§ 2. Геометрическая интерпретация задачи Кеплера

Если и центр масс тел и покоится в соответствии с (2) в начале координат, то систему (1) можно упростить. А именно, исключив с помощью (2), мы получим для такое же уравнение, как если бы тело двигалось в ньютоновском поле тяготения, создаваемом неподвижной массой расположенной в начале («задача Кеплера»), При надлежащем выборе системы единиц , а тогда для имеем уравнение

Дальнейшие рассуждения практически не зависят от числа координат, так что в можно было бы считать вектором из . Для простоты мы ограничимся, однако, случаем

Фазовое пространство задачи Кеплера имеет (при ) размерность 4. Фиксируя значения интегралов энергии h и момента С, мы получаем двумерное интегральное многообразие. При оно будет компактным. Если заменить (6) уравнением движения в поле произвольной центральной силы

то в типичном случае такое многообразие оказывается двумерным тором, а каждая из лежащих на нем траекторий образует всюду плотную обмотку. Проектируя траекторию из фазового пространства в координатное, мы находим, что не уходящая в бесконечность типичная орбита материальной точки, управляемой уравнением (7), заполняет всюду плотно некоторое кольцо (рис. 1). В исключительных резонансных случаях инвариантные торы распадаются в семейства периодических траекторий.

Если же сила притяжения к неподвижному центру убывает как то исключительный случай становится правилом, происходит вырождение. Не уходящая в бесконечность орбита всегда является эллипсом (рис. 2), а в фазовом пространстве все двумерные торы распадаются в семейства периодических траекторий.

Естественно ожидать, что такое вырождение обязано своим происхождением наличию еще одного первого интеграла [4, § 50]. Известно,

Рис. 1

Рис. 2

что классические интегралы (3) и (4) связаны (по теореме Э. Нетер) с инвариантностью уравнений (1) относительно сдвигов по времени (интеграл энергии) и относительно вращений (интеграл момента). Это заставляет думать, что и новый интеграл должен быть следствием некоторой «скрытой симметрии» кеплеровой задачи.

Геометрическая интерпретация случая , данная Ю. Мозером в [44], позволяет указать явно эту симметрию; впрочем, Мозер отмечает, что еще в 1935 году использовал ключевое для этих рассуждений преобразование с целью объяснить вырождение уровней энергии в квантовой модели атома водорода (подобный эффект физики обычно также связывают со «скрытой симметрией»).

Ю.С. Осипов [25] распространил рассуждения Мозера на случай произвольного h, дав несколько иное доказательство, которое с незначительными изменениями будет воспроизведено, далее.

Напомним сначала определение геодезического потока на римановом многообразии (см., например, [17]). Этим термином обозначается динамическая система действующая в многообразии единичных касательных векторов многообразия

Пусть — единичный касательный вектор в точке р Проведем через р (ориентированную) геодезическую в направлении вектора и, отложив на ней дугу длины S. получим точку р и единичный вектор , касающийся в ней той же (ориентированной) геодезической. По определению, преобразование переводит (рис. 3).

Теорема. Фазовый поток плоской кеплеровой задачи (6) на многообразии

постоянной энергии h с точностью до замены времени эквивалентен геодезическому потоку на поверхности постоянной гауссовой кривизны . После пополнения одной точкой эта поверхность изометрична сфере при эвклидовой плоскости при и плоскости Лобачевского при .

Как уже было сказано, аналогичное утверждение имеет место при любой размерности . Читателям предоставляется произвести соответствующие изменения в формулировке. Доказательство.

Рис. 3

Произведем замену времени, введя новое независимое переменное а, соотношением

В канонических переменных уравнения кеплеровой задачи имеют гамильтопов вид

где

На эквиэнергетическом интегральном многообразии можно преобразовать уравнения (9) следующим образом:

так как Н — h на этом многообразии тождественно равно 0. На том же многообразии

что дает возможность преобразовать уравнения далее:

и аналогично

Таким образом, замена времени (8) превращает гамильтоновы уравнения (9) на эквиэнергетической поверхности Н = h в гамильтоновы уравнения

на поверхности Заметим, что при поверхность состоит из двух «пол»; по смыслу проделанных преобразований надо взять из них ту, на которой .

