§ 2. Свойства отображения S

В предыдущем параграфе мы построили отображение область определения которого совладает с при и лежит внутри гладкой кривой при . На области определены также две функции ; напомню, что — ближайший следующий за момент, когда значение в этот момент (рис. 21). Аналогично, на области определены функции: — ближайший предшествующий момент, когда Отображение отвечает переходу от одного нуля решения к следующему (рис. 21); лежит между и и для пары начальных условий играет роль момента , т. е.

Отсюда

и вспоминая, что на по определению заключаем, что или .

Рассмотрим отображения определяемые в полярных координатах равенствами . Из стандартных теорем теории дифференциальных уравнений сразу следует, что являются диффеоморфизмами, а диаграмма

согласно (5) и (6), коммутативна. Отображения можно продолжить и на точку 0, которая оказывается неподвижной, но тогда они будут лишь гомеоморфизмами, так как, вообще говоря, в точке 0 гладкость теряется.

Уравнение (1) эквивалентно канонической системе

с гамильтонианом

Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана на плоскости принимает вид и на Ф, где — полярные координаты, равен с обратным знаком площади, ограниченной контуром 7. Так как сохраняется при сдвиге по траекториям фазового потока, а отображение S именно так и получается, то S сохраняет площадь на Ф.

В стационарном случае, когда Q не зависит от времени, и, в частности, для усредненного уравнения (4) отображение S выглядит достаточно просто. Из интеграла энергии (3) находим:

где — функция, обратная к . Таким образом, окружности при этом отображении инвариантны и каждая из них поворачивается на свой угол. Если теперь предположить, что функция достаточно гладкая и мало отличается от стационарной, то мы окажемся в сфере применимости теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Согласно этой теории, отображение S и в нестационарном случае будет обладать инвариантными кривыми, близкими к окружностям. Пусть Г — одна из таких кривых. Если начальные условия взять внутри Г, то и вся траектория будет лежать внутри Г, а соответствующее решение x(t) оказывается колеблющимся и ограниченным. Поэтому вся область, внутренняя к Г, принадлежит ,

чем и объясняется замечание, сделанное в предыдущем параграфе после формулировки теоремы 1. Учитывая, что S сохраняет площадь, заключаем, что почти все точки, лежащие внутри Г, равно как и порожденные ими решения уравнения (1), устойчивы по Пуассону (теорема Пуанкаре о возвращении).

Если , то из сохранения площади выводится также, что почти все решения уравнения (1), гиперболические или параболические при , будут таковыми и при . Это утверждение является следствием известной теоремы или [66, гл. 6]), но все же поучительно привести его доказательство, поскольку оно несложно и наглядно).

Будем обозначать множества начальных условий на плоскости Ф, порождающих решения данного финального типа, теми же символами, что и сами типы, так что, например или — множества точек , порождающих соответственно гиперболические или параболические решения уравнения (1), имеющие ровно n нулей при . Множество

лежит в и переводится отображением S в (почему?). Из определения следует, что все попарно не пересекаются, а так как все они имеют одинаковую меру Лебега (свойство отображения S) и лежат в ограниченной области , то мера каждого из них, а следовательно, и всех вместе равна нулю. Остается заметить, что

Аналогично равна нулю и мера множества что и утверждалось в теореме 1.

Если точка (, то) переводится отображением S в себя, т.е. если то в силу нечетности Q по соответствующее этой точке решение x(t) уравнения (1) удовлетворяет тождеству

Отсюда заключаем, что — то является для антипериодом — периодом. Несложная выкладка показывает, что

Основываясь на идее, восходящей еще к Пуанкаре, можно попытаться доказать существование таких периодических решений при помощи следующего рассуждения. Рассмотрим область G, состоящую из точки 0 и тех точек в которых

При достаточно большом n обе области G и SG непусты, содержат точку 0 и имеют одинаковые площади, а потому их границы Г и ST имеют общие точки. Следовательно, имеют общую точку (X, Т) и кривые .

Положим, . Тогда и поскольку , а на границе G должно выполняться (11), . Следовательно, точка

лежит на том же луче , что и точка (X, Т).

Предположим теперь, что кривая звездна относительно точки О, т.е. что каждый луч пересекает ровно в одной точке. Тогда обе точки должны совпасть: , откуда в силу (7)

Таким образом, искомая неподвижная точка найдена.

