§ 2. Геометрическая интерпретация задачи Кеплера
Если
и центр масс тел
и покоится в соответствии с (2) в начале координат, то систему (1) можно упростить. А именно, исключив
с помощью (2), мы получим для
такое же уравнение, как если бы тело
двигалось в ньютоновском поле тяготения, создаваемом неподвижной массой
расположенной в начале («задача Кеплера»), При надлежащем выборе системы единиц
, а тогда для
имеем уравнение
Дальнейшие рассуждения практически не зависят от числа координат, так что в
можно было бы считать вектором из
. Для простоты мы ограничимся, однако, случаем
Фазовое пространство задачи Кеплера имеет (при
) размерность 4. Фиксируя значения интегралов энергии h и момента С, мы получаем двумерное интегральное многообразие. При
оно будет компактным. Если заменить (6) уравнением движения в поле произвольной центральной силы
то в типичном случае такое многообразие оказывается двумерным тором, а каждая из лежащих на нем траекторий образует всюду плотную обмотку. Проектируя траекторию из фазового пространства в координатное, мы находим, что не уходящая в бесконечность типичная орбита материальной точки, управляемой уравнением (7), заполняет всюду плотно некоторое кольцо (рис. 1). В исключительных резонансных случаях инвариантные торы распадаются в семейства периодических траекторий.
Если же сила притяжения к неподвижному центру убывает как то исключительный случай становится правилом, происходит вырождение. Не уходящая в бесконечность орбита всегда является эллипсом (рис. 2), а в фазовом пространстве все двумерные торы распадаются в семейства периодических траекторий.
Естественно ожидать, что такое вырождение обязано своим происхождением наличию еще одного первого интеграла [4, § 50]. Известно,
Рис. 1
Рис. 2
что классические интегралы (3) и (4) связаны (по теореме Э. Нетер) с инвариантностью уравнений (1) относительно сдвигов по времени (интеграл энергии) и относительно вращений (интеграл момента). Это заставляет думать, что и новый интеграл должен быть следствием некоторой «скрытой симметрии» кеплеровой задачи.
Геометрическая интерпретация случая
, данная Ю. Мозером в [44], позволяет указать явно эту симметрию; впрочем, Мозер отмечает, что еще в 1935 году
использовал ключевое для этих рассуждений преобразование с целью объяснить вырождение уровней энергии в квантовой модели атома водорода (подобный эффект физики обычно также связывают со «скрытой симметрией»).
Ю.С. Осипов [25] распространил рассуждения Мозера на случай произвольного h, дав несколько иное доказательство, которое с незначительными изменениями будет воспроизведено, далее.
Напомним сначала определение геодезического потока на римановом многообразии
(см., например, [17]). Этим термином обозначается динамическая система
действующая в многообразии
единичных касательных векторов многообразия
Пусть
— единичный касательный вектор в точке р
Проведем через р (ориентированную) геодезическую в направлении вектора
и, отложив на ней дугу длины S. получим точку р и единичный вектор
, касающийся в ней той же (ориентированной) геодезической. По определению, преобразование
переводит
(рис. 3).
Теорема. Фазовый поток плоской кеплеровой задачи (6) на многообразии
постоянной энергии h с точностью до замены времени эквивалентен геодезическому потоку на поверхности постоянной гауссовой кривизны
. После пополнения одной точкой эта поверхность изометрична сфере при
эвклидовой плоскости при
и плоскости Лобачевского при
.
Как уже было сказано, аналогичное утверждение имеет место при любой размерности
. Читателям предоставляется произвести соответствующие изменения в формулировке. Доказательство.
Рис. 3
Произведем замену времени, введя новое независимое переменное а, соотношением
В канонических переменных
уравнения кеплеровой задачи имеют гамильтопов вид
где
На эквиэнергетическом интегральном многообразии
можно преобразовать уравнения (9) следующим образом:
так как Н — h на этом многообразии тождественно равно 0. На том же многообразии
что дает возможность преобразовать уравнения далее:
и аналогично
Таким образом, замена времени (8) превращает гамильтоновы уравнения (9) на эквиэнергетической поверхности Н = h в гамильтоновы уравнения
на поверхности
Заметим, что при
поверхность
состоит из двух «пол»; по смыслу проделанных преобразований надо взять из них ту, на которой
.
