Часть 2. Символическая динамика

В последние годы в качественной теории дифференциальных уравнений значительное внимание уделяется «неправильно устроенным» объектам, для описания которых классические аналитические средства: асимптотические формулы, ряды теории возмущений и т. п., оказались непригодными. Примером может служить инвариантное множество, связанное с «подковой Смейла», которое было рассмотрено в лекциях А. В. Катка.

Здесь мы имели дело с диффеоморфизмом двумерной сферы , который, при желании, мог бы быть задан явными формулами и мог бы быть класса . Максимальное множество А, инвариантное относительно этого диффеоморфизма и содержащееся в квадрате Q, — объект вполне естественно определенный — является произведением двух канторовых множеств (и, стало быть, само гомеоморфно канторову множеству), а действие f на топологически сопряжено «преобразованию пекаря». Как мы видели, это действие довольно сложно: в А содержится всюду плотное подмножество Р, состоящее из периодических точек диффеоморфизма для любых из А найдется счетное подмножество таких точек , что траектория асимптотичпа при к траектории , а при — к траектории и т.д. Кроме того, множество А не разложимо, поскольку существуют точки , траектории которых всюду плотны в .

Трудно представить себе, каким образом эту сложную ситуацию можно было бы адекватно описать аналитическими формулами в классическом духе. В то же время действие ограничения на множестве А полностью определяется тем, что топологически сопряжено гомеоморфизму сдвига в пространстве бесконечных в обе стороны двоичных последовательностей. Существование гомеоморфизма

с коммутативной диаграммой

позволяет установить как уже упомянутые свойства диффеоморфизма так и некоторые другие. Таким образом, последовательность двоичных символов является как бы кодом траектории точки изучал коды и сдвиг, мы изучаем с топологической точки зрения действие f на .

Кодировка траекторий гладких динамических систем последовательностями натуральных чисел или последовательностями символов некоторого конечного алфавита впервые, по-видимому, была применена для описания глобального поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны (Ж. Адамар, М. Морс и другие; см., например, [1] гл. 8, § 11). Это послужило толчком для изучения различных свойств гомеоморфизма сдвига в различных подпространствах пространства р-ичных последовательностей. Весь круг связанных с этим идей и понятий получил название «символической динамики» ([52]). Однако некоторое время после этого отображение изучалось главным образом с точки зрения эргодической теории, тем более что оно тесно связано с эргодическими динамическими системами вероятностного происхождения — марковскими цепями и, в частности, со схемой Бернулли. Мы еще вернемся далее к этой связи.

С другой стороны, при изучении колебаний, описываемых уравнением второго порядка

где — подходящие нелинейности, а возмущающая сила р периодична, Н. Левинсон [53], М. Картрайт и Дж. Литлвуд [54] обнаружили ситуацию, в которой также появлялось естественным образом пространство . А именно: в рассматривавшихся ими примерах диссипативных систем, описываемых уравнением (2), множество «предельных режимов» содержит подмножество, находящееся во взаимно однозначном соответствии с точками из (изложение работы Лсвинсопа можно найти также в [55], § 15).

Наконец, в 1961 году на Киевском симпозиуме по теории нелинейных колебаний С. Смейл [58] привел пример, существенной частью которого была знаменитая «подкова».

Рис. 9

Напомним, что в «подкове Смейла» псрсссчспис квадрата Q с его образом состоит из двух компонент . Поэтому

где — всевозможные последовательности из 0 и 1. Существенно, что для каждой последовательности пересечение состоит ровно из одной точки и что отображение оказывается гомеоморфизмом на , эквивариантным в том смысле, что , т. е. что диаграмма (1) коммутативна.

Рис. 10

Разумеется, эту конструкцию можно варьировать разными способами. Рассмотрим, например, ситуацию, изображенную на рис. 10.

