Главная > Лекции по небесной механике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Часть 1. О некоторых математических проблемах в небесной механике

§ 1. Основная задача небесной механики

Хорошо известно, что классическая небесная механика занимается главным образом различными аспектами так называемой «задачи n тел». Эта задача состоит в изучении движения n материальных точек притягивающих друг друга в соответствии с законом Ньютона. Обозначив через массу точки через ее радиус-вектор и через постоянную тяготения, имеем следующую систему уравнений движения:

для краткости здесь обозначено Эти уравнения определяют динамическую систему (фазовый поток) в -мерном фазовом пространстве, которое получается из выкидыванием плоскостей коразмерности 3.

Центр масс рассматриваемой системы движется прямолинейно и равномерно, так что, поместив в него начало отсчета инерциальной системы координат, будем иметь тождественно

Эти соотношения позволяют уменьшить размерность фазового пространства до за счет исключения, например, координат и скоростей одной из точек Кроме того, система (1) имеет еще 4 алгебраических интеграла:

интеграл энергии

три интеграла площадей (компоненты вектора момента количества движения)

Наряду с «общей задачей», в которой все массы предполагаются положительными, рассматриваются и предельные случаи, когда в уравнениях (1) некоторые из полагаются равными нулю. На физическом языке это означает, что мы пренебрегаем влиянием соответствующих тел на движение остальных. В этой ситуации говорят обычно об «ограниченной задаче». Особенно известной является задача о движении тела пулевой массы («планетоида» или «астероида») в поле тяготения, создаваемом двумя телами, обращающимися по круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем все три тела все время находятся в одной и той же плоскости. Собственно говоря, Пуанкаре именно этот случай назвал «ограниченной задачей трех тел», но теперь он часто именуется более пространно — «ограниченной плоской круговой задачей», в отличие от «ограниченной эллиптической задачи» и прочих. Если приравнять пулю все массы, кроме одной, то мы получим «идеальную планетную систему», в которой тела нулевой массы («планеты») обращаются около одного тела («Солнца») по чисто кеплеровским орбитам, не оказывая друг на друга никакого влияния. В классической небесномеханической теории возмущений этот случай выступает в качестве нулевого приближения.

Другой предельный случай получается, когда фиксируется положение нескольких тел; здесь обычно говорят о «неподвижных центрах притяжения». В частности, можно рассматривать простейший случай — задачу о движении одной материальной точки в поле единственного притягивающего центра. В дальнейшем мы будем называть этот случай «задачей Кеплера»; вряд ли нужно напоминать, что она была проинтегрирована еще Ньютоном и что качественный и количественный анализ ее решений лежит в основе всей небесной механики. Тем не менее, я надеюсь показать в § 2, что и здесь можно если не получить новые результаты, то по крайней мере увидеть старые с новой, неожиданной точки зрения.

Задача о движении материальной точки в поле двух неподвижных центров притяжения также принадлежит к числу интегрируемых в квадратурах [14]. Совеем недавно интерес к этой задаче весьма оживился, так как оказалось, что она является хорошим приближением для задачи о движении спутника в поле тяготения не строго сферической планеты. Если планета вытянута наподобие огурца, то это и неудивительно, но как быть, если она, как и реальная Земля, является сплюснутым сфероидом? Оказывается, в этом случае надо поместить неподвижные центры в комплексно сопряженные точки пространства, хотя задача и рассматривается в чисто вещественной области (изложение этих интересных и красивых результатов Е. Аксенова, Е. Гребенникова и В. Демина можно найти в [3]).

Задача двух тел легко сводится к задаче Кеплера, и в соответствии с этим уравнения (1) при могут быть полностью проинтегрированы. Напротив, при n 3 они в явном виде (в квадратурах) не интегрируются. В то же время практические нужды астрономии давно побудили разработку численных методов их решения. Сам характер движений небесных тел — приближенно периодический или достаточно точно аппроксимируемый наложением нескольких периодических — делает естественным построение решения в виде кратного ряда Фурье

Многочисленные «теории движения» (Луны, планет, астероидов, спутников планет и т. д.) сводятся в конце концов к построению частичных сумм рядов, аналогичных (5), дающих приближение, пригодное для сравнения с данными наблюдений. Многочисленные исследования XIX века посвящены разработке различных процедур, позволяющих избежать появления в чисто тригонометрических разложениях (5) «вековых» членов вида или . Пуанкаре подробно проанализировал в [8] эти процедуры; он же показал, что полученные ряды, вообще говоря, расходятся, хотя их частичные суммы и дают приближение к истинному решению на конечных интервалах времени. Вместе с тем, из работ Пуанкаре стало ясно, что может оказаться не безнадежной попытка решить задачу в рамках общей теории аналитических функций.

Действительно, в 1912 году К. Ф. Сундман опубликовал свою знаменитую

теорему, которая была воспринята как окончательное решение задачи трех тел.

Мы еще вернемся к теореме Сундмана в § 3, а пока лишь констатируем, что, имел неоспоримый теоретический интерес, она мало что дает для нужд практики. Более того, эта теорема по существу относится только к индивидуальному решению задачи трех тел и не проясняет глобальную структуру фазового потока. Поэтому, с точки зрения современной математики, задача трех тел является столь же интересным объектом исследования, как и сто лет назад.

Бурное развитие вычислительной техники и появление новых небесномеханических задач, связанных с космической навигацией и движением искусственных спутников, заставили пересмотреть классические приближенные методы (за эволюцией орбит необходимо следить на протяжении тысяч оборотов, приходится учитывать вызванное асимметрией Земли отклонение поля тяготения от чисто ньютоновского и т. п.). Во многих случаях оказываются удобными прямые методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Впрочем, ЭВМ успешно сотрудничают и с традиционной техникой: в последнее время получили распространение методы построения рядов вида (5), в которых программируются операции прямо с буквенными, а не с числовыми коэффициентами, тем самым машина строит «аналитическую теорию».

С другой стороны, в духе XX века — интерес к качественным проблемам, чему в основном посвящены и эти лекции. Сразу должен признаться, что в настоящее время мы не располагаем особо богатым запасом сведений, относящихся к качественным свойствам решений общей задачи n тел при большую их часть можно почерпнуть в [11], [13] и [14]. Из работ последних лет упомянем [48] и [49]; замечательная статья В. И. Арнольда [18] и появившаяся недавно статья С. Смейла [31] должны быть отмечены особо: их значение отнюдь не ограничивается рамками небесной механики, и результаты, относящиеся к задаче n тел, являются лишь одним из многих возможных применений общей теории. Далее мы рассмотрим некоторые из качественных результатов, как довольно старых, так и полученных сравнительно недавно, и относящихся главным образом к случаям n = 2 и 3.

1
Оглавление
email@scask.ru