К сожалению, мне не удалось доказать выделенное выше предположение о звездности 7 при общих предположениях относительно функции Q. Для каждого фиксированного n его можно получить, потребовав, чтобы функция Q мало отличалась от стационарной, поскольку в стационарном случае кривые (11) и их образы при отображении суть окружности. Можно ли то же самое проделать для бесконечно многих n одновременно — неясно. Поэтому для доказательства существования бесконечного числа субгармоник периода , как это сформулировано в теореме 1, приведенное выше рассуждение пришлось несколько изменить.

Возьмем вместо кривой Г, определяемой уравнением (11) (неясно, кстати, не может ли Г состоять из нескольких компонент; этот вопрос

так же, как и вопрос о звездности , родствен проблеме 4, сформулированной в конце § 1), семейство кривых Согласно лемме из § 1, эти кривые диффеоморфны окружностям и

Вспоминая определение функции убеждаемся, что на кривой выполняется равенство , где определяется из соотношения , а потому является окружностью с центром в 0, т.е. условие звездности тривиально выполнено.

Если теперь найдется такое с, что для некоторой точки из пересечения (оно не пусто, так как S сохраняет площадь) выполняется (11), то все приведенные выше рассуждения остаются в силе и эта точка будет неподвижной для отображения S.

Точки пересечения определяются уравнением

и, если уравнение (1) типично в смысле § 1, существует дуга такая, что . В случае это сразу следует из теоремы о неявной функции, примененной в окрестности трансверсальной точки пересечения кривых . В случае используется асимптотика функций при , в которой существенную роль играет функция .

Из предположений АЕ можно вывести, что вдоль дуги а разность при с . Поэтому для всех больших n на ней найдутся точки, где выполнено (11), что и заканчивает доказательство.

Займемся теперь несколько подробнее свойствами отображения S в случае потенциальной ямы конечной глубины Как уже было сказано, и в простейшем «типичном» случае эти кривые пересекаются в двух точках (рис. 23), разделял Ф на 4 области. Поведение решений с начальными условиями , взятыми в этих областях, представлено на рис. 24, а)-г). Точкам , лежащим вне обеих кривых, соответствует решение, имеющее единственный нуль и гиперболическое в обе стороны (рис. 24, а). Точки «языка» лежащие внутри но вне отвечают решениям, гиперболическим при но имеющим при по крайней мере еще один

Рис. 24

Рис. 25

нуль (рис. 24, б). Отображение S переводит причем по мере приближения время возвращения . расстояние между нулями на рис. 24, б), стремится к бесконечности. В пределах «языка» можно считать ограниченным, если фиксировать одну из ветвей полярного угла на плоскости Ф. Тогда при приближении к и потому образом «языка» при отображении S будет спиралевидная «змея», наматывающаяся бесконечно своим «хвостом» на кривую (рис. 25).

Нетрудно сообразить, что начальные условия , принадлежащие «змее», порождают решения типа , т.е. имеющие при ровно 1 нуль и гиперболические при (рис. 26, а). Различие между этим рисунком и рис. 24, б) вызвано, с одной стороны, нашим соглашением: рассматривать только (что привело к зеркальному отражению , а с другой — тем, что стоит теперь там, где раньше стояло , что соответствует выполнению отображения .

Часть «змеи» (рис. 25), оказавшаяся вне , отвечает решениям (рис. 26, б), а та часть, которая находится внутри отвечает решениям, имеющим по крайней мере три нуля (рис. 26, в). (Для простоты мы здесь и далее упоминаем предельные случаи решений, параболических в ту или другую сторону.) Пересечение

содержит счстпос число компонент, которые накапливаются к дуге кривой , лежащей внутри . Отображение S переводит которое также состоит из счетного числа компонент. За исключением, быть может, конечного числа, каждая из компонент представляет собой двойную спираль, между ветвями которой лежит «змея» Н. Обе ветви вместе с «хвостом» наматываются на (рис. 27). Последовательность этих двойных спиралей накапливается к границе «змеи» Н т. е. к кривой .

Рис. 26

Это построение повторяется неограниченно. В конце концов, мы получаем следующее представление о строении множества

Каждой из множеств , лежит внутри , состоит из счетного числа компонент, из которых конечное число может быть устроено неправильно, а остальные являются двойными спиралями, охватывающими «змею» как на (рис. 27), и наматывающимися на изнутри. Каждая такая компонента ограничена двумя кривыми, являющимися компонентами множества эти кривые диффеоморфпы прямой и наматываются обоими концами на .

