Часть 1. О некоторых математических проблемах в небесной механике

§ 1. Основная задача небесной механики

Хорошо известно, что классическая небесная механика занимается главным образом различными аспектами так называемой «задачи n тел». Эта задача состоит в изучении движения n материальных точек притягивающих друг друга в соответствии с законом Ньютона. Обозначив через массу точки через ее радиус-вектор и через постоянную тяготения, имеем следующую систему уравнений движения:

для краткости здесь обозначено Эти уравнения определяют динамическую систему (фазовый поток) в -мерном фазовом пространстве, которое получается из выкидыванием плоскостей коразмерности 3.

Центр масс рассматриваемой системы движется прямолинейно и равномерно, так что, поместив в него начало отсчета инерциальной системы координат, будем иметь тождественно

Эти соотношения позволяют уменьшить размерность фазового пространства до за счет исключения, например, координат и скоростей одной из точек Кроме того, система (1) имеет еще 4 алгебраических интеграла:

интеграл энергии

три интеграла площадей (компоненты вектора момента количества движения)

Наряду с «общей задачей», в которой все массы предполагаются положительными, рассматриваются и предельные случаи, когда в уравнениях (1) некоторые из полагаются равными нулю. На физическом языке это означает, что мы пренебрегаем влиянием соответствующих тел на движение остальных. В этой ситуации говорят обычно об «ограниченной задаче». Особенно известной является задача о движении тела пулевой массы («планетоида» или «астероида») в поле тяготения, создаваемом двумя телами, обращающимися по круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем все три тела все время находятся в одной и той же плоскости. Собственно говоря, Пуанкаре именно этот случай назвал «ограниченной задачей трех тел», но теперь он часто именуется более пространно — «ограниченной плоской круговой задачей», в отличие от «ограниченной эллиптической задачи» и прочих. Если приравнять пулю все массы, кроме одной, то мы получим «идеальную планетную систему», в которой тела нулевой массы («планеты») обращаются около одного тела («Солнца») по чисто кеплеровским орбитам, не оказывая друг на друга никакого влияния. В классической небесномеханической теории возмущений этот случай выступает в качестве нулевого приближения.

Другой предельный случай получается, когда фиксируется положение нескольких тел; здесь обычно говорят о «неподвижных центрах притяжения». В частности, можно рассматривать простейший случай — задачу о движении одной материальной точки в поле единственного притягивающего центра. В дальнейшем мы будем называть этот случай «задачей Кеплера»; вряд ли нужно напоминать, что она была проинтегрирована еще Ньютоном и что качественный и количественный анализ ее решений лежит в основе всей небесной механики. Тем не менее, я надеюсь показать в § 2, что и здесь можно если не получить новые результаты, то по крайней мере увидеть старые с новой, неожиданной точки зрения.

Задача о движении материальной точки в поле двух неподвижных центров притяжения также принадлежит к числу интегрируемых в квадратурах [14]. Совеем недавно интерес к этой задаче весьма оживился, так как оказалось, что она является хорошим приближением для задачи о движении спутника в поле тяготения не строго сферической планеты. Если планета вытянута наподобие огурца, то это и неудивительно, но как быть, если она, как и реальная Земля, является сплюснутым сфероидом? Оказывается, в этом случае надо поместить неподвижные центры в комплексно сопряженные точки пространства, хотя задача и рассматривается в чисто вещественной области (изложение этих интересных и красивых результатов Е. Аксенова, Е. Гребенникова и В. Демина можно найти в [3]).

Задача двух тел легко сводится к задаче Кеплера, и в соответствии с этим уравнения (1) при могут быть полностью проинтегрированы. Напротив, при n 3 они в явном виде (в квадратурах) не интегрируются. В то же время практические нужды астрономии давно побудили разработку численных методов их решения. Сам характер движений небесных тел — приближенно периодический или достаточно точно аппроксимируемый наложением нескольких периодических — делает естественным построение решения в виде кратного ряда Фурье

Многочисленные «теории движения» (Луны, планет, астероидов, спутников планет и т. д.) сводятся в конце концов к построению частичных сумм рядов, аналогичных (5), дающих приближение, пригодное для сравнения с данными наблюдений. Многочисленные исследования XIX века посвящены разработке различных процедур, позволяющих избежать появления в чисто тригонометрических разложениях (5) «вековых» членов вида или . Пуанкаре подробно проанализировал в [8] эти процедуры; он же показал, что полученные ряды, вообще говоря, расходятся, хотя их частичные суммы и дают приближение к истинному решению на конечных интервалах времени. Вместе с тем, из работ Пуанкаре стало ясно, что может оказаться не безнадежной попытка решить задачу в рамках общей теории аналитических функций.

Действительно, в 1912 году К. Ф. Сундман опубликовал свою знаменитую

теорему, которая была воспринята как окончательное решение задачи трех тел.

Мы еще вернемся к теореме Сундмана в § 3, а пока лишь констатируем, что, имел неоспоримый теоретический интерес, она мало что дает для нужд практики. Более того, эта теорема по существу относится только к индивидуальному решению задачи трех тел и не проясняет глобальную структуру фазового потока. Поэтому, с точки зрения современной математики, задача трех тел является столь же интересным объектом исследования, как и сто лет назад.

Бурное развитие вычислительной техники и появление новых небесномеханических задач, связанных с космической навигацией и движением искусственных спутников, заставили пересмотреть классические приближенные методы (за эволюцией орбит необходимо следить на протяжении тысяч оборотов, приходится учитывать вызванное асимметрией Земли отклонение поля тяготения от чисто ньютоновского и т. п.). Во многих случаях оказываются удобными прямые методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Впрочем, ЭВМ успешно сотрудничают и с традиционной техникой: в последнее время получили распространение методы построения рядов вида (5), в которых программируются операции прямо с буквенными, а не с числовыми коэффициентами, тем самым машина строит «аналитическую теорию».

С другой стороны, в духе XX века — интерес к качественным проблемам, чему в основном посвящены и эти лекции. Сразу должен признаться, что в настоящее время мы не располагаем особо богатым запасом сведений, относящихся к качественным свойствам решений общей задачи n тел при большую их часть можно почерпнуть в [11], [13] и [14]. Из работ последних лет упомянем [48] и [49]; замечательная статья В. И. Арнольда [18] и появившаяся недавно статья С. Смейла [31] должны быть отмечены особо: их значение отнюдь не ограничивается рамками небесной механики, и результаты, относящиеся к задаче n тел, являются лишь одним из многих возможных применений общей теории. Далее мы рассмотрим некоторые из качественных результатов, как довольно старых, так и полученных сравнительно недавно, и относящихся главным образом к случаям n = 2 и 3.