Множество Q состоит теперь из двух прямоугольников , а пересечение — из пяти компонент

Как и в случае «подковы», предполагается, что — прямоугольники, которые надо в дальнейшем представлять себе лежащими в плоскости и со сторонами параллельными оси координат. Прилагательные «горизонтальный» и «вертикальный» относятся именно к такому представлению. Отображения предполагаются линейными (гиперболическими поворотами), сжимающими в вертикальном и растягивающими в горизонтальном направлениях. Пусть снова — максимальное инвариантное множество, содержащееся в Q. Тогда, как и выше,

но теперь символы принадлежат алфавиту из пяти букв 0,1,2,3,4. Каждой точке можно поставить в соответствие ровно одну последовательность так, что . Однако теперь уже не для всякой последовательности пересечение . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пересечение

Множества содержатся в и поэтому не пересекаются с , которые лежат в . Напротив, лежат в и пересекаются с но не с .

Поэтому в выражении пересечения будут

непусты не для всех пар , а лишь для тех, для которых в матрице

соответствующие элементы равны 1. Точно так же доказывается, что если .

Обозначим через подмножество в пространстве состоящее из тех последовательностей для которых при всех n. Пространство может быть наделено тихоновской топологией; в этой топологии окрестность последовательности состоит из всех последовательностей совпадающих с на некотором (фиксированном для данной окрестности) отрезке номеров . Легко видеть, что

где только тогда, когда для каждого n начиная с некоторого места (своего для разных этой топологии пространство компактно, а подмножество замкнуто, а потому также компактно; гомеоморфизм, относительно которого подмножество инвариантно.

По аналогии с теорией вероятностей гомеоморфизм называется топологической марковской цепыо (ТМЦ), а матрица — матрицей допустимых переходов этой цепи.

Рассуждая так же, как и в случае «подковы», мы установим, что отображение является гомеоморфизмом между и . При этом

так что гомеоморфизм эквивариантен и диаграмма

коммутативна.

Односторонним последовательностям

можно сопоставить пересечения

Первое из них является вертикальным, второе — горизонтальным отрезками, проходящими в Q через точку

отвечающую полной последовательности составленной из и . Из определения видно, что и удовлетворяют соотношениям

Касательные проведенные в каждой точке , определяют на (так же, как и в случае «подковы») структуру гиперболического множества (см. лекции А. В. Катка). Сами и являются локальными кусками листов инвариантных слоений, связанных с гиперболическим множеством .

Локальный диффеоморфизм легко продолжить до глобального диффеоморфизма двумерной сферы. Первый этап соответствующего построения — отображение диска в себя — представлен на рис. 11. Далее можно действовать, как в случае «подковы», и продолжить так, чтобы вне диска он имел единственную отталкивающую точку

Рис. 11

Легко видеть, что множество нсблуждаюших точек построенного этим способом диффеоморфизма состоит из отталкивающей точки , гиперболического множества и притягивающей траектории периода (точки на рис. 11).

Этот диффеоморфизм можно считать бесконечно гладким, и для него выполняются условия теоремы Роббина (см. лекции А.В. Катка). Поэтому f является -грубым, т.е. целая его окрестность в -топологии состоит из диффеоморфизмов, топологически сопряженных .

Рис. 12

Для того чтобы представить себе более наглядно, какие последовательности «допустимы», т. е. принадлежат удобно воспользоваться «маршрутной схемой» (рис. 12). В этом графе вершины а и b символизируют квадраты рис. 10, а ребра, занумерованные от 0 до 4, — пересечения имеющие соответствующий номер. Нетрудно убедиться, что пересечение непусто тогда и только тогда, когда в графе рис. 12 конец ребра с номером является началом ребра с номером j. Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда последовательность есть последовательность номеров ребер некоторого бесконечного в обе стороны пути в графе рис. 12. Точно также отвечает пути бесконечному вперед, с начальным ребром — пути, бесконечному назад, с последним ребром .

Покажем теперь, что гомеоморфизм топологически транзитивен и что его периодические точки плотны в . Поскольку

ограничение на топологически сопряжено обладает на теми же свойствами.

Пусть произвольная последовательность в и U — некоторая ее окрестность, состоящая из всевозможных последовательностей совпадающих с на отрезке номеров . Пусть этот отрезок в начинается символом и оканчивается символом .