Рис. 27

Наконец, каждая из этих кривых является пределом счетной последовательности компонент множества

Ясно, что и дополнение устроено довольно сложно. Его структуру можно отчасти понять, рассматривая пересечение с трансверсалью к кривой (рис. 25). Функция

Рис. 28

является на транстверсали, координатой, по крайней мере в окрестности точки пересечения с причем самой этой точке отвечает значение . Точки, в которых принадлежат , а интервал лежит в (рис. 28). При достаточно малом след множества на отрезке трансверсали получается при помощи конструкции, аналогичной хорошо известной конструкции канторова множества. На первом этапе из отрезка выбрасывается счстпос семейство интервалов сходящихся к 0. Затем из каждого отрезка выбрасывается счетное число интервалов сходящихся к при при Далее, из каждого оставшегося отрезка выбрасывается счетное семейство интервалов и т.д. Каждый из выкидываемых интервалов принадлежит одной из компонент множества а его концы принадлежат После выкидывания всех интервалов остается нульмерное множество, которое и образует след на отрезке трансверсали. Соответственно множество имеет вблизи локальную структуру произведения нульмерного компакта (т. е. в конечном счете канторова множества) на одномерный отрезок. Вся картина около напоминает до некоторой степени слоеный пирог, в котором слоями варенья располагаются гиперболические области, окаймленные параболическими кривыми, между которыми запрятан континуум листов осциллирующих и ограниченных движений.

Совершенно аналогичную структуру имеют множества

только спирали наматываются в этом случае на кривую

Для того чтобы выяснить, как могут сочетаться между собой типы поведения решений при и при нужно наложить оба спиральных слоеных пирога друг на друга. В типичном случае, когда и пересекаются трансверсально, это наложение в некоторой окрестности U точек пересечения происходит правильно в том смысле,

что каждый из листов одной структуры псрссскастся с каждым листом другой структуры, попавшим в ту же окрестность U. Отсюда без труда получаются все оставшиеся еще не доказанными утверждения теоремы 1. Можно, однако, пойти далее. А именно: в окрестности точек трансверсального пересечения и удается выделить инвариантное множество, на котором действие S описывается в терминах «символической динамики».

Пусть — одна из таких точек. В достаточно малой ее окрестности в качестве координат можно взять

Значения отвечают самой точке Р; соответствующее ей решение уравнения (1) имеет единственный нуль и параболично при . Обозначим это решение в дальнейшем оно нам еще понадобится. Окрестность U будем считать заданной неравенствами

Нижняя половина U в силу неравенства принадлежит (см. § 1), и потому в ней определено отображение S. На множестве — это отображение можно записать в координатах (14); учитывая равенство , имеем

Производную можно найти и оцепить из условия сохранения площади, а именно:

где . При достаточно малой окрестности U отношения близки к 1 и, значит, . В дальнейшем будем считать, что U выбрана так, что .

При выполнении неравенства дифференциал отображения (15) будет гиперболическим линейным отображением, т.е. имеет действительные собственные числа, одно из которых по модулю меньше, а другое больше 1. При сделанном выше соглашении о выборе окрестности U это означает, что должно быть больше . Однако для того, чтобы иметь возможность проводить некоторые мажорантные оценки, мы потребуем, чтобы f было велико «с запасом», а именно: чтобы в для некоторого выполнялось неравенство

Пересечение заведомо не пусто. В самом деле, на дуге кривой , которая в координатах (14) есть часть биссектрисы (рис. 29), лежит последовательность неподвижных точек отображения S, сходящаяся к Начиная с некоторой, все они лежат в U, а следовательно, и в .

Пусть — одна из этих неподвижных точек, у которой . Обозначим через I компоненту множества содержащую эту точку. Наша ближайшая цель показать, что и располагаются в U «правильно» (см. рис. 18 в предыдущей части).

Рис. 29

Проведем через отрезок А вертикальной прямой до пересечения с границей образ обозначим (рис. 29). Поскольку А и лежат в U, время возвращения для решений уравнения (1) с начальными условиями, принадлежащими , остается ограниченным (для периодического решения, определяемого точкой — это время равно , а для остальных — не может отличаться от более чем на удвоенное колебание полярного угла в окрестности U). Поэтому верхняя граничная точка отрезка А не может лежать на линии т.е. на поскольку при приближении к как уже говорилось в § 1, время возвращения стремится к бесконечности. В силу равенства (см. (15)) отсюда следует, что и отделено от прямой и лежит

строго слева от нее. Из соотношения

предположения и неравенства (7) находим, что на отрезке выполняется неравенство

и потому весь отрезок вместе с концами лежит внутри . Для это означает невозможность выхода на вертикальные стороны прямоугольника , а потому концы должны лежать на прямых Поэтому пересекает каждую горизонтальную прямую, а из (17) следует, что ровно в одной точке, ибо в противном случае, вопреки (16), f обращается в нуль. Проведем через точку отрезок Г горизонтальной прямой до пересечения с границей и обозначим через у его прообраз, . Теми же рассуждениями, что и выше, мы установим, что у пересекает каждую вертикальную прямую в U ровно один раз и что концы Г лежат на прямых существенно лишь проверить, что у не может пересечь прямую . Вдоль у, согласно (15), , поэтому, взяв точку пересечения , мы находим, что

согласно (16) и (18).

