Существование осциллирующих движений в задаче трех тел

К. Ситников

В этой работе строится система трех тел, движущихся под действием сил взаимного ньютоновского тяготения, в которой имеет место явление осцилляции, т.е. при расстояние между телами (1) и (2) ограничено, а расстояния между каждым из них и телом (3) не ограничено и не стремится к бесконечности. Этот вопрос был поставлен теоремами Лагранжа и Пуассона об инвариантности больших осей в надлежащих приближениях [1, 2]. Вначале мы построим такую систему в ограниченной задаче трех тел, когда тело (3) имеет бесконечно малую массу, а затем перейдем к конечной произвольно малой массе тела (3).

Пусть имеется в пространстве инерциальная прямоугольная система координат OXYZ. Возьмем систему двух тел (1) и (2) одинаковой произвольной массы М, центр тяжести которых все время находится в начале координат О и которые движутся под действием сил взаимного тяготения по эллипсам, лежащим в плоскости OXY, большие оси и эксцентриситеты которых равны произвольным R и Состояние этой системы определяется углом образуемым радиусом-вектором тела (1) с осью X. Определим теперь систему трех тел (1), (2) и (3), зависящую от двух параметров следующим образом: зададим при угол и координаты тела (3) бесконечно малой массы равными , а компоненты его скорости равными . Мы докажем, что для каждого значения и любой последовательности чисел (в частности, для любой последовательности, стремящейся к бесконечности) существует такое значение что в системе при t > 0 тело (3) бесконечное число раз проходит через

точку О, удаляясь от нее после к-го прохождения на расстояние, большее .

Легко видеть, что тело (3) при всех t находится на оси Z. Далее, для любого существует минимальное при котором координата тела (3) при t > 0 монотонно возрастает до плюс бесконечности. Лемма 1. Для любых существует такое положительное при котором тело (3) первый раз возвратится в точку О в момент времени t.

Вначале мы докажем, что если достаточно близко к то время первого возвращения будет сколь угодно большим. Действительно, если достаточно близко к то, на основании непрерывной зависимости решения уравнения движения тела (3) от начальных условий, максимальное удаление а тела (3) от точки О будет сколь угодно большим. При движении «вверх» во всех точках отрезка [0, а], величина скорости тела (3) меньше и поэтому время первого возвращения стремится к бесконечности вместе с .

Возьмем теперь такое при котором время первого возвращения . При изменении начальной скорости тела (3) от 0 до время его первого возвращения в точку О будет непрерывно изменяться от 0 до t, и утверждение леммы следует из того, что непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения.

Лемма 2. Существует такое число S (зависящее от R и что: если в системе в момент времени тела (1) и (2) находятся на минимальном расстоянии, а в момент на максимальном; если — ближайший к из больших моментов, обладающих этим свойством; если отрезок делится точкой О пополам и если при убывании времени от 0 координата монотонно возрастает больше, чем до S, то при возрастании времени от 0 координата монотонно убывает до минус бесконечности.

Вначале мы докажем, что если условия леммы выполнены с достаточно большим S, то . Действительно, ускорение, испытываемое телом (3) в точке z в момент времени равное больше по абсолютной величине, чем при . Поэтому величина скорости тела (3) в при достаточно большом S больше . Так как во всех точках отрезка — скорость тела (3) больше, чем в его

конце то время его прохождения меньше . Это время меньше полупериода обращения тел (1) и (2) по эллипсам, равного, как известно, и поэтому .

В каждой точке z отрезка ускорение тела (3) будет по абсолютной величине больше его ускорения в точке —z, так как в первом случае тела (1) и (2) находятся на меньшем расстоянии, чем во втором. Отсюда следует, что . Будем сравнивать при каждом ускорение тела (3), находящегося в точке с ускорением создаваемым телами (1) и (2) в момент времени в симметричной относительно плоскости OXY точке Докажем, что

при t, до которого монотонно возрастает, а первое неравенство, кроме того, при где n — целое число. Разность равная

будет при положительна, так как при этих при отрицательна, при отрицательна и при положительна. Для каждого соответствующая ему пара радиусов-векторов встречается по одному разу в каждой из других частей в моменты времени при этом Координаты тела (3) в эти моменты равны

Рассмотрим значения , где

Из этих свойств имеющих место и для следующих периодов, вытекают неравенства (1). Из этих неравенств следует, что при t, до которых монотонно возрастает. Допустим противное, и пусть — первое значение для которого Для каждого ускорение тела (3) при меньше , так как и функция убывает при даже если бы тело (3) имело большее ускорение, равное то, в силу неравенств (1) и в силу того, что равенство не могло бы иметь места.