Рассмотрим граф рис. 12. Очевидно, что для любой пары и его ребер в этом графе существует путь, в котором V — начальное ребро, а — конечное. В частности, существует путь , скажем, состоящий из к ребер, начальное ребро которого имеет номер , а конечное номер . Построим теперь периодическую последовательность следующим образом. На отрезке (иначе не попадет в U). Символы же возьмем равными номерам ребер, входящих в путь 7. Построенному блоку из — к символов отвечает замкнутый путь в графе. Вся последовательность получается теперь периодическим повторением этого блока.

Таким образом, любая окрестность любой точки содержит периодическую последовательность из и этим доказано, что периодические точки гомеоморфизма Т плотны в . Применяя близкие рассуждения, можно построить последовательность , траектория которой и даже только полутраектория всюду плотна в .

Занумеруем в произвольном порядке всевозможные конечные блоки , в которых символы от 0 до 4 встречаются в допустимом порядке (т.е. для соседних символов и или соответствующая блоку последовательность ребер в графе рис. 12 образует путь). Пусть блок начинается символом и оканчивается символом . Как уже отмечалось, существует допустимый блок символов с началом и концом . Возьмем теперь последовательность

в которой элементы произвольны, , а далее стоят

поочередно блоки так, что конец одного блока является началом следующего.

Пусть теперь U окрестность произвольной точки состоящая из последовательностей, совпадающих с на отрезке номеров . Пусть блок занумерован нами как и его начало стоит в на месте с номером N. Тогда . Поэтому положительная полутраектория точки рано или поздно попадает в любую окрестность любой точки т.е. всюду плотна. Следовательно, топологически транзитивно, что и утверждалось.

Рассмотренный только что диффеоморфизм может показаться слишком искусственным. Однако символическая динамика появляется и в более естественных примерах.

Возьмем уже встречавшийся в лекциях А. Г. Кушнирспко и А. Б. Катка автоморфизм тора задаваемый формулами

Как линейное отображение плоскости (5) является гиперболическим поворотом с неподвижной точкой и инвариантными прямыми:

растягивающаяся сепаратриса

сжимающаяся сепаратриса

(здесь — золотое сечение).

Рассмотрим на плоскости XOY прямоугольники: , стороны которого АВ и AD — отрезки сепаратрис (6) и (7), ВС и CD — отрезки прямых, параллельных тем же сепаратрисам, но проходящих через точки (1,0) и (1,1) (заметим, что вершины единичного квадрата изображают одну и ту же точку на торе, а поэтому AD и ВС — отрезки одной и той же сепаратрисы; то же относится и к АВ и CD), и , сторона DG которого лежит на AD, EF и ED — отрезки прямых, параллельных сепаратрисам (6) и (7) и проходящих через (1,1), a FG лежит на прямой, параллельной сепаратрисе (7) и проходящей через (0,1) (снова все это разные отрезки одной и той же пары сепаратрис на торе).

Легко видеть (рис. 13), что объединение покрывает весь тор (для наглядности куски плоскости, являющиеся одним и тем же подмножеством тора, отмечены одинаковыми римскими цифрами), причем общих внутренних точек не имеют.

Рис. 13

Рассмотрим теперь, что делает с автоморфизм (5). На плоскости он сжимает их в направлении сепаратрисы (7) и растягивает в направлении сепаратрисы (6) в (см. рис. 14). Образы точек В, С и т.д. обозначены штрихами . Образы снова покрывают весь тор, а пересечения с их образами можно разбить на пять прямоугольников .

Рис. 14

В самом деле, изображается на плоскости прямоугольником где на плоскости получается как пересечение с прямоугольником EKLM, а на торе снова есть часть (ибо EKLM получается из ABCD параллельным целочисленным переносом, а на торе это одно и то же множество), .