Теперь уже без труда проверяется, что компонента I является криволинейным четырехугольником, ограниченным отрезками прямых двумя кривыми 7, построенные для . Аналогично, ограничено отрезками прямых и двумя дугами — образами вертикальных сторон I, которые каждую горизонталь пересекают ровно в одной точке.

Как уже было отмечено, для решений с начальными условиями из время возвращения отличается от (т. е. от времени возвращения периодического решения, соответствующего неподвижной точке ) не более чем на удвоенное колебание полярного угла в U. Поэтому, если окрестность U достаточно мала, то I не может содержать двух неподвижных точек с различным временем возвращения (для неподвижных точек оно всегда кратно .

Рис. 30

А так как каждому отвечает неподвижная точка со временем возвращения и при достаточно большом N все они удовлетворяют условию , то содержит счетное число компонент описанного выше типа (мы будем далее называть их правильными на рис. 30 показаны две из них.

Теперь уже можно начинать проводить рассуждения, сходные с теми, которые употребляются в связи с «подковой Смейла» и ее обобщениями, рассматривавшимися в предыдущей части. Правда, отображение теперь нелинейно, но ключевым свойством, а именно: сильным растяжением по одним направлениям (близким к вертикали) и сильным сжатием по другим (близким к горизонтали), оно все же обладает. Подробное обоснование дальнейших рассуждений можно найти в [59, 1].

Образ каждой правильной компоненты пересекается с каждой правильной компонентой . Отсюда, как и для «подковы», выводится, что для любой последовательности пересечения

не пусты. Первое из них вытянуто вдоль и является графиком непрерывно дифференцируемой функции второе вытянуто вдоль и является графиком функции (тоже класса ); наконец, — точка.

Обозначив через пространство всех последовательностей наделенное естественной топологией прямого произведения, мы получаем отображение которое является гомеоморфизмом. В пространстве действует, как всегда, гомеоморфизм Т сдвига влево на один символ, и диаграмма

коммутативна. В частности, на определены все степени отображения S.

Вспомним теперь, что точкам лежащим в области , соответствуют решения, не обращающиеся в нуль при и стремящиеся к бесконечности при . Из определения функции и (14) находим скорость на бесконечности:

Положим и для обозначим символом отрезок горизонтальной прямой . Согласно (21), для всех решений с начальными условиями из скорость на бесконечности равна как раз v. Аналогично, символом обозначим отрезок вертикальной прямой Решения с начальными условиями не обращаются в нуль при и для них

Образ каждой правильной компоненты пересекается с каждым отрезком и каждая правильная компонента пересекается с каждым отрезком (рис. 30). Поэтому включается в «подковные» рассуждения наравне с а наравне с Например, пересечение

пусто, вытянуто вдоль и является графиком функции На а определены Но лежит уже вне и потому не определено. Поэтому решение с начальными условиями а имеет при ровно n нулей (напомним, что отображение S определено сдвигом вдоль решения от некоторого пуля к

следующему) и затем уходит в бесконечность со скоростью v. (Читателю рекомендуется, пользуясь рис. 30, разобрать все этапы построения пересечения (22), например, при ).

Расширим пространство допустив к рассмотрению всевозможные последовательности где а символы являются натуральными числами N при и действительными числами из отрезка при Полученное пространство (пока только еще множество) обозначим . Кроме оно содержит последовательности, ограниченные слева, справа или с обеих сторон;

Наделим множество допустимых символов топологией так, чтобы на она совпадала с обычной, а натуральные числа были бы изолированными точками, последовательность которых сходилась бы при к 0 (таким образом, L гомеоморфно подмножеству прямой . Окрестность элемента задается конечным подмножеством не содержащим и окрестностями символов . По определению

Легко видеть, что в этой топологии сходимость

имеет место тогда и только тогда, когда

а)

б) для каждого отличного от ,

(последнее означает, в частности, что при все начиная с некоторого, равны и что при Пространство компактно.

