Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Часть 1. О некоторых математических проблемах в небесной механике§ 1. Основная задача небесной механикиХорошо известно, что классическая небесная механика занимается главным образом различными аспектами так называемой «задачи n тел». Эта задача состоит в изучении движения n материальных точек
для краткости здесь обозначено Центр масс рассматриваемой системы движется прямолинейно и равномерно, так что, поместив в него начало отсчета инерциальной системы координат, будем иметь тождественно
Эти соотношения позволяют уменьшить размерность фазового пространства до интеграл энергии
три интеграла площадей (компоненты вектора момента количества движения)
Наряду с «общей задачей», в которой все массы предполагаются положительными, рассматриваются и предельные случаи, когда в уравнениях (1) некоторые из Другой предельный случай получается, когда фиксируется положение нескольких тел; здесь обычно говорят о «неподвижных центрах притяжения». В частности, можно рассматривать простейший случай — задачу о движении одной материальной точки в поле единственного притягивающего центра. В дальнейшем мы будем называть этот случай «задачей Кеплера»; вряд ли нужно напоминать, что она была проинтегрирована еще Ньютоном и что качественный и количественный анализ ее решений лежит в основе всей небесной механики. Тем не менее, я надеюсь показать в § 2, что и здесь можно если не получить новые результаты, то по крайней мере увидеть старые с новой, неожиданной точки зрения. Задача о движении материальной точки в поле двух неподвижных центров притяжения также принадлежит к числу интегрируемых в квадратурах [14]. Совеем недавно интерес к этой задаче весьма оживился, так как оказалось, что она является хорошим приближением для задачи о движении спутника в поле тяготения не строго сферической планеты. Если планета вытянута наподобие огурца, то это и неудивительно, но как быть, если она, как и реальная Земля, является сплюснутым сфероидом? Оказывается, в этом случае надо поместить неподвижные центры в комплексно сопряженные точки пространства, хотя задача и рассматривается в чисто вещественной области (изложение этих интересных и красивых результатов Е. Аксенова, Е. Гребенникова и В. Демина можно найти в [3]). Задача двух тел легко сводится к задаче Кеплера, и в соответствии с этим уравнения (1) при
Многочисленные «теории движения» (Луны, планет, астероидов, спутников планет и т. д.) сводятся в конце концов к построению частичных сумм рядов, аналогичных (5), дающих приближение, пригодное для сравнения с данными наблюдений. Многочисленные исследования XIX века посвящены разработке различных процедур, позволяющих избежать появления в чисто тригонометрических разложениях (5) «вековых» членов вида Действительно, в 1912 году К. Ф. Сундман опубликовал свою знаменитую теорему, которая была воспринята как окончательное решение задачи трех тел. Мы еще вернемся к теореме Сундмана в § 3, а пока лишь констатируем, что, имел неоспоримый теоретический интерес, она мало что дает для нужд практики. Более того, эта теорема по существу относится только к индивидуальному решению задачи трех тел и не проясняет глобальную структуру фазового потока. Поэтому, с точки зрения современной математики, задача трех тел является столь же интересным объектом исследования, как и сто лет назад. Бурное развитие вычислительной техники и появление новых небесномеханических задач, связанных с космической навигацией и движением искусственных спутников, заставили пересмотреть классические приближенные методы (за эволюцией орбит необходимо следить на протяжении тысяч оборотов, приходится учитывать вызванное асимметрией Земли отклонение поля тяготения от чисто ньютоновского и т. п.). Во многих случаях оказываются удобными прямые методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Впрочем, ЭВМ успешно сотрудничают и с традиционной техникой: в последнее время получили распространение методы построения рядов вида (5), в которых программируются операции прямо с буквенными, а не с числовыми коэффициентами, тем самым машина строит «аналитическую теорию». С другой стороны, в духе XX века — интерес к качественным проблемам, чему в основном посвящены и эти лекции. Сразу должен признаться, что в настоящее время мы не располагаем особо богатым запасом сведений, относящихся к качественным свойствам решений общей задачи n тел при
|
1 |
Оглавление
|