Точно так же , где . Мы видим теперь, что пересечения устроены точно так же, как на рис. 10, однако теперь , так что не остается «лишних» точек, но зато некоторые точки тора покрыты дважды (на рис. 10 различные ; попарно не пересекаются, а теперь они могут пересекаться, хотя только по границе). Отображения являются гиперболическими поворотами, и мы можем провести те же построения, которые были применены для исследования «подковы Смейла» и диффеоморфизма рис. 10 и 11. Снова появляются пространство , где — матрица (3), и .

Теорема ([57]). Существует отображение непрерывное и гомеоморфное на дополнении множества первой категории в смысле Бэра в такое, что и диаграмма

коммутативна.

Упоминаемое здесь множество первой категории получается как прообраз сторон прямоугольников и всех их сдвигов под действием автоморфизма f. Прообраз каждой стороны оказывается в нигде не плотным, поэтому множество, где не является гомеоморфизмом, представляет собой счетное объединение нигде плотных множеств, что, собственно говоря, и является определением «множества первой категории».

Какие следствия мы можем извлечь из этой теоремы? Прежде всего мы уже видели, что периодические точки сдвига Т плотны в . Если , то из диаграммы (8) видно, что , а потому периодическая точка автоморфизма . Пусть q произвольная точка тора и . По доказанному выше, существует последовательность периодических точек но тогда — последовательность периодических точек автоморфизма сходящаяся . Следовательно, периодические точки автоморфизма плотны в .

Точно так же доказывается, что в существует всюду плотная (полу)траектория, в силу чего оказывается топологически транзитивным.

Проанализировав, какие точки в отождествляются при отображении , мы можем любой топологический вопрос, относящийся к свойствам автоморфизма , выразить в терминах «топологической динамики». Во многих случаях этот подход оказывается весьма удобным.

Далее, рассмотрим в пространстве всевозможные «цилиндры»

При отображении такой цилиндр переходит в пересечение

Пусть р обозначает обычную лебегову меру (площадь), перенесенную на тор с плоскости. Припишем каждому цилиндру (9) меру, которую обозначим

Нетрудно проверить, что так определенная на всех цилиндрах мера удовлетворяет условиям известной теоремы А. Н. Колмогорова, и тем самым и может быть продолжена на все борелевские множества в . Автоморфизм (5) сохраняет площадь: , так как определитель его матрицы ; тем же свойством обладает и отображение Т. Чтобы доказать это, возьмем сначала произвольный цилиндр образом которого будет цилиндр , где . Из формулы (10) следует, что

Определим в новую меру v равенством . Тогда на всех цилиндрах выполняется равенство

Из теоремы А.Н. Колмогорова следует, что в этом случае , т.е. , что и означает инвариантность меры .

Из равенства (10) можно вывести, что для любого борелевского подмножества тора выполняется равенство . Множества в , на которых не взаимно однозначно, имеют меры 0. Поскольку в метрической теории динамических систем («Эргодической теории») принято пренебрегать множествами меры 0, с этой точки зрения оказывается изоморфизмом отображений пространств с мерой . При этом мера v в пространстве есть не что иное, как распределение вероятностей некоторой марковской цепи. Это означает, что найдутся такие что для любого цилиндра

Матрица называется в теории вероятностей матрицей вероятностей перехода, — стационарными вероятностями состояний данной цепи.

Аналогичными рассуждениями Р. Адлер и Б. Вейс установили ([57]), что любой эргодический автоморфизм двумерного тора, задаваемый целочисленной унимодулярной матрицей, изоморфен, с точки зрения эргодической теории, некоторой стационарной марковской цепи. Этот изоморфизм позволил им провести классификацию всех таких автоморфизмов. Единственным инвариантом при этом оказалась энтропия автоморфизма в смысле А.Н. Колмогорова, равная логарифму модуля того из собственных чисел матрицы автоморфизма, у которого этот модуль больше эргодического автоморфизма тора одно из собственных чисел обязательно таково).