Соглашение принятое в определении допустимых последовательностей символов, не безобидно, а именно: гомеоморфизм Т сдвига влево определен теперь не на всех последовательностях а лишь на тех, у которых следовательно, — натуральное число N); область определения Т обозначим Соответственно, состоит из тех w, у которых .

Область определения рассматриваемого нами отображения также не совпадает со всей плоскостью Ф, а потому понятия «траектория» и «инвариантное множество» нуждаются в уточнении. Траекторию точки р мы будем считать максимально продолженной в обе стороны (до тех пор, пока итерации вообще определены); множества М условимся называть инвариантным, если Пусть окрестность V произвольна. Совокупность всех точек р, траектории которых целиком лежат в V, является максимальным инвариантным множеством, содержащимся в V; мы будем обозначать его .

Распространим теперь определения (19) на все :

Для бесконечных эти формулы совпадают с (19). Если , то и оканчивается числом означает в (24) вертикальный отрезок (рис. 30). Если же и w начинается числом то (24) надо понимать несколько нестандартно заменяется на , где вертикальный отрезок (напомним, что располагается в окрестности U аналогично множествам , чем и объясняется неправильность в формулах).

Теорема 2 ([59, III]). Если выполнены условия А-Е из §1. и уравнение (1) типично, т. е. и трансверсально пересекаются в некоторой точке р, то существуют и окрестность U точки р такие, что:

1) Отображение является гомеоморфизмом между и максимальным инвариантным в окрестности V множеством и диаграмма

(25)

коммутативна.

2) Множества являются в координатах (14) соответственно графиками функций класса С: касательные к ним определяют на структуру гиперболического множества; является для точки локальным устойчивым, а — локальным неустойчивым многообразием.

В лекциях А. Г. Кушниренко и А. Б. Катка рассматривались только всюду определенные отображения, однако не представляет труда распространить определение гиперболического инвариантного множества и на случай локальных отображений, оставляя в определениях только те итерации отображения S и его дифференциала, которые имеют смысл. Осторожности требуют лишь неустойчивые и устойчивые многообразия. Только для можно определить как множество точек q, траектории которых асимптотически близки к траектории р:

и аналогично определяется этим способом лишь при .

Теорема 2 даст возможность строить точки, траектории которых попадают в заранее предписанным образом. Вспоминая определение отображения S, мы получаем богатый набор решений уравнений (1). Задав бесконечную последовательность или одну из последовательностей (23), мы при помощи отображения находим начальные условия определяющие решение , у которого расстояния между соседними нулями близки к а если последовательность ограничена, то в соответствующую сторону решение стремится к бесконечности и крайний символ или дает его предельную скорость. Периодической последовательности отвечают периодические решения уравнения (1); ясно, что таким образом мы находим счетное их число. Периодические решения, о которых шла речь

в теореме 1, отвечают простейшим последовательностям, где все равны между собой.

Теорему 2 можно обобщить на случай, когда кривые и имеют несколько точек трансверсального пересечения. Формулировку соответствующего утверждения можно найти в [59, III] и [62]. В следующем параграфе будет рассмотрено конкретное уравнение, для которого состоит из двух точек. В [62] приведено также аксиоматическое описание отображений S, к которым применимы все построения, описанные выше.

Рис. 31

Остановимся еще вкратце на случае ямы бесконечной глубины Для типичного уравнения можно построить специальную окрестность U, вытянутую вдоль луча , где то простой корень уравнения Пересечение снова содержит счетное число «правильных» компонент , но теперь уже пересекается не с любыми как это было в случае (рис. 30), а лишь с теми, номера которых близки (рис. 31). Введя пространство символов

можно доказать аналог теоремы 2 ([59, III]). Условие , которое присутствовало уже в формулировке теоремы 1,

обеспечивает при этом нетривиальность результата. Оно означает, что расстояние между неподвижными точками отображения S, лежащими вблизи луча уменьшается при . Отсюда следует, что пересекается со все большим и большим числом компонент , если то возрастает, и что в (26) функция .

Дифференциальные свойства отображения S в том числе и условие типичности, тесно связаны с уравнением в вариациях, построенным для уравнения (1):

Пусть решение, порожденное начальными условиями (см. выше), параболическое в обе стороны. Из условия В, которому должно было удовлетворять уравнение (1), вытекает, что при больших коэффициент в правой части (27) положителен. Это дает возможность доказать существование двух решений уравнения (27) (обозначим их таким, что

Уравнение (1) является типичным, если решения линейно независимы (значения ) и определяют направление касательных к ).

Заметим, что в примере из следующего параграфа имеют на бесконечности степенной (а не экспоненциальный) порядок убывания.