тел совершает равномерное круговое движение вокруг общего центра масс, с одной и той же угловой скоростью.

Для решения Лагранжа три тела находятся при этом в вершинах равностороннего треугольника. В Солнечной системе такую конфигурацию образуют довольно точно Солнце, Юпитер и каждый из астероидов так называемой Троянской группы.

Для решения Эйлера треугольник вырождается, и все три тела находятся на одной прямой. Если массы тел различны, то существуют три класса таких решений в соответствии с тем, какое из трех тел находится между двумя другими.

Существуют и другие частные решения, в которых конфигурация трех тел остается все время подобной самой себе [11]. В одних, которые можно назвать «лагранжевыми» [67], треугольник равносторонний, в других — «эйлеровых» [68] — все три тела лежат на одной прямой: каждое из тел движется вокруг общего центра масс по некоторому коническому сечению, возможно вырождающемуся в часть прямой. Далее мы увидим, что эти решения встречаются неожиданным образом в двух разных аспектах качественного анализа задачи трех тел.

Правые части системы дифференциальных уравнений

являются вещественно аналитическими функциями координат, и по теореме Коши заданием начальных условий решение однозначно определяется и является аналитической функцией времени t, по крайней мере локально. Эту функцию можно аналитически продолжить на всю ось времени, если только по пути мы не встретим особых точек.

Мы видели выше, что уже в случае такая возможность действительно реализуется на всех решениях с нулевым моментом количества движения, так как в каждом из них происходит по крайней мере одно соударение тел, т.е. существует такой момент (или моменты, если h < 0), что при расстояние . Эта особенность оказывается алгебраической (см. (18) и (19)), и после перехода к новому независимому переменному

координаты тел становятся аналитическими функциями s в некоторой окрестности значения , а их скорости имеют полюс первого порядка. Решение имеет единственное аналитическое вещественное продолжение через точку отвечающее вещественной ветви кубического корня в (21). Никаких других особенностей на вещественней оси решения задачи двух тел не имеют.

В случае кроме парного соударения, появляется также возможность тройного соударения. Этим все и исчерпывается, так как имеет место

Теорема Пенлеве ([45], [3], [5]). Если решение задачи трех тел является аналитической функцией t в интервале , но перестает быть таковым при , то при либо все расстояния , либо стремится к 0 лишь одно из них, а остальные два стремятся к конечному положительному пределу.

Если имеет место первая возможность, то в силу соглашения (2) о центре масс все при . Важно заметить, что в случае парного соударения (вторая возможность) радиусы-векторы всех трех тел также стремятся к конечным пределам: и если, например, , то .

К сожалению, при аналогичную теорему доказать пока не удается. Из рассуждений Пенлеве вытекает лишь, что при наименьшее из . В 1908 г. фон Цейпель сформулировал условное утверждение: если при все расстояния гц остаются ограниченными, то тела можно разбить на некоторое число групп так, что при происходит столкновение тел, входящих в одну группу, причем в определенной точке пространства. Доказательство этого утверждения было подвергнуто критике Уинтнером [11] и реабилитировано в [49]. Альтернативная к утверждению фон Цейпелл возможность: при некоторые из расстояний Гц не ограничены — представляется, особенно с физической точки зрения, маловероятной, но остается пока не опровергнутой.

Вернемся к случаю задачи трех тел. Тройное соударение является в некотором смысле событием весьма исключительным, и, что особенно важно, можно привести простое достаточное условие для его отсутствия. А именно:

Теорема. Если в задаче n тел при все , то момент количества движения системы равен нулю.

Эта теорема приведена в статье Ф. А. Слудского [30], ее знал, по-видимому, Вейерштрасс и независимо доказал К. Сундман в своей знаменитой работе, посвященной регуляризации решений задачи трех тел [51], [3], [5].

Сопоставляя теоремы Пеплеве и Слудского, мы заключаем, что решения задачи трех тел с ненулевым моментом количества движения могут иметь лишь особенности типа парных соударений. Для регуляризации этих особенностей Сундман вводит новое независимое переменное s при помощи формулы

где I — подходящая константа, зависящая только от масс и начальных значений координат и скоростей тел. Отличие переменных t и s становится существенным лишь тогда, когда одно из расстояний обращается в нуль, и очевидно, что при этом они связаны между собой примерно так же, как в формуле (8) из § 2. Таким образом, замена (22) является универсальной и позволяет регуляризовать все парные столкновения, независимо от того, какая из пар тел сталкивается.