Еще одна ситуация, в которой применимы методы символической динамики, связана с так называемыми гомоклиническими точками. Пусть р — гиперболическая неподвижная точка диффеоморфизма произвольного многообразия, и пусть — ее инвариантные устойчивое и неустойчивое многообразия (см. лекции А. Г. Кушниренко). Точка называется гомоклинической точкой точки р. Ее траектория двояко-асимптотична в том смысле, что как при так и при Если в точке q многообразия пересекаются трансверсально (т.е. касательные плоскости порождают все касательное пространство точки q), то точка q называется трансверсальной гомоклинической точкой. В лекциях А. Г. Кушниренко уже отмечалось, что гомоклинические точки связаны с чрезвычайно запутанной картиной типа, изображенной на рис. 15. Символическая динамика

позволяет представить поведение диффеоморфизма около траектории трансверсальной гомоклинической точки в довольно обозримом виде.

Рассмотрим компактное множество Г, состоящее из траектории точки q и точки р, и покроем его конечным числом достаточно малых окрестностей следующим образом (рис. 16). Сначала точка р покрывается некоторой окрестностью

Рис. 15

Кроме р, эта окрестность накроет все точки траектории за исключением некоторого конечного числа. Эти оставшиеся точки покроем по одной попарно непересекающимися окрестностями . Из этого построения сразу следует, что пересечения

непусты (первое содержит точку р, а остальные — по крайней мере по одной точке траектории . Изобразим эту ситуацию в виде графа (рис. 17), ребра , которого соответствуют пересечениям , а также с помощью матрицы

Как и раньше, этой матрице отвечает подмножество в пространстве последовательностей из символов входят те последовательности у которых на соседних местах стоят только такие пары символов , которым отвечает ребро в графе рис. 17 или единица в матрице (12). (Обратите внимание на то, что граф рис. 17 используется несколько по-другому, чем граф рис. 12.) Подмножество инвариантно относительно гомеоморфизма сдвига Т; это дает нам новую .

Рис. 16

Рис. 17

Теорема ([58]). Для всякого открытого множества V, содержащего множество Г, можно выбрать окрестости таким образом, чтобы:

1)

2) максимальное инвариантное множество содержащееся в U, является гиперболическим множеством, для ;

3) ограничение топологически сопряжено существует гомеоморфизм такой, что диаграмма

коммутативна.

Число N зависит от выбора окрестности V и растет с ее уменьшением.

Граф рис. 17 и матрица (12) схематически изображают пересечения (11). Вообще говоря, непустыми могут быть и другие пересечения и можно было бы поставить вопрос о возможности расширения пространства допустимых последовательностей за счет добавления к графу рис. 17 новых ребер (соответственно за счет замены в матрице (12) некоторых нулей единицами).

Такое расширение однако всегда продуктивно. Основной этап построения гомеоморфизма связан с доказательством того, что пересечение

Рис. 18. «Хорошее» пересечение

Рис. 19. «Плохие» пересечения

непусто, когда допустимы все попарные пересечения («марковское свойство»). Для «подковы Смейла» и диффеоморфизма рис. 10 это утверждение легко следовало из линейности отображений и простых геометрических соображений. В общей ситуации, с которой мы сталкиваемся в окрестности траектории гомоклинической точки, доказательство подобного «марковского свойства» становится нетривиальным. Для его справедливости нужно, чтобы пересечения были не только непусты, но еще и достаточно «хороши». Не вдаваясь в подробности, поясню сказанное рисунками 18 и 19; более подробно о том, что значит «хорошее» пересечение, см. в [59].

С другой стороны, сформулированная выше теорема утверждает, что множество является максимальным инвариантным множеством в некоторой своей окрестности, поэтому его расширение возможно лишь за счет добавления траекторий, достаточно далеко уходящих от . Дело обстояло совсем не так в случае исходного множества Г. Оно так же инвариантно, и из условия трансверсальности пересечения в гомоклинической точке можно вывести, что Г — гиперболическое множество. Однако оно не является «локально максимальным», поскольку теорема как раз и утверждает, что любая окрестность V, содержащая Г, содержит большее инвариантное множество .