Исключим теперь из уравнений (10):

Отсюда

причем

Многообразие проектируется на все пространство в случае на область в случае и (с учетом выбора полы) на область в случае Эти открытые подмножества в будем для краткости обозначать М. Введем в новую риманову метрику так. чтобы в ней вектор скорости — стал единичным:

Нетрудно усмотреть, что (12) являются уравнениями геодезических линий новой метрики, причем, по самому ее построению, параметр s имеет смысл длины дуги.

Согласно (13), компоненты ко- и контравариантных метрических тензоров [10] равны соответственно

откуда находим символы Кристоффеля:

Следовательно, уравнения геодезических имеют вид

что совпадает с (12).

Рассмотрим отображение многообразия в касательное расслоение определяемое равенством , где

Легко видеть, что это отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между многообразием (или его полой, если и многообразием W единичных касательных векторов. Остается проверить, что фазовый поток, определяемый системой (10), переходит при отображении в геодезический поток .

В самом деле, траектория потока (10) переходит в где, по доказанному, — геодезическая, — единичный (в метрике ) касательный к ней вектор. Геодезическая, проходящая через точку в направлении вектора совпадает с , а так как вектор — единичный, то s — длина дуги на этой геодезической. Поэтому отображение геодезического потока переводит что и утверждалось.

Метрика (13) хорошо известна.

При стереографическая проекция

переводит М в проколотую сферу радиуса , причем метрика (13) переходит в обычную евклидову. Таким образом, риманово многообразие Моказывается поверхностью положительной постоянной (гауссовой) кривизны . При инверсия

переводит снова в себя, а метрика (13) становится евклидовой

При h > 0 инверсия

отображает на внутренность единичного круга с выколотым центром, а метрика (13) переходит (с точностью до постоянного множителя) в обычную метрику модели Пуанкаре плоскости Лобачевского

Этим доказательство теоремы завершается.

Доказанная эквивалентность (с точностью до замены времени (8)) между фазовым потоком задачи (6) на эквиэнергетическом многообразии Н = h и геодезическим потоком на многообразии М с метрикой (13) позволяет, прежде всего, произвести «регуляризацию» задачи Кеплера.

Уравнение (6) имеет особенность при Если постоянная площадей (интеграл момента) с то, как нетрудно проверить, отделен от 0 положительной константой, так что решение не имеет особенностей и является аналитической функцией t на всей оси Напротив, если то движение происходит по прямой, проходящей через начало, и обязательно при некотором Не ограничивая общности, можно считать, что . В случае реальной механической задачи в момент происходит столкновение движущейся точки с неподвижным центром притяжения (в задаче двух тел это означает столкновение движущихся точек в их центре масс), и бессмысленно говорить о том, что будет при так как при тесном сближении, и подавно при столкновении, становится непригодным идеализированное представление физического объекта в виде материальной точки. Однако, с математической точки зрения, естественно попытаться продолжить на так, чтобы полученная вектор-функция была бы в некотором смысле «регулярной». Говоря здесь и в следующем параграфе о «продолжении решения за момент столкновения», мы будем всегда иметь в виду лишь эту, чисто математическую, постановку вопроса.

Регуляризацию решения можно попытаться произвести при помощи предельного перехода, подобрав семейство решений задачи (6) так, чтобы при а они не содержали особенностей (т. е. находились бы в области с ) и чтобы

при . Если при этом правая часть (17) существует и при

то этот предел можно считать продолжением за момент столкновения. Другую возможность подсказывает аналитический характер задачи. В самом деле, в комплексной области можно обойти особую точку и получить значения при помощи аналитического продолжения. Разумеется, вопрос о физическом смысле «комплексного времени» будет бессодержательным: это такая же математическая абстракция, как и сама идея продолжения движения за момент столкновения.

Поскольку в особой точке , из интеграла энергии находим, что

Поэтому решению с особенностью отвечает геодезическая метрики (13), уходящая в бесконечно удаленную (в смысле координат ), но не в смысле длины дуги) точку .

Многообразие М с метрикой (13) не является полным метрическим пространством, но становится таковым после пополнения точкой . Согласно (14) (16), пополненное пространство изометричпо сфере при эвклидовой плоскости при и плоскости Лобачевского при Точке при этом соответствует «Северный полюс» сферы при и точка в остальных случаях. На всех трех поверхностях дуга геодезической, оканчивающаяся в некоторой точке q, однозначно продолжается до полной геодезической, проходящей через q (рис. 3). Поэтому и геодезическая метрики (13), отвечающая решению кеплеровой задачи с особенностью, имеет однозначное продолжение за точку р. Легко видеть, что это продолжение является регуляризацией в смысле (17).

Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения теории аналитических функций. Уравнения геодезических на сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского не имеют вещественных особенностей. Поэтому вдоль геодезической координаты связанные с формулами (14) (16), являются аналитическими (и даже элементарными) функциями длины дуги s, не имеющими на вещественной оси особых точек. «Прокол» поверхности в точке-образе порождает у функций «устранимую особую точку» (по стандартной терминологии курсов ТФКП). Ясно, что ее обход по пути, близкому к вещественной оси, приводит к тому же результату, что и продолжение

геодезической в полном многообразии М. Что же касается переменных в их зависимости от «физического времени» t, связанного с s соотношением (8), аналитичность нарушается.

В самом деле, пусть при геодезическая проходит на через «прокол». Учитывая, что — длина дуги и обозначая через единичный вектор, касающийся геодезической в точке прокола, имеем

и (только для h < 0) из уравнения сферы

Отсюда в силу (14) (16) и (11) получаем

Далее, согласно (8),

и потому

Таким образом, являются аналитическими функциями «униформизирующей переменной» s, причем скорость имеет относительно этой переменной простой полюс в точке столкновения, остаются голоморфными. Как функции t координаты и скорости имеют алгебраическую особенность (точку ветвления):

За момент столкновения эти функции могут быть продолжены (с сохранением вещественности) единственным образом.

Теперь рассмотрим, каким образом соответствие между фазовым потоком задачи Кеплера и геодезическим потоком на М связано с наличием дополнительных первых интегралов, отсутствующих в случае произвольной центральной силы (7). Поверхности в высшей степени однородны: на каждой из них действует трехпараметрическая группа движений, т. е. преобразований, меняющих метрику, а, следовательно, и сохраняющих геодезический поток. Согласно теореме Нетер, каждой однопараметрической подгруппе из этой группы, а точнее говоря, ее инфинитезимальной образующей, т. е. элементу алгебры Ли, отвечает первый интеграл. Известно, что геодезические, параметризованные длиной дуги, являются экстремалями интеграла действия ([7], § 12)

(точкой обозначено дифференцирование по ).

Преобразования, не меняющие метрику, оставляют инвариантным и этот интеграл. Если — векторное поле, порождающее однопараметрическую группу движений (т. е. являющееся ее инфинитезимальной образующей), то соответствующий первый интеграл выглядит так ([2], § 16):

Подставляя сюда значения коэффициентов метрики (13) и используя (11), преобразуем это выражение к виду

(20)

(разумеется, минусы можно было бы опустить без всякого ущерба, они оставлены лишь для согласования с классическими формулами).

Алгебра Ли группы движений поверхности трехмерна. Векторные поля, отвечающие трем одпопараметрическим подгруппам, легко вычислить. Это будут:

(вращение плоскости около начала);

(движения, оставляющие на месте геодезическую

(движения, оставляющие на месте геодезическую

В координатах также соответствует вращению плоскости около начала (около оси Ох о для . Что же касается б) и в), то они отвечают при вращению сферы около двух взаимно перпендикулярных горизонтальных осей, проходящих через ее центр, с угловой скоростью При поля б) и в) порождают параллельные переносы плоскости (это согласуется и с предельным переходом при котором радиус сферы но линейная скорость ее «южного полюса», где остается постоянной). При поля б) и в) порождают подгруппы неевклидовых параллельных переносов вдоль координатных осей .

Подставляя выражения для в (20), находим следующие первые интегралы:

(это классический интеграл момента, см. (4)),

Последние два выражения можно преобразовать, используя уже найденный интеграл момента и интеграл энергии

откуда видно, что суть не что иное, как компоненты так называемого «инвариантного вектора Лапласа». В этот вектор записывается так:

а применительно к плоскому случаю, где

мы получаем для компонент вектора найденные выше выражения.

Инвариантный вектор I и является тем дополнительным первым интегралом, который является специфическим для ньютоновского закона взаимодействия ([4], §15).

Найденные интегралы связаны соотношением

что и естественно, поскольку фазовое пространство плоской кеплеровой задачи четырехмерно. И потому не более трех первых интегралов могут быть независимыми.

Геометрическая интерпретация задачи Кеплера позволяет дать прозрачное истолкование употребляемых в небесной механике элементов: средней, истинной и эксцентрической аномалиям и т.п. ([44]). Заметим еще, что равно эксцентриситету орбиты.