Из неравенств (1) следует, что при возрастании времени тело (3) во всех достаточно далеких точках будет иметь скорость, меньшую —а, а потому, если S больше также то монотонно убывает до минус бесконечности. Лемма 2 доказана.

Существование осцилляции. Итак, для заданных требуется найти Возьмем и интервал имеющий своим правым концом значение настолько малый, чтобы при каждом принадлежащем тело (3) монотонно удалялось от точки О на расстояние, большее S (см. лемму 2).

Возьмем моменты времени при которых тела (1) и (2) находятся на минимальном и максимальном расстояниях, настолько большими, чтобы найденные для них по лемме 1 значения принадлежали . В системе отрезок, пройденный телом (3) за время от до лежит ниже точки О, а в системе выше, а так как его положение и длина изменяются непрерывно при изменении то найдется такое лежащее между и что в системе этот отрезок будет делиться точкой О пополам. Следовательно, по лемме 2, в системе тело (3) после первого возвращения в точку О монотонно уходит в минус бесконечность. В системе положения тела (3) в моменты времени будут симметричны относительно плоскости OXY, и поэтому после первого возвращения в точку О тело (3) будет «опускаться» лишь до конечной высоты, равной высоте первого «подъема».

Изменяя от до возьмем первое ее значение (О), при котором тело (3) после первого возвращения в точку О монотонно уходит в минус бесконечность, и возьмем настолько малый интервал , имеющий своим концом , чтобы при каждом принадлежащем

, тело (3) после первого возвращения в точку О удалялось от нее лишь на конечное расстояние, но большее S и из .

Аналогичным образом в находим такое что при значении равном тело (3) после второго возвращения в точку О монотонно уходит в плюс бесконечность, и такой интервал , имеющий своим концом что при значениях принадлежащих тело (3) после второго возвращения в точку О удаляется от нее на конечное расстояние, большее и S. При этом , т.е. вместе со своими концами содержится в .

Продолжая этот процесс дальше, мы получим убывающую последовательность интервалов причем обладает тем свойством, что при значениях принадлежащих тело (3) к раз возвращается в точку О, после чего удаляется от нее лишь на конечное расстояние, но большее а при значении равном одному из концов тело (3) после возвращения уходит в бесконечность. Отсюда следует, что существует принадлежащее всем которое и будет искомым, т.е. в системе тело (3) будет совершать осцилляции, если

Случай конечной массы тела (3). Зададим при положения и скорости тел (1), (2), (3) в иперциальпой системе координат OXYZ такими же, как и в системе массы тел (1) и (2) по-прежнему равны М, а масса тела (3) равна то. Получаем систему, зависящую от трех параметров и то. Мы докажем, что существует такое а, что для любых существует такое что в системе то при тело (3) бесконечное число раз проходит через центр тяжести О тел (1) и (2), удаляясь от него после прохождения на расстояние, большее а расстояние тел (1) и (2) всегда меньше

Лемма 3. Для любых существует такое что в любой системе то при для любого значения времени движение тел (1) и (2) при отличается меньше чем на от движения тел (1) и (2) по некоторым эллипсам с параметрами R и е (равными параметрам «основных» эллипсов) только под действием сил взаимного тяготения (без влияния тела ).

Все время разбиваем на интервалы произвольной длины Т и на каждом из них аппроксимируем движения тел (1) и (2) в системе то эллиптическими движениями. Выбираем моменты времени при которых расстояния тел (1) и (2) минимальны и максимальны

в этих аппроксимациях. При этом если достаточно мало, то при любых имеем в силу леммы где n пробегает все целые числа, и е сколь угодно мало.

Схема построения примера осцилляции остается такой же, как в ограниченной задаче. В системе выбираем достаточно большие . При возрастании от 0 время возвращения тела (3) в точку О будет расти до бесконечности, а времена этих выбранных минимума и максимума изменяются в ограниченных пределах разрывным образом, но величины их скачков сколь угодно малы, если то достаточно мало. Поэтому существуют такие и при которых времена возвращений будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих . Построение продолжается дальше, причем лемма 2 для системы , то, от в предположении, что те достаточно мало, сохраняет свою силу.

Литература

[1] J. Chazy. Math, pure et appl, 8, 354 (1929).

[2] H. Poincare. Methodes nouvelles de la mecanique celeste. 3, Paris, 1899. P. 141.