Перейдем к обсуждению следствий, которые можно извлечь из

сформулированной выше теоремы. Как и в предыдущих случаях и теми же самыми рассуждениями, доказывается, что действует на топологически транзитивно и что периодические точки плотны в . Каждая траектория взаимно однозначно кодируется последовательностью . С помощью рис. 17 легко сообразить, что эта последовательность устроена следующим образом. В ней всегда есть пули; после каждого пуля может стоять либо пуль, либо единица, причем последняя всегда является началом блока . Таким образом, состоит из пулей, в которые вкраплены блоки а (не исключено, что несколько или даже бесконечно много блоков а могут при этом идти подряд):

Число блоков (т может быть конечным или бесконечным: они могут встречаться в последовательности неограниченно далеко вправо или влево, или в обе стороны.

При отображении последовательность перейдет в точку . Для примера рассмотрим как в (14). Ей отвечает точка . В силу (13)

Аналогично, и дальнейшие итерации дважды пройдут последовательно все окрестности затем три раза попадет в и т.д.

Пусть и Рассмотрим подмножество инвариантное относительно и состоящее из последовательностей, у которых . В силу инвариантности тогда и на всех местах, помер которых делится должны стоять пули: и, чтобы описать достаточно выяснить, какие блоки из символа могут встретиться между двумя нулями. Снова обратившись к рис. 17, мы найдем, что таковыми могут быть только следующие s блоков:

Таким образом, каждая последовательность имеет вид

где индексы могут принимать независимо любое значение . Ясно, что находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством всех последовательностей из s символов. Преобразование Тк сдвигает (15) на s символов влево, что приводит к появлению на месте блока блока . Это в точности то же самое, что делает сдвиг Т на . Это доказывает, что гомеоморфизм сопряжен с гомеоморфизмом .

Отображение переносит эту сопряженность на многообразие. Так как у всех последовательностей из то .

И мы получаем

Следствие. Если р — гиперболическая неподвижная точка диффеоморфизма , обладающая трансверсальной гомоклинической точкой, то для любой окрестности и любого натурального s найдутся такие к и подмножество инвариантное относительно что ограничение топологически сопряжено гомеоморфизму сдвига в пространстве s-ичных последовательностей. (Для s = 1 это утверждение тривиально).

Именно так был сформулирован первоначальный результат С. Смейла [60], показавший возможность использования методов «символической динамики» в общей гомоклинической ситуации. При этом Смейл предполагал еще, что диффеоморфизм f приводим к линейному в некоторой окрестности точки р за счет подходящего выбора системы локальных координат — предположение, хотя и несущественное с точки зрения «общего положения» (ибо сколь угодно малым изменением можно добиться его выполнения), но все же излишнее.

Вернемся к пространству . Каждая последовательность, ему принадлежащая, однозначно с точностью до сдвига восстанавливается, если будут указаны длины серий из пулей, разделяемых блоками Таким образом, элементы из могут быть закодированы последовательностями натуральных чисел, а именно

соответствует элементу

Если в все символы при , то последовательность (16) будет ограничена справа (можно завершить ее символом ), точно так же она может быть ограничена слева или даже состоять из конечного числа символов (если w содержит лишь конечное число блоков а). Заметим, что если при , то стремится при к последовательности, состоящей из одних нулей. Последовательность из одних нулей неподвижная точка отображения сдвига и переходит при отображении в неподвижную точку р диффеоморфизма . Отсюда следует, что последовательностям (16), ограниченным справа, отвечают точки, траектории которых — асимптотичпы к р. Аналогично, последовательностям (16), ограниченным слева (с двух сторон), отвечают точки, траектории которых -асимптотичны (двоякоасимптотичны) к р. Подобное описание (в терминах последовательностей (16)) траекторий, остающихся в окрестности замыкания траектории гомоклинической точки, предложено Л. П. Шильниковым [61] (правда не для диффеоморфизма, а для потока, но это не очень существенно. Приведенное выше описание в терминах ТМЦ представляется мне более отвечающим сути явления, тем более что оно без труда переносится на более сложные ситуации.