Теорема Сундмана. Если у решения задачи трех тел момент количества движения отличен от нуля, то существуют такие I и 5, что в полосе координаты всех трех тел, попарные расстояния между ними и время t являются аналитическими функциями переменной а, связанной с временем t соотношением (22). В той же полосе скорости тел могут иметь на вещественной оси s лишь полюсы первого порядка.

При доказательстве этой теоремы Сундману пришлось преодолеть две основные трудности. Первая из них связана с регуляризацией отдельных парных столкновений. Если при происходит, скажем, столкновение тел , то около этого момента силы взаимодействия этих тел будут много больше, чем силы их взаимодействия с . Поэтому преобразования, приводящие к регуляризации, будут здесь в сущности теми же самыми, что и примененные в § 2 для случая, когда, кроме сталкивающихся, других тел не существует. Особенность снова оказывается алгебраической: как и в (19), координаты имеют точку ветвления третьего порядка, и существует единственное вещественное аналитическое продолжение за момент столкновения. (Недавно Г. Шперлинг [49] распространил этот результат и на задачу многих тел, при условии, что заранее известно, что особенность имеет характер парных соударений, возможно и нескольких пар тел).

Вторая трудность состоит в доказательстве равномерной оценки для радиусов сходимости рядов, представляющих решение, т.е. аналитичности решения в полосе равномерной ширины, окружающей действительную ось. Вывод необходимых для этого оценок периметра треугольника, образованного тремя телами, и величины скорости тела, не участвующего в столкновении, требует тонких и кропотливых рассуждений и занимает в работе Сундмана значительное место.

Регуляризация тройного столкновения, подобная проделанной Сундманом для случая парных столкновений, оказывается невозможной. Аналитические свойства решений задачи трех тел вблизи точки тройного соударения исследовались рядом авторов [50], [37], [32]. Наиболее полно этот вопрос был, по-видимому, изучен К. Зигелем, изложение результатов которого приведено в новом издании его известных «Лекций по небесной механике», дополненных Ю. Мозером [6]. Не останавливаясь на подробном изложении, упомянем лишь о двух интересных фактах.

Во-первых, и в этом суть утверждения о невозможности регуляризации, решение задачи трех тел, аналитическое на некотором интервале

и имеющее при особенность типа тройного соударения, не имеет, вообще говоря, вещественного аналитического продолжения на (выражения для координат содержат и показатель может оказаться иррациональным).

Во-вторых, при приближении к моменту тройного соударения в начале координат существует предельная конфигурация трех тел, а именно: существуют пределы

При этом оказывается, что точки Щ, либо располагаются в вершинах равностороннего треугольника, либо лежат на одной прямой. Таким образом, в окрестности тройного соударения движение трех тел асимптотически близко либо к лагранжевым, либо к эйлеровым частным решениям, чем подтверждается важная роль этих решений для качественного анализа всей задачи в целом.

Согласно [37], совокупность всех траекторий в фазовом пространстве , на которых происходит тройное столкновение, образует четыре подмногообразия: одно семимерное, отвечающее движениям с лагранжевой асимптотикой, и три пятимерные, отвечающие движениям с эйлеровой асимптотикой (напомним, что эйлеровых движений существует три класса, в соответствии с тем, какое из трех тел находится между двумя другими). Все эти многообразия лежат в девятимерном алгебраическом подмногообразии в , на котором интеграл момента (4) из § 1 равен нулю.

Что же касается траекторий с парными столкновениями, то их многообразие, как легко видеть, десятимерно. Неизвестно, сколь плохим может быть его расположение в , например, не является ли это многообразие всюду плотным в некотором открытом подмножестве

В заключение этого параграфа упомянем, что отобразив полосу конформно на единичный круг, мы получим решение, аналитичное по теореме Сундмана в этом круге и, стало быть, разложимое в сходящийся степенной ряд. С теоретической точки зрения этот ряд будет пригоден для вычисления координат тел на всей оси времени. Французский астроном Белорицкий произвел оценку числа членов ряда, которое обеспечивает вычисления со степенью точности, необходимой для нужд практической астрономии. Оказалось, что для этого придется взять членов!