Исключим теперь
из уравнений (10):
Отсюда
причем
Многообразие
проектируется на все пространство
в случае
на область
в случае
и (с учетом выбора полы) на область
в случае
Эти открытые подмножества в
будем для краткости обозначать М. Введем в
новую риманову метрику так. чтобы в ней вектор скорости — стал единичным:
Нетрудно усмотреть, что (12) являются уравнениями геодезических линий новой метрики, причем, по самому ее построению, параметр s имеет смысл длины дуги.
Согласно (13), компоненты ко- и контравариантных метрических тензоров [10] равны соответственно
откуда находим символы Кристоффеля:
Следовательно, уравнения геодезических имеют вид
что совпадает с (12).
Рассмотрим отображение
многообразия
в касательное расслоение
определяемое равенством
, где
Легко видеть, что это отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между многообразием
(или его полой, если
и многообразием W единичных касательных векторов. Остается проверить, что фазовый поток, определяемый системой (10), переходит при отображении
в геодезический поток
.
В самом деле, траектория
потока (10) переходит в
где, по доказанному,
— геодезическая,
— единичный (в метрике
) касательный к ней вектор. Геодезическая, проходящая через точку
в направлении вектора
совпадает с
, а так как вектор — единичный, то s — длина дуги на этой геодезической. Поэтому отображение
геодезического потока переводит
что и утверждалось.
Метрика (13) хорошо известна.
При
стереографическая проекция
переводит М в проколотую сферу
радиуса
, причем метрика (13) переходит в обычную евклидову. Таким образом, риманово многообразие Моказывается поверхностью положительной постоянной (гауссовой) кривизны
. При
инверсия
переводит
снова в себя, а метрика (13) становится евклидовой
При h > 0 инверсия
отображает
на внутренность единичного круга с выколотым центром, а метрика (13) переходит (с точностью до постоянного множителя) в обычную метрику модели Пуанкаре плоскости Лобачевского
Этим доказательство теоремы завершается.
Доказанная эквивалентность (с точностью до замены времени (8)) между фазовым потоком задачи (6) на эквиэнергетическом многообразии Н = h и геодезическим потоком на многообразии М с метрикой (13) позволяет, прежде всего, произвести «регуляризацию» задачи Кеплера.
Уравнение (6) имеет особенность при
Если постоянная площадей (интеграл момента) с
то, как нетрудно проверить,
отделен от 0 положительной константой, так что решение не имеет особенностей и является аналитической функцией t на всей оси
Напротив, если
то движение происходит по прямой, проходящей через начало, и обязательно
при некотором
Не ограничивая общности, можно считать, что
. В случае реальной механической задачи в момент
происходит столкновение движущейся точки с неподвижным центром притяжения (в задаче двух тел это означает столкновение движущихся точек в их центре масс), и бессмысленно говорить о том, что будет при
так как при тесном сближении, и подавно при столкновении, становится непригодным идеализированное представление физического объекта в виде материальной точки. Однако, с математической точки зрения, естественно попытаться продолжить
на
так, чтобы полученная вектор-функция была бы в некотором смысле «регулярной». Говоря здесь и в следующем параграфе о «продолжении решения за момент столкновения», мы будем всегда иметь в виду лишь эту, чисто математическую, постановку вопроса.
Регуляризацию решения
можно попытаться произвести при помощи предельного перехода, подобрав семейство решений
задачи (6) так, чтобы при а
они не содержали особенностей (т. е. находились бы в области с
) и чтобы
при
. Если при этом правая часть (17) существует и при
то этот предел можно считать продолжением
за момент столкновения. Другую возможность подсказывает аналитический характер задачи. В самом деле, в комплексной области можно обойти особую точку
и получить значения
при помощи аналитического продолжения. Разумеется, вопрос о физическом смысле «комплексного времени» будет бессодержательным: это такая же математическая абстракция, как и сама идея продолжения движения за момент столкновения.
Поскольку в особой точке
, из интеграла энергии находим, что
Поэтому решению с особенностью отвечает геодезическая метрики (13), уходящая в бесконечно удаленную (в смысле координат
), но не в смысле длины дуги) точку
.
Многообразие М с метрикой (13) не является полным метрическим пространством, но становится таковым после пополнения точкой
. Согласно (14) (16), пополненное пространство
изометричпо сфере при
эвклидовой плоскости при
и плоскости Лобачевского при
Точке
при этом соответствует «Северный полюс»
сферы при
и точка
в остальных случаях. На всех трех поверхностях дуга геодезической, оканчивающаяся в некоторой точке q, однозначно продолжается до полной геодезической, проходящей через q (рис. 3). Поэтому и геодезическая метрики (13), отвечающая решению кеплеровой задачи с особенностью, имеет однозначное продолжение за точку р. Легко видеть, что это продолжение является регуляризацией в смысле (17).
Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения теории аналитических функций. Уравнения геодезических на сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского не имеют вещественных особенностей. Поэтому вдоль геодезической координаты
связанные с
формулами (14) (16), являются аналитическими (и даже элементарными) функциями длины дуги s, не имеющими на вещественной оси
особых точек. «Прокол» поверхности в точке-образе
порождает у функций
«устранимую особую точку» (по стандартной терминологии курсов ТФКП). Ясно, что ее обход по пути, близкому к вещественной оси, приводит к тому же результату, что и продолжение
геодезической в полном многообразии М. Что же касается переменных
в их зависимости от «физического времени» t, связанного с s соотношением (8), аналитичность нарушается.
В самом деле, пусть при
геодезическая проходит на
через «прокол». Учитывая, что
— длина дуги и обозначая через
единичный вектор, касающийся геодезической в точке прокола, имеем
и (только для h < 0) из уравнения сферы
Отсюда в силу (14) (16) и (11) получаем
Далее, согласно (8),
и потому
Таким образом,
являются аналитическими функциями «униформизирующей переменной» s, причем скорость
имеет относительно этой переменной простой полюс в точке столкновения,
остаются голоморфными. Как функции t координаты и скорости имеют алгебраическую особенность (точку ветвления):
За момент столкновения эти функции могут быть продолжены (с сохранением вещественности) единственным образом.
Теперь рассмотрим, каким образом соответствие между фазовым потоком задачи Кеплера и геодезическим потоком на М связано с наличием дополнительных первых интегралов, отсутствующих в случае произвольной центральной силы (7). Поверхности
в высшей степени однородны: на каждой из них действует трехпараметрическая группа движений, т. е. преобразований,
меняющих метрику, а, следовательно, и сохраняющих геодезический поток. Согласно теореме Нетер, каждой однопараметрической подгруппе из этой группы, а точнее говоря, ее инфинитезимальной образующей, т. е. элементу алгебры Ли, отвечает первый интеграл. Известно, что геодезические, параметризованные длиной дуги, являются экстремалями интеграла действия ([7], § 12)
(точкой обозначено дифференцирование по
).
Преобразования, не меняющие метрику, оставляют инвариантным и этот интеграл. Если
— векторное поле, порождающее однопараметрическую группу движений (т. е. являющееся ее инфинитезимальной образующей), то соответствующий первый интеграл выглядит так ([2], § 16):
Подставляя сюда значения коэффициентов метрики (13) и используя (11), преобразуем это выражение к виду
(20)
(разумеется, минусы можно было бы опустить без всякого ущерба, они оставлены лишь для согласования с классическими формулами).
Алгебра Ли группы движений поверхности
трехмерна. Векторные поля, отвечающие трем одпопараметрическим подгруппам, легко вычислить. Это будут:
(вращение плоскости
около начала);
(движения, оставляющие на месте геодезическую
(движения, оставляющие на месте геодезическую
В координатах
также соответствует вращению плоскости около начала (около оси Ох о для
. Что же касается б) и в), то они отвечают при
вращению сферы около двух взаимно перпендикулярных горизонтальных осей, проходящих через ее центр, с угловой скоростью
При
поля б) и в) порождают параллельные переносы плоскости
(это согласуется и с предельным переходом
при котором радиус сферы
но линейная скорость ее «южного полюса», где
остается постоянной). При
поля б) и в) порождают подгруппы неевклидовых параллельных переносов вдоль координатных осей
.
Подставляя выражения для
в (20), находим следующие первые интегралы:
(это классический интеграл момента, см. (4)),
Последние два выражения можно преобразовать, используя уже найденный интеграл момента и интеграл энергии
откуда видно, что
суть не что иное, как компоненты так называемого «инвариантного вектора Лапласа». В
этот вектор записывается так:
а применительно к плоскому случаю, где
мы получаем для компонент вектора
найденные выше выражения.
Инвариантный вектор I и является тем дополнительным первым интегралом, который является специфическим для ньютоновского закона взаимодействия ([4], §15).
Найденные интегралы связаны соотношением
что и естественно, поскольку фазовое пространство плоской кеплеровой задачи четырехмерно. И потому не более трех первых интегралов могут быть независимыми.
Геометрическая интерпретация задачи Кеплера позволяет дать прозрачное истолкование употребляемых в небесной механике элементов: средней, истинной и эксцентрической аномалиям и т.п. ([44]). Заметим еще, что
равно эксцентриситету орбиты.